Giải Toán 10 Tập 2 trang 52-55 - Chân trời sáng tạo

Trang 52 — Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Bài 1. Tìm các hàm số bậc nhất có đồ thị là các đường thẳng trong hình vẽ.

Lời giải:

a) Gọi hàm số cần tìm có dạng $y = f(x) = ax + b$.

Bể chứa nước ban đầu có $5\ \text{m}^3$, mỗi giờ vòi chảy vào bể với tốc độ $2\ \text{m}^3/\text{h}$.

Sau $x$ giờ, lượng nước trong bể là $y = 5 + 2x$.

Vậy biểu thức tính thể tích $y$ của nước có trong bể sau $x$ giờ là:

$$y = 5 + 2x.$$

b) Vẽ đồ thị hàm số $y = f(x) = 5 + 2x$.

Đồ thị hàm số $y = 5 + 2x$ là đường thẳng có hệ số góc $a = 2$ và đi qua điểm $(0;5)$.

c) Ta có $y = 5 + 2x \Leftrightarrow 2x - y + 5 = 0.$

Vậy phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ lần lượt là:

• Phương trình tham số: $x = t, y = 5 + 2t.$
• Phương trình tổng quát: $2x - y + 5 = 0.$

Kết quả: $y = 5 + 2x.$

Bài 2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ có vecto pháp tuyến lần lượt là $\vec{n_1}$ và $\vec{n_2}.$

Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa $\Delta_1$ và $\Delta_2$ trong các trường hợp sau:

a) $\vec{n_1}$ và $\vec{n_2}$ cùng phương (Hình 5a, b);

b) $\vec{n_1}$ và $\vec{n_2}$ không cùng phương (Hình 5c, d);

c) $\vec{n_1}$ và $\vec{n_2}$ vuông góc (Hình 5d).

Lời giải:

a) Nếu $\vec{n_1}$ và $\vec{n_2}$ cùng phương thì $\Delta_1$ và $\Delta_2$ song song hoặc trùng nhau.

b) Nếu $\vec{n_1}$ và $\vec{n_2}$ không cùng phương thì $\Delta_1$ và $\Delta_2$ cắt nhau.

c) Nếu $\vec{n_1}$ và $\vec{n_2}$ vuông góc thì $\Delta_1$ và $\Delta_2$ vuông góc.

Trong mặt phẳng $Oxy,$ cho hai đường thẳng $\Delta_1: a_1x + b_1y + c_1 = 0 \ (a_1^2 + b_1^2 > 0)$ có vecto pháp tuyến $\vec{n_1}$ và đường thẳng $\Delta_2: a_2x + b_2y + c_2 = 0 \ (a_2^2 + b_2^2 > 0)$ có vecto pháp tuyến $\vec{n_2}.$

Kết quả:

• $\Delta_1 // \Delta_2$ hoặc $\Delta_1 \equiv \Delta_2$ nếu $\vec{n_1} // \vec{n_2}.$
• $\Delta_1$ cắt $\Delta_2$ nếu $\vec{n_1}$ và $\vec{n_2}$ không cùng phương.
• $\Delta_1 \perp \Delta_2$ nếu $\vec{n_1} \perp \vec{n_2}.$

---

Trang 53 — Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Ví dụ 5. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\Delta_1: 2x + y - 2 = 0$ và $\Delta_2: x - 2 = 0$;

Lời giải:

a) $\Delta_1$ và $\Delta_2$ có vector pháp tuyến lần lượt là $\vec{n_1} = (2; 1)$ và $\vec{n_2} = (1; 0)$.

Ta có: $a_1b_2 - a_2b_1 = 2 \cdot 0 - 1 \cdot 1 = -1 \neq 0$, suy ra $\vec{n_1}$ và $\vec{n_2}$ là hai vector không cùng phương.

Vậy $\Delta_1$ và $\Delta_2$ cắt nhau tại một điểm $M$. Giải hệ phương trình:

$$\begin{cases} 2x+y-2=0 \\ x-2=0 \end{cases}$$

ta được $M(2; -2)$.

Kết quả: $\Delta_1$ và $\Delta_2$ cắt nhau tại $M(2; -2)$.

---

b) $\Delta_1: 2x + y - 2 = 0$ và $\Delta_2: x - y - 1 = 0$;

Lời giải:

b) $\Delta_1$ và $\Delta_2$ có vector pháp tuyến lần lượt là $\vec{n_1} = (2; 1)$ và $\vec{n_2} = (1; -1)$.

Ta có: $a_1b_2 - a_2b_1 = 2 \cdot (-1) - 1 \cdot 1 = -3 \neq 0$, suy ra $\vec{n_1}$ và $\vec{n_2}$ là hai vector không cùng phương.

Vậy $\Delta_1$ và $\Delta_2$ cắt nhau tại một điểm $M$. Giải hệ phương trình:

$$\begin{cases} 2x+y-2=0 \\ x-y-1=0 \end{cases}$$

ta được $M(\frac{3}{2}; \frac{1}{2})$.

