Giải Toán 10 Tập 2 trang 48-51 - Chân trời sáng tạo

Trang 48 — Phương trình đường thẳng

Bài 1. a) Viết phương trình tham số của đường thẳng $d$ đi qua điểm $B(-9; 5)$ và nhận $\vec{v} = (8; -4)$ làm vecto chỉ phương.

Lời giải: Phương trình tham số của đường thẳng $d$ đi qua điểm $B(-9; 5)$ và nhận $\vec{v} = (8; -4)$ làm vecto chỉ phương là: $$ \begin{cases} x = -9 + 8t \ y = 5 - 4t \end{cases} $$

Kết quả: $\begin{cases} x = -9 + 8t \\ y = 5 - 4t \end{cases}$

Bài 2. b) Tìm tọa độ điểm $P$ trên $\Delta$, biết $P$ có tung độ bằng $1$.

Lời giải: Thay $y = 1$ vào phương trình $y = 5 - 4t$, ta được: $$ 1 = 5 - 4t \Rightarrow 4t = 4 \Rightarrow t = 1 $$ Thay $t = 1$ vào phương trình $x = -9 + 8t$, ta được: $$ x = -9 + 8 \cdot 1 = -1 $$ Vậy $P = (-1; 1)$.

Kết quả: $P = (-1; 1)$

---

Trang 49 — Phương trình đường thẳng

Bài tập

1. Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ trong các trường hợp sau:

a) Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(2; 1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (3; 2)$

Lời giải:

Phương trình tham số của đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(2; 1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (3; 2)$ là:

$$\begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 1 + 2t \end{cases}$$

Để tìm phương trình tổng quát, ta làm như sau:

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$ là $\vec{n} = (2; -3)$.

Phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ là:

$$2(x - 2) - 3(y - 1) = 0$$ $$\iff 2x - 4 - 3y + 3 = 0$$ $$\iff 2x - 3y - 1 = 0$$

Kết quả: $\begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 1 + 2t \end{cases}$, $2x - 3y - 1 = 0$

b) Đường thẳng $d$ đi qua điểm $B(3; 3)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (5; -2)$

Lời giải:

Phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ đi qua điểm $B(3; 3)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (5; -2)$ là:

$$5(x - 3) - 2(y - 3) = 0$$ $$\iff 5x - 15 - 2y + 6 = 0$$ $$\iff 5x - 2y - 9 = 0$$

Để tìm phương trình tham số, ta làm như sau:

Vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\vec{u} = (2; 5)$.

Phương trình tham số của đường thẳng $d$ là:

$$\begin{cases} x = 3 + 2t \\ y = 3 + 5t \end{cases}$$

Kết quả: $\begin{cases} x = 3 + 2t \\ y = 3 + 5t \end{cases}$, $5x - 2y - 9 = 0$

c) Đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $C(1; 1), D(3; 5)$

Lời giải:

Vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là:

$$\vec{CD} = (3 - 1, 5 - 1) = (2, 4)$$

Phương trình tham số của đường thẳng $d$ là:

$$\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 1 + 4t \end{cases}$$

Phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ là:

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$ là $\vec{n} = (2; -1)$.

$$2(x - 1) - 1(y - 1) = 0$$ $$\iff 2x - 2 - y + 1 = 0$$ $$\iff 2x - y - 1 = 0$$

Kết quả: $\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 1 + 4t \end{cases}$, $2x - y - 1 = 0$

---

Trang 50 —

Bài 2. Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ trong các trường hợp sau:

a) Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1; 1)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (3; 5)$;

Lời giải:

a) Đường thẳng $\Delta$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (3; 5)$ nên có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (5; -3)$.

Phương trình tham số của $\Delta$ là: $$ \begin{cases} x = 1 + 5t \ y = 1 - 3t \end{cases} $$

Phương trình tổng quát của $\Delta$ là: $3(x - 1) + 5(y - 1) = 0 \Leftrightarrow 3x + 5y - 8 = 0$.

Kết quả: $\begin{cases} x = 1 + 5t \\ y = 1 - 3t \end{cases}$, $3x + 5y - 8 = 0$.

Bài 2. Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ trong các trường hợp sau:

b) Đường thẳng $\Delta$ đi qua gốc toạ độ $O(0; 0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (2; -7)$;

Lời giải:

b) Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (2; -7)$.

Phương trình tham số của $\Delta$ là: $$ \begin{cases} x = 2t \ y = -7t \end{cases} $$

Phương trình tổng quát của $\Delta$ là: $-7(x - 0) - 2(y - 0) = 0 \Leftrightarrow -7x - 2y = 0 \Leftrightarrow 7x + 2y = 0$.

Kết quả: $\begin{cases} x = 2t \\ y = -7t \end{cases}$, $7x + 2y = 0$.

Bài 2. Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ trong các trường hợp sau:

c) Đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm $M(4; 0)$ và $N(0; 3)$.

Lời giải:

c) Đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm $M(4; 0)$ và $N(0; 3)$ nên có vectơ chỉ phương $\vec{u} = \vec{MN} = (-4; 3)$.

Phương trình tham số của $\Delta$ là: $$ \begin{cases} x = 4 - 4t \ y = 3t \end{cases} $$

Phương trình tổng quát của $\Delta$ là: $3(x - 4) + 4(y - 0) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 12 = 0$.

Kết quả: $\begin{cases} x = 4 - 4t \\ y = 3t \end{cases}$, $3x + 4y - 12 = 0$.

---

Trang 51 — Liên hệ giữa đồ thị hàm số bậc nhất và đường thẳng

Ví dụ 4. Viết phương trình tổng quát của các đường thẳng là đồ thị các hàm số bậc nhất sau:

a) $d_1: y = 2x + 3;$

b) $d_2: y = -\frac{1}{2}x + 5;$

c) $d_3: y = x.$

Lời giải:

a) Ta có $y = 2x + 3 \Leftrightarrow 2x - y + 3 = 0.$

Vậy phương trình tổng quát của $d_1$ là: $2x - y + 3 = 0.$

Kết quả: $2x - y + 3 = 0$

b) Ta có $y = -\frac{1}{2}x + 5 \Leftrightarrow -\frac{1}{2}x - y + 5 = 0 \Leftrightarrow -x - 2y + 10 = 0.$

Vậy phương trình tổng quát của $d_2$ là: $-x - 2y + 10 = 0.$

Kết quả: $-x - 2y + 10 = 0$

c) Ta có $y = x \Leftrightarrow x - y = 0.$

Vậy phương trình tổng quát của $d_3$ là: $x - y = 0.$

Kết quả: $x - y = 0$