Giải Toán 10 Tập 2 trang 36-39 - Chân trời sáng tạo

Trang 36 —

Luyện tập

1. Sử dụng công thức nhị thức Newton, khai triển các biểu thức sau:

a) $(3x+y)^4$

Lời giải: Sử dụng công thức nhị thức Newton: $$ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k}b^k $$ Với $a = 3x$, $b = y$, và $n = 4$, ta có: $$ (3x + y)^4 = C_4^0(3x)^4 + C_4^1(3x)^3y + C_4^2(3x)^2y^2 + C_4^3(3x)y^3 + C_4^4y^4 $$

$$= 1 \cdot 81x^4 + 4 \cdot 27x^3y + 6 \cdot 9x^2y^2 + 4 \cdot 3xy^3 + 1 \cdot y^4$$ $$= 81x^4 + 108x^3y + 54x^2y^2 + 12xy^3 + y^4$$

Kết quả: $81x^4 + 108x^3y + 54x^2y^2 + 12xy^3 + y^4$

b) $(x - \sqrt{2})^5$

Lời giải: Sử dụng công thức nhị thức Newton: $$ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k}b^k $$ Với $a = x$, $b = -\sqrt{2}$, và $n = 5$, ta có: $$ (x - \sqrt{2})^5 = C_5^0x^5 + C_5^1x^4(-\sqrt{2}) + C_5^2x^3(-\sqrt{2})^2 + C_5^3x^2(-\sqrt{2})^3 + C_5^4x(-\sqrt{2})^4 + C_5^5(-\sqrt{2})^5 $$

$$= x^5 - 5x^4\sqrt{2} + 10x^3 \cdot 2 - 10x^2 \cdot 2\sqrt{2} + 5x \cdot 4 - 32$$ $$= x^5 - 5\sqrt{2}x^4 + 20x^3 - 20\sqrt{2}x^2 + 20x - 32$$

Kết quả: $x^5 - 5\sqrt{2}x^4 + 20x^3 - 20\sqrt{2}x^2 + 20x - 32$

---

2. Khai triển và rút gọn các biểu thức sau:

a) $(2+\sqrt{2})^4$

Lời giải: Sử dụng công thức nhị thức Newton: $$ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k}b^k $$ Với $a = 2$, $b = \sqrt{2}$, và $n = 4$, ta có: $$ (2 + \sqrt{2})^4 = C_4^0 \cdot 2^4 + C_4^1 \cdot 2^3\sqrt{2} + C_4^2 \cdot 2^2 \cdot (\sqrt{2})^2 + C_4^3 \cdot 2 \cdot (\sqrt{2})^3 + C_4^4 \cdot (\sqrt{2})^4 $$

$$= 1 \cdot 16 + 4 \cdot 8\sqrt{2} + 6 \cdot 4 \cdot 2 + 4 \cdot 2 \cdot 2\sqrt{2} + 1 \cdot 4$$ $$= 16 + 32\sqrt{2} + 48 + 16\sqrt{2} + 4$$ $$= 68 + 48\sqrt{2}$$

Kết quả: $68 + 48\sqrt{2}$

b) $(2+\sqrt{2})^4 + (2-\sqrt{2})^4$

Lời giải: Áp dụng kết quả câu a: $$ (2 + \sqrt{2})^4 = 68 + 48\sqrt{2} $$ Tương tự: $$ (2 - \sqrt{2})^4 = 68 - 48\sqrt{2} $$ Cộng hai biểu thức: $$ (2 + \sqrt{2})^4 + (2 - \sqrt{2})^4 = (68 + 48\sqrt{2}) + (68 - 48\sqrt{2}) $$

$$= 136$$

Kết quả: $136$

c) $(1-\sqrt{3})^5$

Lời giải: Sử dụng công thức nhị thức Newton: $$ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k}b^k $$ Với $a = 1$, $b = -\sqrt{3}$, và $n = 5$, ta có: $$ (1 - \sqrt{3})^5 = C_5^0 \cdot 1^5 - C_5^1 \cdot 1^4\sqrt{3} + C_5^2 \cdot 1^3 \cdot 3 - C_5^3 \cdot 1^2 \cdot 3\sqrt{3} + C_5^4 \cdot 1 \cdot 3^2 - C_5^5 \cdot 3^2\sqrt{3} $$

$$= 1 - 5\sqrt{3} + 15 - 15\sqrt{3} + 45 - 9\sqrt{3}$$ $$= 61 - 29\sqrt{3}$$

Kết quả: $61 - 29\sqrt{3}$

---

3. Tìm hệ số của $x^3$ trong khai triển $(3x-2)^5$

Lời giải: Sử dụng công thức nhị thức Newton: $$ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k}b^k $$ Với $a = 3x$, $b = -2$, và $n = 5$, ta có: $$ (3x - 2)^5 = \sum_{k=0}^{5} C_5^k (3x)^{5-k}(-2)^k $$ Hệ số của $x^3$ ứng với $k = 2$: $$ C_5^2 (3x)^3(-2)^2 = 10 \cdot 27x^3 \cdot 4 = 1080x^3 $$