Kết quả: $\Delta_1$ và $\Delta_2$ cắt nhau tại $M(\frac{3}{2}; \frac{1}{2})$.

---

c) $\Delta_1: 2x + y - 2 = 0$ và $\Delta_2: 4x + 2y + 3 = 0$;

Lời giải:

c) $\Delta_1$ và $\Delta_2$ có vector pháp tuyến lần lượt là $\vec{n_1} = (2; 1)$ và $\vec{n_2} = (4; 2)$.

Ta có: $a_1b_2 - a_2b_1 = 2 \cdot 2 - 4 \cdot 1 = 0$, suy ra $\vec{n_1}$ và $\vec{n_2}$ là hai vector cùng phương.

Ta có: $\frac{2}{4} \neq \frac{1}{2}$, suy ra $\Delta_1$ và $\Delta_2$ song song.

Kết quả: $\Delta_1 // \Delta_2$.

---

d) $\Delta_1: 2x + y - 2 = 0$ và $\Delta_2: \begin{cases} x = 3t \\ y = 2 - 6t \end{cases}$;

Lời giải:

d) $\Delta_1$ có vector pháp tuyến là $\vec{n_1} = (2; 1)$.

$\Delta_2$ có vector chỉ phương là $\vec{u_2} = (3; -6)$, suy ra vector pháp tuyến là $\vec{n_2} = (2; 1)$.

Ta có: $\vec{n_1} = \vec{n_2}$, suy ra $\vec{n_1}$ và $\vec{n_2}$ là hai vector cùng phương.

Lấy $P(0; 2) \in \Delta_2$, thay vào phương trình $\Delta_1$ ta có $2 \cdot 0 + 2 - 2 = 0$ (đúng).

Vậy $P \in \Delta_1$.

Kết quả: $\Delta_1 \equiv \Delta_2$.

---

e) $\Delta_1: \begin{cases} x = t \\ y = 2 - 2t \end{cases}$ và $\Delta_2: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = t \end{cases}$.

Lời giải:

e) $\Delta_1$ có vector chỉ phương là $\vec{u_1} = (1; -2)$.

$\Delta_2$ có vector chỉ phương là $\vec{u_2} = (2; 1)$.

Ta có: $1 \cdot 1 - (-2) \cdot 2 = 5 \neq 0$, suy ra $\vec{u_1}$ và $\vec{u_2}$ là hai vector không cùng phương.

Vậy $\Delta_1$ và $\Delta_2$ cắt nhau tại một điểm $M$.

Giải hệ phương trình:

$$\begin{cases} x=t \\ y=2-2t \\ x=1+2t \\ y=t \end{cases}$$

ta được $M(\frac{1}{3}; \frac{4}{3})$.

Kết quả: $\Delta_1$ và $\Delta_2$ cắt nhau tại $M(\frac{1}{3}; \frac{4}{3})$.

---

Trang 54 —

Bài tập

Bài 1. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng $d_1$ và $d_2$ trong các trường hợp sau:

a) $d_1: x - 5y + 9 = 0$ và $d_2: 10x + 2y + 7 = 10$;

Lời giải:

Viết lại phương trình đường thẳng $d_2$ dưới dạng tổng quát:

$$10x + 2y - 3 = 0$$

Vector pháp tuyến của $d_1$ là $\vec{n_1} = (1; -5)$ và vector pháp tuyến của $d_2$ là $\vec{n_2} = (10; 2)$.

Ta có:

$$\frac{1}{10} \ne \frac{-5}{2}$$

Suy ra $\vec{n_1}$ và $\vec{n_2}$ không cùng phương.

Vậy $d_1$ và $d_2$ cắt nhau.

Để tìm giao điểm, giải hệ phương trình:

$$\begin{cases} x - 5y + 9 = 0 \\ 10x + 2y - 3 = 0 \end{cases}$$

Từ phương trình thứ nhất:

$$x = 5y - 9$$

Thay vào phương trình thứ hai:

$$10(5y - 9) + 2y - 3 = 0 \\ 50y - 90 + 2y - 3 = 0 \\ 52y - 93 = 0 \\ 52y = 93 \\ y = \frac{93}{52}$$

Suy ra:

$$x = 5 \cdot \frac{93}{52} - 9 = \frac{465}{52} - \frac{468}{52} = -\frac{3}{52}$$

Vậy giao điểm của $d_1$ và $d_2$ là $\left( -\frac{3}{52}; \frac{93}{52} \right)$.

Kết quả: $d_1$ và $d_2$ cắt nhau tại $\left( -\frac{3}{52}; \frac{93}{52} \right)$.

b) $d_1: 3x - 4y + 9 = 0$ và $d_2: \begin{cases} x = 1 + 4t \\ y = 1 + 3t \end{cases}$;

Lời giải:

Vector pháp tuyến của $d_1$ là $\vec{n_1} = (3; -4)$.

Đường thẳng $d_2$ có vector chỉ phương $\vec{u_2} = (4; 3)$.

Ta có:

$$\vec{n_1} \cdot \vec{u_2} = 3 \cdot 4 + (-4) \cdot 3 = 12 - 12 = 0$$

Suy ra $\vec{n_1}$ và $\vec{u_2}$ vuông góc.

