Trang 52 — Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Bài 1. Tìm các hàm số bậc nhất có đồ thị là các đường thẳng trong hình vẽ.

Lời giải:

a) Gọi hàm số cần tìm có dạng y=f(x)=ax+by = f(x) = ax + b.

Bể chứa nước ban đầu có 5 m35\ \text{m}^3, mỗi giờ vòi chảy vào bể với tốc độ 2 m3/h2\ \text{m}^3/\text{h}.

Sau xx giờ, lượng nước trong bể là y=5+2xy = 5 + 2x.

Vậy biểu thức tính thể tích yy của nước có trong bể sau xx giờ là:

y=5+2x.y = 5 + 2x.

b) Vẽ đồ thị hàm số y=f(x)=5+2xy = f(x) = 5 + 2x.

Đồ thị hàm số y=5+2xy = 5 + 2x là đường thẳng có hệ số góc a=2a = 2 và đi qua điểm (0;5)(0;5).

c) Ta có y=5+2x⇔2x−y+5=0.y = 5 + 2x \Leftrightarrow 2x - y + 5 = 0.

Vậy phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng dd lần lượt là:

  • Phương trình tham số: x=t,y=5+2t.x = t, y = 5 + 2t.
  • Phương trình tổng quát: 2x−y+5=0.2x - y + 5 = 0.

Kết quả: y=5+2x.y = 5 + 2x.

Bài 2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng Δ1\Delta_1 và Δ2\Delta_2 có vecto pháp tuyến lần lượt là n1⃗\vec{n_1} và n2⃗.\vec{n_2}.

Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa Δ1\Delta_1 và Δ2\Delta_2 trong các trường hợp sau:

a) n1⃗\vec{n_1} và n2⃗\vec{n_2} cùng phương (Hình 5a, b);

b) n1⃗\vec{n_1} và n2⃗\vec{n_2} không cùng phương (Hình 5c, d);

c) n1⃗\vec{n_1} và n2⃗\vec{n_2} vuông góc (Hình 5d).

Lời giải:

a) Nếu n1⃗\vec{n_1} và n2⃗\vec{n_2} cùng phương thì Δ1\Delta_1 và Δ2\Delta_2 song song hoặc trùng nhau.

b) Nếu n1⃗\vec{n_1} và n2⃗\vec{n_2} không cùng phương thì Δ1\Delta_1 và Δ2\Delta_2 cắt nhau.

c) Nếu n1⃗\vec{n_1} và n2⃗\vec{n_2} vuông góc thì Δ1\Delta_1 và Δ2\Delta_2 vuông góc.

Trong mặt phẳng Oxy,Oxy, cho hai đường thẳng Δ1:a1x+b1y+c1=0 (a12+b12>0)\Delta_1: a_1x + b_1y + c_1 = 0 \ (a_1^2 + b_1^2 > 0) có vecto pháp tuyến n1⃗\vec{n_1} và đường thẳng Δ2:a2x+b2y+c2=0 (a22+b22>0)\Delta_2: a_2x + b_2y + c_2 = 0 \ (a_2^2 + b_2^2 > 0) có vecto pháp tuyến n2⃗.\vec{n_2}.

Kết quả:

  • Δ1//Δ2\Delta_1 // \Delta_2 hoặc Δ1≡Δ2\Delta_1 \equiv \Delta_2 nếu n1⃗//n2⃗.\vec{n_1} // \vec{n_2}.
  • Δ1\Delta_1 cắt Δ2\Delta_2 nếu n1⃗\vec{n_1} và n2⃗\vec{n_2} không cùng phương.
  • Δ1⊥Δ2\Delta_1 \perp \Delta_2 nếu n1⃗⊥n2⃗.\vec{n_1} \perp \vec{n_2}.

Trang 53 — Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Ví dụ 5. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng Δ1\Delta_1 và Δ2\Delta_2 trong mỗi trường hợp sau:

a) Δ1:2x+y−2=0\Delta_1: 2x + y - 2 = 0 và Δ2:x−2=0\Delta_2: x - 2 = 0;

Lời giải:

a) Δ1\Delta_1 và Δ2\Delta_2 có vector pháp tuyến lần lượt là n1⃗=(2;1)\vec{n_1} = (2; 1) và n2⃗=(1;0)\vec{n_2} = (1; 0).

Ta có: a1b2−a2b1=2⋅0−1⋅1=−1≠0a_1b_2 - a_2b_1 = 2 \cdot 0 - 1 \cdot 1 = -1 \neq 0, suy ra n1⃗\vec{n_1} và n2⃗\vec{n_2} là hai vector không cùng phương.