Kết quả: $1080$

---

4. Cho $A = \{a_1; a_2; a_3; a_4; a_5\}$ là một tập hợp có 5 phần tử. Chứng minh rằng số tập hợp con có số lẻ $(1, 3, 5)$ phần tử của $A$ bằng số tập hợp con có số chẵn $(0, 2, 4)$ phần tử của $A$.

Lời giải: Số tập hợp con có $k$ phần tử của tập $A$ là $C_5^k$.

• Số tập con có số lẻ phần tử: $C_5^1 + C_5^3 + C_5^5$.
• Số tập con có số chẵn phần tử: $C_5^0 + C_5^2 + C_5^4$.

Theo tính chất đối xứng của tổ hợp: $$ C_5^0 = C_5^5, \quad C_5^1 = C_5^4, \quad C_5^2 = C_5^3 $$ Do đó: $$ C_5^0 + C_5^2 + C_5^4 = C_5^5 + C_5^3 + C_5^1 $$

Kết quả: Đúng

---

5. Chứng minh rằng $C_5^0 - C_5^1 + C_5^2 - C_5^3 + C_5^4 - C_5^5 = 0$.

Lời giải: Theo nhị thức Newton: $$ (1 - 1)^5 = C_5^0 - C_5^1 + C_5^2 - C_5^3 + C_5^4 - C_5^5 = 0^5 = 0 $$

Kết quả: $0$

---

Trang 37 — Bài tập cuối chương VIII

Bài 1. Một nhóm tình nguyện viên gồm 4 học sinh lớp 10A, 5 học sinh lớp 10B và 6 học sinh lớp 10C. Để tham gia một công việc tình nguyện, nhóm có bao nhiêu cách cử ra

a) 1 thành viên của nhóm?

b) 3 thành viên của nhóm đang học ở ba lớp khác nhau?

c) 2 thành viên của nhóm đang học ở hai lớp khác nhau?

Lời giải:

a) Số cách chọn 1 thành viên là tổng số thành viên trong nhóm: $$ 4 + 5 + 6 = 15. $$

Kết quả: $15$

b) Chọn 3 thành viên học ở ba lớp khác nhau có nghĩa là chọn 1 học sinh từ mỗi lớp.

• Số cách chọn 1 học sinh lớp 10A: $4$
• Số cách chọn 1 học sinh lớp 10B: $5$
• Số cách chọn 1 học sinh lớp 10C: $6$

Áp dụng quy tắc nhân: $$ 4 \cdot 5 \cdot 6 = 120. $$

Kết quả: $120$

c) Có 2 trường hợp:

• 1 học sinh lớp 10A và 1 học sinh lớp 10B: $$4 \cdot 5 = 20.$$
• 1 học sinh lớp 10A và 1 học sinh lớp 10C: $$4 \cdot 6 = 24.$$
• 1 học sinh lớp 10B và 1 học sinh lớp 10C: $$5 \cdot 6 = 30.$$

Tổng số cách: $$ 20 + 24 + 30 = 74. $$

Kết quả: $74$

Bài 2. Một khóa số có 3 vòng số (mỗi vòng gồm 10 số, từ 0 đến 9). Người dùng cần đặt mật mã cho khóa là một dãy số có 3 chữ số. Để mở khóa, cần xoay các vòng số để dãy số phía trước khóa trùng với mật mã đã chọn. Có bao nhiêu cách chọn mặt mã cho khóa?

Lời giải:

• Số cách chọn chữ số cho vòng 1: $10$
• Số cách chọn chữ số cho vòng 2: $10$
• Số cách chọn chữ số cho vòng 3: $10$

Áp dụng quy tắc nhân: $$ 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000. $$

Kết quả: $1000$

Bài 3. Từ 6 thẻ số như Hình 2, có thể ghép để tạo thành

a) số tự nhiên có 6 chữ số?

b) số tự nhiên lẻ có 6 chữ số?

c) số tự nhiên có 5 chữ số?

d) số tự nhiên có 5 chữ số lớn hơn 50 000?