Vậy $d_1$ và $d_2$ cắt nhau.

Thay $x = 1 + 4t$ và $y = 1 + 3t$ vào phương trình $d_1$:

$$3(1 + 4t) - 4(1 + 3t) + 9 = 0 \\ 3 + 12t - 4 - 12t + 9 = 0 \\ 8 = 0$$

Phương trình vô nghiệm, suy ra $d_1$ và $d_2$ song song.

Kết quả: $d_1 \parallel d_2$.

c) $d_1: \begin{cases} x = 5 + 4t \\ y = 4 + 3t \end{cases}$ và $d_2: \begin{cases} x = 1 + 8t \\ y = 1 + 6t \end{cases}$.

Lời giải:

Vector chỉ phương của $d_1$ là $\vec{u_1} = (4; 3)$ và vector chỉ phương của $d_2$ là $\vec{u_2} = (8; 6)$.

Ta có:

$$\vec{u_2} = 2\vec{u_1}$$

Suy ra $\vec{u_1}$ và $\vec{u_2}$ cùng phương.

Lấy điểm $M(5; 4)$ thuộc $d_1$ và điểm $N(1; 1)$ thuộc $d_2$.

Thay điểm $M(5; 4)$ vào phương trình $d_2$:

$$\begin{cases} 5 = 1 + 8t \\ 4 = 1 + 6t \end{cases}$$

Giải hệ phương trình:

$$\begin{cases} 4 = 8t \\ 3 = 6t \end{cases}$$

Phương trình vô nghiệm, suy ra $M \notin d_2$.

Vậy $d_1 \parallel d_2$.

Kết quả: $d_1 \parallel d_2$.

---

Bài 2. Viết phương trình đường thẳng $d_1$:

a) Đi qua điểm $A(2; 3)$ và song song với đường thẳng $d_2: x + 3y + 2 = 0$;

Lời giải:

Vector pháp tuyến của $d_2$ là $\vec{n_2} = (1; 3)$.

Vì $d_1 \parallel d_2$ nên vector pháp tuyến của $d_1$ cũng là $\vec{n_1} = (1; 3)$.

Phương trình đường thẳng $d_1$:

$$1(x - 2) + 3(y - 3) = 0 \\ x - 2 + 3y - 9 = 0 \\ x + 3y - 11 = 0$$

Kết quả: $x + 3y - 11 = 0$.

b) Đi qua điểm $B(4; -1)$ và vuông góc với đường thẳng $d_3: 3x - y + 1 = 0$.

Lời giải:

Vector pháp tuyến của $d_3$ là $\vec{n_3} = (3; -1)$.

Vì $d_1 \perp d_3$ nên vector pháp tuyến của $d_1$ là $\vec{n_1} = (1; 3)$.

Phương trình đường thẳng $d_1$:

$$1(x - 4) + 3(y + 1) = 0 \\ x - 4 + 3y + 3 = 0 \\ x + 3y - 1 = 0$$

Kết quả: $x + 3y - 1 = 0$.

---

Trang 55 — Góc giữa hai đường thẳng. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Bài 1. Cho hai đường thẳng $xy$ và $zt$ cắt nhau tại $O$ và cho biết $\widehat{xOz} = 38^\circ$ (Hình 6). Tính số đo các góc $\widehat{xOt}$, $\widehat{tOy}$ và $\widehat{yOz}$.

Lời giải:

Ta có $\widehat{xOt}$ và $\widehat{xOz}$ là hai góc đối đỉnh nên $\widehat{xOt} = \widehat{xOz} = 38^\circ$.

Ta lại có $\widehat{xOt} + \widehat{tOy} = 180^\circ$ (hai góc kề bù)

Suy ra $\widehat{tOy} = 180^\circ - \widehat{xOt} = 180^\circ - 38^\circ = 142^\circ$.

Mà $\widehat{yOz}$ và $\widehat{xOt}$ là hai góc đối đỉnh nên $\widehat{yOz} = \widehat{xOt} = 38^\circ$.

Kết quả: $\widehat{xOt} = 38^\circ$, $\widehat{tOy} = 142^\circ$, $\widehat{yOz} = 38^\circ$.

Bài 2. Cho hình vuông $ABCD$ (Hình 7). Tính các góc $(AB,AC)$, $(AB,AD)$, $(AB,DC)$, $(AC,CD)$.

Lời giải:

Ta có:

• $\widehat{BAC} = 45^\circ$, suy ra $(AB,AC) = 45^\circ$.
• $AB$ vuông góc với $AD$, suy ra $(AB,AD) = 90^\circ$.
• $AB // DC$, suy ra $(AB,DC) = 0^\circ$.
• $\widehat{ACD} = 45^\circ$, suy ra $(AC,CD) = 45^\circ$.

Kết quả: $(AB,AC) = 45^\circ$, $(AB,AD) = 90^\circ$, $(AB,DC) = 0^\circ$, $(AC,CD) = 45^\circ$.