Vậy Δ1\Delta_1 và Δ2\Delta_2 cắt nhau tại một điểm MM. Giải hệ phương trình: $$ \begin{cases} 2x+y-2=0 \ x-2=0 \end{cases} $$ ta được M(2;−2)M(2; -2).

Kết quả: Δ1\Delta_1 và Δ2\Delta_2 cắt nhau tại M(2;−2)M(2; -2).

b) Δ1:2x+y−2=0\Delta_1: 2x + y - 2 = 0 và Δ2:x−y−1=0\Delta_2: x - y - 1 = 0;

Lời giải:

b) Δ1\Delta_1 và Δ2\Delta_2 có vector pháp tuyến lần lượt là n1⃗=(2;1)\vec{n_1} = (2; 1) và n2⃗=(1;−1)\vec{n_2} = (1; -1).

Ta có: a1b2−a2b1=2⋅(−1)−1⋅1=−3≠0a_1b_2 - a_2b_1 = 2 \cdot (-1) - 1 \cdot 1 = -3 \neq 0, suy ra n1⃗\vec{n_1} và n2⃗\vec{n_2} là hai vector không cùng phương.

Vậy Δ1\Delta_1 và Δ2\Delta_2 cắt nhau tại một điểm MM. Giải hệ phương trình: $$ \begin{cases} 2x+y-2=0 \ x-y-1=0 \end{cases} $$ ta được M(32;12)M(\frac{3}{2}; \frac{1}{2}).

Kết quả: Δ1\Delta_1 và Δ2\Delta_2 cắt nhau tại M(32;12)M(\frac{3}{2}; \frac{1}{2}).

c) Δ1:2x+y−2=0\Delta_1: 2x + y - 2 = 0 và Δ2:4x+2y+3=0\Delta_2: 4x + 2y + 3 = 0;

Lời giải:

c) Δ1\Delta_1 và Δ2\Delta_2 có vector pháp tuyến lần lượt là n1⃗=(2;1)\vec{n_1} = (2; 1) và n2⃗=(4;2)\vec{n_2} = (4; 2).

Ta có: a1b2−a2b1=2⋅2−4⋅1=0a_1b_2 - a_2b_1 = 2 \cdot 2 - 4 \cdot 1 = 0, suy ra n1⃗\vec{n_1} và n2⃗\vec{n_2} là hai vector cùng phương.

Ta có: 24≠12\frac{2}{4} \neq \frac{1}{2}, suy ra Δ1\Delta_1 và Δ2\Delta_2 song song.

Kết quả: Δ1//Δ2\Delta_1 // \Delta_2.

d) Δ1:2x+y−2=0\Delta_1: 2x + y - 2 = 0 và Δ2:{x=3ty=2−6t\Delta_2: \begin{cases} x = 3t \\ y = 2 - 6t \end{cases};

Lời giải:

d) Δ1\Delta_1 có vector pháp tuyến là n1⃗=(2;1)\vec{n_1} = (2; 1).

Δ2\Delta_2 có vector chỉ phương là u2⃗=(3;−6)\vec{u_2} = (3; -6), suy ra vector pháp tuyến là n2⃗=(2;1)\vec{n_2} = (2; 1).

Ta có: n1⃗=n2⃗\vec{n_1} = \vec{n_2}, suy ra n1⃗\vec{n_1} và n2⃗\vec{n_2} là hai vector cùng phương.

Lấy P(0;2)∈Δ2P(0; 2) \in \Delta_2, thay vào phương trình Δ1\Delta_1 ta có 2⋅0+2−2=02 \cdot 0 + 2 - 2 = 0 (đúng).

Vậy P∈Δ1P \in \Delta_1.

Kết quả: Δ1≡Δ2\Delta_1 \equiv \Delta_2.

e) Δ1:{x=ty=2−2t\Delta_1: \begin{cases} x = t \\ y = 2 - 2t \end{cases} và Δ2:{x=1+2ty=t\Delta_2: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = t \end{cases}.

Lời giải:

e) Δ1\Delta_1 có vector chỉ phương là u1⃗=(1;−2)\vec{u_1} = (1; -2).

Δ2\Delta_2 có vector chỉ phương là u2⃗=(2;1)\vec{u_2} = (2; 1).

Ta có: 1⋅1−(−2)⋅2=5≠01 \cdot 1 - (-2) \cdot 2 = 5 \neq 0, suy ra u1⃗\vec{u_1} và u2⃗\vec{u_2} là hai vector không cùng phương.