Lời giải:

a) Số cách ghép: $$ 6! = 720. $$

Kết quả: $720$

b) Chữ số cuối cùng phải là số lẻ (1, 3, 5).

• Số cách chọn chữ số cuối: $3$
• Số cách sắp xếp 5 chữ số còn lại: $5!$

Tổng số cách: $$ 3 \cdot 5! = 360. $$

Kết quả: $360$

c) Số cách ghép: $$ 6 \cdot 5! = 720. $$

Kết quả: $720$

d) Chữ số đầu tiên phải là 5 hoặc 6.

• Số cách chọn chữ số đầu: $2$
• Số cách sắp xếp 4 chữ số còn lại: $4!$

Tổng số cách: $$ 2 \cdot 4! = 48. $$

Kết quả: $48$

Bài 4. Thực đơn tại một quán cơm văn phòng có 6 món mặn, 5 món rau và 3 món canh. Tại đây, một nhóm khách muốn chọn bữa trưa gồm cơm, 2 món mặn, 2 món rau và 1 món canh. Nhóm khách có bao nhiêu cách chọn?

Lời giải:

• Số cách chọn 2 món mặn: $\binom{6}{2} = 15$
• Số cách chọn 2 món rau: $\binom{5}{2} = 10$
• Số cách chọn 1 món canh: $\binom{3}{1} = 3$

Áp dụng quy tắc nhân: $$ 15 \cdot 10 \cdot 3 = 450. $$

Kết quả: $450$

Bài 5. Cho 9 điểm nằm trên hai đường thẳng song song như Hình 3. Có bao nhiêu tam giác có các đỉnh là ba điểm trong các điểm đã cho?

Lời giải:

Giả sử có $m$ điểm nằm trên đường thẳng thứ nhất và $n$ điểm nằm trên đường thẳng thứ hai.

• Nếu chọn 3 điểm từ đường thẳng thứ nhất: $\binom{m}{3} = 0$ (vì $m < 3$)
• Nếu chọn 3 điểm từ đường thẳng thứ hai: $\binom{n}{3} = 0$ (vì $n < 3$)
• Nếu chọn 2 điểm từ đường thẳng thứ nhất và 1 điểm từ đường thẳng thứ hai: $\binom{m}{2} \cdot \binom{n}{1}$
• Nếu chọn 1 điểm từ đường thẳng thứ nhất và 2 điểm từ đường thẳng thứ hai: $\binom{m}{1} \cdot \binom{n}{2}$

Dựa vào hình vẽ, ta có $m = 5$ và $n = 4$. $$ \binom{5}{2} \cdot \binom{4}{1} + \binom{5}{1} \cdot \binom{4}{2} = 10 \cdot 4 + 5 \cdot 6 = 40 + 30 = 70. $$

Kết quả: $70$

Bài 6. Khai triển các biểu thức:

a) $a - \frac{b}{a}$

b) $(2x^2 + 1)^5$

Lời giải:

a) $$ a - \frac{b}{a} = a - b \cdot a^{-1}. $$

b) $$ (2x^2 + 1)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} (2x^2)^k \cdot 1^{5-k} $$

Kết quả: a) $a - \frac{b}{a}$ b) $(2x^2 + 1)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} (2x^2)^k$

Bài 7. Hãy khai triển và rút gọn biểu thức $$ (1+x)^4 + (1-x)^4. $$

Sử dụng kết quả đó để tính gần đúng giá trị biểu thức $$ 1.05^4 + 0.95^4. $$

Lời giải:

Khai triển: $$ (1+x)^4 = 1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4 $$ $$ (1-x)^4 = 1 - 4x + 6x^2 - 4x^3 + x^4 $$

Cộng hai biểu thức: $$ (1+x)^4 + (1-x)^4 = 2 + 12x^2 + 2x^4. $$

Tính gần đúng:

• Đặt $x = 0.05$:$$1.05^4 + 0.95^4 = 2 + 12 \cdot 0.05^2 + 2 \cdot 0.05^4 \approx 2.12.$$

Kết quả: $2.12$

---

Trang 37 — Chương IX

Trang này không có BÀI TẬP / CÂU HỎI / LUYỆN TẬP / VÍ DỤ cần giải.

SKIP

---

Trang 39 — Toạ độ của vectơ

Trang này chỉ chứa phần lý thuyết về tọa độ của vectơ đối với một hệ trục tọa độ, bao gồm các khái niệm về trục tọa độ, hệ trục tọa độ, và tọa độ của một vectơ. Không có bài tập, câu hỏi, luyện tập, hoặc ví dụ cụ thể cần giải.

SKIP