Trang 28 — Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Bài tập

Ví dụ 1

Bãi đỗ xe ô tô còn lại ba chỗ trống như Hình 1. Có ba chiếc ô tô (kí hiệu A,B,CA, B, C) đang đi vào bãi để đỗ xe.

a) Có bao nhiêu cách sắp xếp ba chiếc xe vào ba chỗ trống?

b) Vẽ sơ đồ hình cây về các cách sắp xếp và kiểm tra kết quả tính toán ở trên.

Lời giải:

a) Mỗi cách sắp xếp ba chiếc xe vào ba chỗ trống là một hoán vị của ba chiếc xe. Do đó, số cách sắp xếp ba chiếc xe vào ba chỗ trống là $$ P_3 = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \quad \text{(cách)}. $$

b) Sơ đồ hình cây như Hình 2. Sơ đồ có ba nhánh lớn, mỗi nhánh lớn có hai nhánh vừa, mỗi nhánh vừa có một nhánh bé. Từ đó, số cách sắp xếp ba chiếc xe vào ba chỗ trống là 3⋅2⋅1=63 \cdot 2 \cdot 1 = 6 cách.

Kết quả: 6\boxed{6}

Ví dụ 2

Từ các chữ số 1;2;3;4;51; 2; 3; 4; 5, lập các số có năm chữ số khác nhau.

a) Có thể lập được bao nhiêu số như vậy?

b) Trong số đó có bao nhiêu số chẵn?

Lời giải:

a) Mỗi số tự nhiên có năm chữ số khác nhau được lập từ năm chữ số này là một hoán vị của năm chữ số này. Do đó, số số tự nhiên lập được là $$ 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 \quad \text{(số)}. $$

b)

  • Bước 1: chọn chữ số hàng đơn vị là chữ số chẵn. Có 22 cách chọn (chọn 22 hoặc 44).
  • Bước 2: chọn bốn chữ số còn lại, có P4=4!=4⋅3⋅2⋅1=24P_4 = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 cách chọn.

Từ đó, theo quy tắc nhân, số số tự nhiên chẵn có năm chữ số khác nhau lập từ các chữ số đã cho là $$ 2 \cdot P_4 = 2 \cdot 24 = 48 \quad \text{(số)}. $$

Kết quả: 48\boxed{48}

Trang 29 — Chỉnh hợp

Bài 1. Một nhóm bạn gồm sáu thành viên cùng đi xem phim, đã mua sáu vé có ghế ngồi cùng dãy và kế tiếp nhau (như Hình 3). Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho các thành viên của nhóm?

Lời giải:

Số cách sắp xếp chỗ ngồi cho các thành viên trong nhóm là số cách sắp xếp 66 thành viên vào 66 chỗ ngồi có thứ tự.

Đây chính là số hoán vị của 66 phần tử, bằng $$ P_6 = 6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720. $$

Kết quả: 720720.

Bài 2. Một giải bóng đá có 14 đội bóng tham gia. Có bao nhiêu khả năng về thứ hạng các đội bóng khi mùa giải kết thúc?

Lời giải:

Số khả năng về thứ hạng các đội bóng khi mùa giải kết thúc là số cách sắp xếp 1414 đội bóng vào 1414 vị trí có thứ tự.

Đây chính là số hoán vị của 1414 phần tử, bằng $$ P_{14} = 14! = 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1. $$

Kết quả: 14!14!.

Bài 3. Tại một trạm quan sát, có sẵn 5 lá cờ màu đỏ, trắng, xanh, vàng và cam (kí hiệu Đ, T, X, V, C). Khi cần báo một tín hiệu, người ta chọn 3 lá cờ và cắm vào ba vị trí có sẵn thành một hàng (xem Hình 4).

a) Hãy chỉ ra ít nhất bốn cách chọn và cắm cờ để báo bốn tín hiệu khác nhau.

b) Bằng cách này, có thể báo nhiều nhất bao nhiêu tín hiệu khác nhau?

Lời giải:

a) Bốn cách chọn và cắm cờ để báo bốn tín hiệu khác nhau là:

  • Cách 1: Đ, T, X
  • Cách 2: T, V, C
  • Cách 3: X, V, Đ
  • Cách 4: V, C, T

b) Số cách chọn và cắm cờ để báo tín hiệu khác nhau là số chỉnh hợp chập 33 của 55 lá cờ, bằng $$ A_5^3 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60. $$

Kết quả: 6060.

Trang 30 — Tổ hợp

Bài 1. Tính: a) A53A_5^3
b) A74A_7^4
c) A52A_5^2

Lời giải:

a) A53=5⋅4⋅3=60A_5^3 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60

b) A74=7⋅6⋅5⋅4=840A_7^4 = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 840

c) A52=5⋅4=20A_5^2 = 5 \cdot 4 = 20

Kết quả: A53=60A_5^3 = 60, A74=840A_7^4 = 840, A52=20A_5^2 = 20

Bài 2. Phần thi kết thúc nội dung chạy cự li 15001500 m của một giải đấu có 1010 vận động viên tham gia. Có bao nhiêu khả năng về kết quả 33 vận động viên đạt huy chương vàng, bạc và đồng sau khi phần thi kết thúc? Biết rằng không có hai vận động viên nào về đích cùng lúc.