Vậy Δ1\Delta_1 và Δ2\Delta_2 cắt nhau tại một điểm MM.

Giải hệ phương trình: $$ \begin{cases} x=t \ y=2-2t \ x=1+2t \ y=t \end{cases} $$ ta được M(13;43)M(\frac{1}{3}; \frac{4}{3}).

Kết quả: Δ1\Delta_1 và Δ2\Delta_2 cắt nhau tại M(13;43)M(\frac{1}{3}; \frac{4}{3}).

Trang 54 —

Bài tập

Bài 1. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d1d_1 và d2d_2 trong các trường hợp sau:

a) d1:x−5y+9=0d_1: x - 5y + 9 = 0 và d2:10x+2y+7=10d_2: 10x + 2y + 7 = 10;

Lời giải:

Viết lại phương trình đường thẳng d2d_2 dưới dạng tổng quát: $$ 10x + 2y - 3 = 0 $$

Vector pháp tuyến của d1d_1 là n1⃗=(1;−5)\vec{n_1} = (1; -5) và vector pháp tuyến của d2d_2 là n2⃗=(10;2)\vec{n_2} = (10; 2).

Ta có: $$ \frac{1}{10} \ne \frac{-5}{2} $$ Suy ra n1⃗\vec{n_1} và n2⃗\vec{n_2} không cùng phương.

Vậy d1d_1 và d2d_2 cắt nhau.

Để tìm giao điểm, giải hệ phương trình: $$ \begin{cases} x - 5y + 9 = 0 \ 10x + 2y - 3 = 0 \end{cases} $$

Từ phương trình thứ nhất: $$ x = 5y - 9 $$

Thay vào phương trình thứ hai: $$ 10(5y - 9) + 2y - 3 = 0 \ 50y - 90 + 2y - 3 = 0 \ 52y - 93 = 0 \ 52y = 93 \ y = \frac{93}{52} $$

Suy ra: $$ x = 5 \cdot \frac{93}{52} - 9 = \frac{465}{52} - \frac{468}{52} = -\frac{3}{52} $$

Vậy giao điểm của d1d_1 và d2d_2 là (−352;9352)\left( -\frac{3}{52}; \frac{93}{52} \right).

Kết quả: d1d_1 và d2d_2 cắt nhau tại (−352;9352)\left( -\frac{3}{52}; \frac{93}{52} \right).

b) d1:3x−4y+9=0d_1: 3x - 4y + 9 = 0 và d2:{x=1+4ty=1+3td_2: \begin{cases} x = 1 + 4t \\ y = 1 + 3t \end{cases};

Lời giải:

Vector pháp tuyến của d1d_1 là n1⃗=(3;−4)\vec{n_1} = (3; -4).

Đường thẳng d2d_2 có vector chỉ phương u2⃗=(4;3)\vec{u_2} = (4; 3).

Ta có: $$ \vec{n_1} \cdot \vec{u_2} = 3 \cdot 4 + (-4) \cdot 3 = 12 - 12 = 0 $$ Suy ra n1⃗\vec{n_1} và u2⃗\vec{u_2} vuông góc.

Vậy d1d_1 và d2d_2 cắt nhau.

Thay x=1+4tx = 1 + 4t và y=1+3ty = 1 + 3t vào phương trình d1d_1: $$ 3(1 + 4t) - 4(1 + 3t) + 9 = 0 \ 3 + 12t - 4 - 12t + 9 = 0 \ 8 = 0 $$

Phương trình vô nghiệm, suy ra d1d_1 và d2d_2 song song.

Kết quả: d1∥d2d_1 \parallel d_2.

c) d1:{x=5+4ty=4+3td_1: \begin{cases} x = 5 + 4t \\ y = 4 + 3t \end{cases} và d2:{x=1+8ty=1+6td_2: \begin{cases} x = 1 + 8t \\ y = 1 + 6t \end{cases}.

Lời giải:

Vector chỉ phương của d1d_1 là u1⃗=(4;3)\vec{u_1} = (4; 3) và vector chỉ phương của d2d_2 là u2⃗=(8;6)\vec{u_2} = (8; 6).

Ta có: $$ \vec{u_2} = 2\vec{u_1} $$

Suy ra u1⃗\vec{u_1} và u2⃗\vec{u_2} cùng phương.

Lấy điểm M(5;4)M(5; 4) thuộc d1d_1 và điểm N(1;1)N(1; 1) thuộc d2d_2.

