Trang 32 — Tổ hợp

Bài 1. Tính: a) C72C_7^2; b) C95+C94C_9^5 + C_9^4; c) C155−C144C_{15}^5 - C_{14}^4.

Lời giải:

a) Ta có $$ C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2} = 21. $$

b) Ta có $$ C_9^5 = \frac{9!}{5!(9-5)!} = \frac{9!}{5!4!} = 126, $$ và $$ C_9^4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} = 126. $$ Do đó $$ C_9^5 + C_9^4 = 126 + 126 = 252. $$

c) Ta có $$ C_{15}^5 = \frac{15!}{5!(15-5)!} = \frac{15!}{5!10!} = 3003, $$ và $$ C_{14}^4 = \frac{14!}{4!(14-4)!} = \frac{14!}{4!10!} = 1001. $$ Do đó $$ C_{15}^5 - C_{14}^4 = 3003 - 1001 = 2002. $$

Kết quả: a) 2121; b) 252252; c) 20022002.

Bài 2. Nội dung thi đấu đối nam nữ của giải bóng bàn cấp trường có 77 đội tham gia. Các đội thi đấu vòng tròn một lượt.

a) Nội dung này có tất cả bao nhiêu trận đấu?

b) Sau giải đấu, ba đội có thành tích tốt nhất sẽ được chọn đi thi đấu cấp liên trường. Có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra về ba đội được chọn đi thi đấu cấp liên trường?

Lời giải:

a) Số trận đấu là số cách chọn 22 đội từ 77 đội tham gia. Do đó số trận đấu là $$ C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = 21. $$

b) Số khả năng có thể xảy ra về ba đội được chọn đi thi đấu cấp liên trường là số cách chọn 33 đội từ 77 đội. Do đó số khả năng là $$ C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = 35. $$

Kết quả: a) 2121; b) 3535.

Cho 66 điểm cùng nằm trên một đường tròn như Hình 8.

Bài 3. a) Có bao nhiêu đoạn thẳng có điểm đầu mút thuộc các điểm đã cho?

b) Có bao nhiêu tam giác có đỉnh thuộc các điểm đã cho?

Lời giải:

a) Số đoạn thẳng có điểm đầu mút thuộc các điểm đã cho là số cách chọn 22 điểm từ 66 điểm. Do đó số đoạn thẳng là $$ C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = 15. $$

b) Số tam giác có đỉnh thuộc các điểm đã cho là số cách chọn 33 điểm từ 66 điểm. Do đó số tam giác là $$ C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = 20. $$

Kết quả: a) 1515; b) 2020.

4. Tính số các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp bằng máy tính cầm tay

Với một số máy tính cầm tay, ta có thể tính toán nhanh số các hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.

Ví dụ 6.

a) Để tính P8=8!P_8 = 8!, ta ấn liên tiếp các phím $$ 8 \quad \text{SHIFT} \quad \aleph (x!) \quad = $$ thì nhận được kết quả là 40 32040 \ 320.

Trang 33 —

Bài 1. Cần xếp một nhóm 55 học sinh ngồi vào một dãy 55 chiếc ghế.
a) Có bao nhiêu cách xếp?

Lời giải:
a) Số cách xếp 55 học sinh vào 55 chiếc ghế là số hoán vị của 55 phần tử, được tính bằng 5!=5⋅4⋅3⋅2⋅1=1205! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120.

Kết quả: 120120.

Bài 1 (tiếp).
b) Nếu bạn Nga (một thành viên trong nhóm) nhất định muốn ngồi vào chiếc ghế ngoài cùng bên trái, thì có bao nhiêu cách xếp?

Lời giải:
b) Nếu bạn Nga ngồi cố định ở ghế ngoài cùng bên trái, ta chỉ cần xếp 44 bạn còn lại vào 44 ghế còn lại.
Số cách xếp là 4!=4⋅3⋅2⋅1=244! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24.

Kết quả: 2424.

Bài 2. Từ các chữ số sau đây, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau?
a) 1;2;3;4;5;61; 2; 3; 4; 5; 6.

Lời giải:
a) Số số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau được lập từ 66 chữ số đã cho là
$$ P_6^4 = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!} = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360.
$$

Kết quả: 360360.

Bài 2 (tiếp).
b) 0;1;2;3;4;50; 1; 2; 3; 4; 5.

Lời giải:
b) Nếu số có bốn chữ số bắt đầu bằng 00, không đúng vì đây là số có ba chữ số.

  • Số có bốn chữ số bắt đầu bằng 00: P53=5!/(5−3)!=5⋅4⋅3=60P_5^3 = 5! / (5-3)! = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60.
  • Tổng số có bốn chữ số khác nhau từ 66 chữ số: P64=360P_6^4 = 360 (theo câu a).
  • Số có bốn chữ số hợp lệ: 360−60=300360 - 60 = 300.

Kết quả: 300300.

Bài 3. Tổ Một có 44 bạn nam và 55 bạn nữ. Có bao nhiêu cách cử 33 bạn của tổ làm trực nhật trong mỗi trường hợp sau?
a) 33 bạn được chọn bất kì;

Lời giải:
a) Số cách chọn 33 bạn bất kì từ 99 bạn là
$$ C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84.
$$

Kết quả: 8484.

Bài 3 (tiếp).
b) 33 bạn gồm 22 nam và 11 nữ.