Lời giải:

Mỗi kết quả về 33 vận động viên đạt huy chương vàng, bạc và đồng của nội dung thi đấu là một chỉnh hợp chập 33 của 1010 vận động viên. Do đó, số kết quả có thể là $$ A_{10}^3 = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720. $$

Kết quả: 720720

Từ bảy chữ số 1;2;3;4;5;6;71; 2; 3; 4; 5; 6; 7, lập các số có ba chữ số khác nhau.

a) Có thể lập được bao nhiêu số như vậy?

b) Trong các số đó có bao nhiêu số lẻ?

Lời giải:

a) Mỗi số có ba chữ số được lập từ các chữ số 1;2;3;4;5;6;71; 2; 3; 4; 5; 6; 7 là một chỉnh hợp chập 33 của 77 chữ số. Do đó, số các số có ba chữ số khác nhau là $$ A_7^3 = 7 \cdot 6 \cdot 5 = 210. $$

b) Để lập số lẻ, chữ số hàng đơn vị phải là số lẻ.

  • Có 44 cách chọn chữ số hàng đơn vị từ các chữ số 1;3;5;71; 3; 5; 7.
  • Sau khi chọn chữ số hàng đơn vị, có 66 cách chọn chữ số hàng trăm từ các chữ số còn lại.
  • Sau khi chọn chữ số hàng trăm, có 55 cách chọn chữ số hàng chục từ các chữ số còn lại.

Do đó, số các số lẻ có ba chữ số khác nhau là $$ 4 \cdot 6 \cdot 5 = 120. $$

Kết quả: 210210, 120120

Lan vừa mua 44 cuốn sách, kí hiệu là A,B,CA, B, C và DD. Bạn ấy dự định chọn ra 33 cuốn để đưa về quê đọc trong dịp nghỉ hè.

Lời giải:

Chọn 33 cuốn sách từ 44 cuốn sách là một tổ hợp chập 33 của 44 cuốn sách. Do đó, số cách chọn là $$ C_4^3 = 4. $$

Kết quả: 44

Trang 30 — Tổ hợp

Bài 3. Chọn đáp án đúng

  • A, B, C, D

Lời giải:

  • Chọn A

Kết quả: Chọn A

Trang 31 — Tổ hợp

Bài 1. Hãy liệt kê tất cả các cách Lan có thể chọn 3 cuốn sách từ 4 cuốn sách. Có tất cả bao nhiêu cách?

Lời giải:

Lan có thể chọn các tổ hợp 3 cuốn sách từ 4 cuốn sách là

  • {A;B;C}\{A;B;C\}
  • {A;B;D}\{A;B;D\}
  • {A;C;D}\{A;C;D\}
  • {B;C;D}\{B;C;D\}

Vậy có tất cả 44 cách.

Kết quả: 4

Bài 2. Lan dự định đọc lần lượt từng cuốn. Lan có bao nhiêu cách xếp thứ tự 3 cuốn đã chọn?

Lời giải: Số cách xếp thứ tự 3 cuốn sách đã chọn là số hoán vị của 3 phần tử, bằng $$ P_3=3!=6. $$

Kết quả: 6

Bài 3. Lan có bao nhiêu cách chọn 3 cuốn sách từ 4 cuốn sách và xếp theo thứ tự để đọc lần lượt từng cuốn một?

Lời giải: Số cách chọn 3 cuốn sách từ 4 cuốn sách là $$ C_4^3=\frac{4!}{3!(4-3)!}=4. $$ Số cách xếp thứ tự để đọc lần lượt từng cuốn một là $$ P_3=3!=6. $$ Vậy số cách chọn 3 cuốn sách từ 4 cuốn sách và xếp theo thứ tự để đọc lần lượt từng cuốn một là $$ 4 \cdot 6 = 24. $$

Kết quả: 24

Ví dụ 5. Tổ Một có 9 thành viên. Tuần tới là phiên trực nhật của tổ, nên cần phân công 4 bạn đi dọn vệ sinh lớp cho buổi chào cờ.

Bài a. Tổ có bao nhiêu cách phân công 4 bạn đi dọn vệ sinh lớp?

Lời giải: Số cách phân công 4 bạn đi dọn vệ sinh lớp là số tổ hợp chập 4 của 9 phần tử, bằng $$ C_9^4=\frac{9!}{4!(9-4)!}=126. $$

Kết quả: 126

Bài b. Tổ có bao nhiêu cách chọn 5 bạn không phải đi dọn vệ sinh lớp?

Lời giải: Số cách chọn 5 bạn không phải đi dọn vệ sinh lớp là số tổ hợp chập 5 của 9 phần tử, bằng $$ C_9^5=\frac{9!}{5!(9-5)!}=126. $$

Kết quả: 126