Thay điểm M(5;4)M(5; 4) vào phương trình d2d_2: $$ \begin{cases} 5 = 1 + 8t \ 4 = 1 + 6t \end{cases} $$

Giải hệ phương trình: $$ \begin{cases} 4 = 8t \ 3 = 6t \end{cases} $$

Phương trình vô nghiệm, suy ra M∉d2M \notin d_2.

Vậy d1∥d2d_1 \parallel d_2.

Kết quả: d1∥d2d_1 \parallel d_2.

Bài 2. Viết phương trình đường thẳng d1d_1:

a) Đi qua điểm A(2;3)A(2; 3) và song song với đường thẳng d2:x+3y+2=0d_2: x + 3y + 2 = 0;

Lời giải:

Vector pháp tuyến của d2d_2 là n2⃗=(1;3)\vec{n_2} = (1; 3).

Vì d1∥d2d_1 \parallel d_2 nên vector pháp tuyến của d1d_1 cũng là n1⃗=(1;3)\vec{n_1} = (1; 3).

Phương trình đường thẳng d1d_1: $$ 1(x - 2) + 3(y - 3) = 0 \ x - 2 + 3y - 9 = 0 \ x + 3y - 11 = 0 $$

Kết quả: x+3y−11=0x + 3y - 11 = 0.

b) Đi qua điểm B(4;−1)B(4; -1) và vuông góc với đường thẳng d3:3x−y+1=0d_3: 3x - y + 1 = 0.

Lời giải:

Vector pháp tuyến của d3d_3 là n3⃗=(3;−1)\vec{n_3} = (3; -1).

Vì d1⊥d3d_1 \perp d_3 nên vector pháp tuyến của d1d_1 là n1⃗=(1;3)\vec{n_1} = (1; 3).

Phương trình đường thẳng d1d_1: $$ 1(x - 4) + 3(y + 1) = 0 \ x - 4 + 3y + 3 = 0 \ x + 3y - 1 = 0 $$

Kết quả: x+3y−1=0x + 3y - 1 = 0.

Trang 55 — Góc giữa hai đường thẳng. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Bài 1. Cho hai đường thẳng xyxy và ztzt cắt nhau tại OO và cho biết xOz^=38∘\widehat{xOz} = 38^\circ (Hình 6). Tính số đo các góc xOt^\widehat{xOt}, tOy^\widehat{tOy} và yOz^\widehat{yOz}.

Lời giải:

Ta có xOt^\widehat{xOt} và xOz^\widehat{xOz} là hai góc đối đỉnh nên xOt^=xOz^=38∘\widehat{xOt} = \widehat{xOz} = 38^\circ.

Ta lại có xOt^+tOy^=180∘\widehat{xOt} + \widehat{tOy} = 180^\circ (hai góc kề bù)

Suy ra tOy^=180∘−xOt^=180∘−38∘=142∘\widehat{tOy} = 180^\circ - \widehat{xOt} = 180^\circ - 38^\circ = 142^\circ.

Mà yOz^\widehat{yOz} và xOt^\widehat{xOt} là hai góc đối đỉnh nên yOz^=xOt^=38∘\widehat{yOz} = \widehat{xOt} = 38^\circ.

Kết quả: xOt^=38∘\widehat{xOt} = 38^\circ, tOy^=142∘\widehat{tOy} = 142^\circ, yOz^=38∘\widehat{yOz} = 38^\circ.

Bài 2. Cho hình vuông ABCDABCD (Hình 7). Tính các góc (AB,AC)(AB,AC), (AB,AD)(AB,AD), (AB,DC)(AB,DC), (AC,CD)(AC,CD).

Lời giải:

Ta có:

  • BAC^=45∘\widehat{BAC} = 45^\circ, suy ra (AB,AC)=45∘(AB,AC) = 45^\circ.
  • ABAB vuông góc với ADAD, suy ra (AB,AD)=90∘(AB,AD) = 90^\circ.
  • AB//DCAB // DC, suy ra (AB,DC)=0∘(AB,DC) = 0^\circ.
  • ACD^=45∘\widehat{ACD} = 45^\circ, suy ra (AC,CD)=45∘(AC,CD) = 45^\circ.

Kết quả: (AB,AC)=45∘(AB,AC) = 45^\circ, (AB,AD)=90∘(AB,AD) = 90^\circ, (AB,DC)=0∘(AB,DC) = 0^\circ, (AC,CD)=45∘(AC,CD) = 45^\circ.