Lời giải:
b)

  • Chọn 22 nam từ 44 bạn: C42=4!2!(4−2)!=6C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = 6.
  • Chọn 11 nữ từ 55 bạn: C51=5C_5^1 = 5.
  • Tổng số cách chọn: 6⋅5=306 \cdot 5 = 30.

Kết quả: 3030.

Bài 4. Từ một danh sách gồm 88 người, người ta bầu ra một ủy ban gồm một chủ tịch, một phó chủ tịch, một thư kí và một ủy viên. Có bao nhiêu khả năng có thể có kết quả bầu ủy ban này?

Lời giải:
Số cách chọn 44 người từ 88 người và sắp xếp vào 44 vị trí là
$$ A_8^4 = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 1680.
$$

Kết quả: 16801680.

Bài 5. Một nhóm gồm 77 bạn đến trung tâm chăm sóc người cao tuổi làm từ thiện. Theo chỉ dẫn của trung tâm, 33 bạn hỗ trợ công việc chung, 33 bạn hỗ trợ tại các phòng khác nhau và 22 bạn hỗ trợ ở các công việc trong nhóm làm các công việc trên?

Lời giải:

  • Chọn 33 bạn hỗ trợ công việc chung: C73=35C_7^3 = 35.
  • Chọn 33 bạn hỗ trợ tại các phòng: C43=4C_4^3 = 4.
  • 22 bạn còn lại hỗ trợ công việc nhóm.
  • Số cách phân công: 35⋅4=14035 \cdot 4 = 140.

Kết quả: 140140.

Bài 6. Có 44 đường thẳng song song cắt 55 đường thẳng song song khác. Có bao nhiêu hình bình hành được tạo thành (như Hình 10)?

Lời giải:

  • Chọn 22 đường thẳng song song từ nhóm 44 đường: C42=6C_4^2 = 6.
  • Chọn 22 đường thẳng song song từ nhóm 55 đường: C52=10C_5^2 = 10.
  • Số hình bình hành: 6⋅10=606 \cdot 10 = 60.

Kết quả: 6060.

Bài 7. Mùa giải 20192019, giải bóng đá vô địch quốc gia (V.League) có 1414 đội bóng tham gia. Các đội bóng đá vòng tròn hai lượt đi và về. Hỏi cả giải đấu có bao nhiêu trận đấu?

Lời giải:

  • Mỗi cặp đội đấu 22 trận (đi và về).
  • Số trận đấu: C142⋅2=91⋅2=182C_{14}^2 \cdot 2 = 91 \cdot 2 = 182.

Kết quả: 182182.

Trang 33 — Bài 3. Nhị thức Newton

Bài tập

Bài 1.

Không có bài tập trên trang này. Toàn bộ nội dung là lý thuyết về Nhị thức Newton.

SKIP

Trang 35 — Nhị thức Newton

Bài tập

Bài 1. Sử dụng công thức nhị thức Newton, hãy khai triển các biểu thức sau:

a) (a+b)4(a + b)^4

b) (a−b)5(a - b)^5

Lời giải:

a) (a+b)4(a + b)^4

Sử dụng công thức nhị thức Newton, ta có $$ (a + b)^4 = \binom{4}{0} a^4 + \binom{4}{1} a^3b + \binom{4}{2} a^2b^2 + \binom{4}{3} ab^3 + \binom{4}{4} b^4 $$ $$ = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4 $$

b) (a−b)5(a - b)^5

Sử dụng công thức nhị thức Newton, ta có $$ (a - b)^5 = \binom{5}{0} a^5 - \binom{5}{1} a^4b + \binom{5}{2} a^3b^2 - \binom{5}{3} a^2b^3 + \binom{5}{4} ab^4 - \binom{5}{5} b^5 $$ $$ = a^5 - 5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5 $$

Kết quả:

  • a) (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4
  • b) (a−b)5=a5−5a4b+10a3b2−10a2b3+5ab4−b5(a - b)^5 = a^5 - 5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5

Bài 2. Khai triển và rút gọn biểu thức: (1+2)5+(1−2)5(1 + \sqrt{2})^5 + (1 - \sqrt{2})^5

Lời giải:

Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có $$ (1 + \sqrt{2})^5 = 1 + 5\sqrt{2} + 10(\sqrt{2})^2 + 10(\sqrt{2})^3 + 5(\sqrt{2})^4 + (\sqrt{2})^5 $$ $$ = 1 + 5\sqrt{2} + 20 + 10 \cdot 2\sqrt{2} + 5 \cdot 4 + 4\sqrt{2} $$ $$ = 1 + 5\sqrt{2} + 20 + 20\sqrt{2} + 20 + 4\sqrt{2} $$ $$ = 41 + 29\sqrt{2} $$

(1−2)5=1−52+10(2)2−10(2)3+5(2)4−(2)5(1 - \sqrt{2})^5 = 1 - 5\sqrt{2} + 10(\sqrt{2})^2 - 10(\sqrt{2})^3 + 5(\sqrt{2})^4 - (\sqrt{2})^5 =1−52+20−10⋅22+5⋅4−42= 1 - 5\sqrt{2} + 20 - 10 \cdot 2\sqrt{2} + 5 \cdot 4 - 4\sqrt{2} =1−52+20−202+20−42= 1 - 5\sqrt{2} + 20 - 20\sqrt{2} + 20 - 4\sqrt{2} =41−292= 41 - 29\sqrt{2}

Từ đó, $$ (1 + \sqrt{2})^5 + (1 - \sqrt{2})^5 = 41 + 29\sqrt{2} + 41 - 29\sqrt{2} = 82 $$

Kết quả: 8282