Trang 55+56 — Bài 2: Góc giữa hai đường thẳng. Góc giữa hai mặt phẳng

Trang 56 — Bài học

Trang này không có BÀI TẬP / CÂU HỎI / LUYỆN TẬP / VÍ DỤ cần giải.

Đáp án: SKIP

Trang 57 — Bài tập

Bài 1. Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng Δ1\Delta_1 và Δ2\Delta_2 trong các trường hợp sau:

a) Δ1:x+3y−7=0\Delta_1: x + 3y - 7 = 0 và Δ2:x−2y+3=0\Delta_2: x - 2y + 3 = 0

b) Δ1:4x−2y+5=0\Delta_1: 4x - 2y + 5 = 0 và Δ2:{x=ty=13+2t\Delta_2: \begin{cases} x = t \\ y = 13 + 2t \end{cases}

c) Δ1:{x=1+ty=3+2t\Delta_1: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 3 + 2t \end{cases} và Δ2:{x=−7+2ty=1−t\Delta_2: \begin{cases} x = -7 + 2t \\ y = 1 - t \end{cases}

Lời giải:

a) Ta có n1→=(1;3)\overrightarrow{n_1} = (1; 3) và n2→=(1;−2)\overrightarrow{n_2} = (1; -2) lần lượt là các vectơ pháp tuyến của Δ1\Delta_1 và Δ2\Delta_2.

Góc giữa hai đường thẳng Δ1\Delta_1 và Δ2\Delta_2 là

φ=∣cos⁡−1(n1→⋅n2→∥n1→∥∥n2→∥)∣=∣cos⁡−1(1⋅1+3⋅(−2)12+32⋅12+(−2)2)∣=∣cos⁡−1(1−610⋅5)∣=∣cos⁡−1(−550)∣=∣cos⁡−1(−22)∣=45∘.\begin{aligned} \varphi &= \left| \cos^{-1} \left( \frac{\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}}{\| \overrightarrow{n_1} \| \| \overrightarrow{n_2} \|} \right) \right| \\ &= \left| \cos^{-1} \left( \frac{1 \cdot 1 + 3 \cdot (-2)}{\sqrt{1^2 + 3^2} \cdot \sqrt{1^2 + (-2)^2}} \right) \right| \\ &= \left| \cos^{-1} \left( \frac{1 - 6}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{5}} \right) \right| \\ &= \left| \cos^{-1} \left( \frac{-5}{\sqrt{50}} \right) \right| \\ &= \left| \cos^{-1} \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) \right| \\ &= 45^\circ. \end{aligned}

Kết quả: 45∘45^\circ

b) Ta có n1→=(4;−2)\overrightarrow{n_1} = (4; -2) và u2→=(1;2)\overrightarrow{u_2} = (1; 2) lần lượt là các vectơ pháp tuyến của Δ1\Delta_1 và vectơ chỉ phương của Δ2\Delta_2.

n2→=(2;−1)\overrightarrow{n_2} = (2; -1) là vectơ pháp tuyến của Δ2\Delta_2.

Góc giữa hai đường thẳng Δ1\Delta_1 và Δ2\Delta_2 là

φ=∣cos⁡−1(n1→⋅n2→∥n1→∥∥n2→∥)∣=∣cos⁡−1(4⋅2+(−2)⋅(−1)42+(−2)2⋅22+(−1)2)∣=∣cos⁡−1(8+220⋅5)∣=∣cos⁡−1(10100)∣=∣cos⁡−11∣=0∘.\begin{aligned} \varphi &= \left| \cos^{-1} \left( \frac{\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}}{\| \overrightarrow{n_1} \| \| \overrightarrow{n_2} \|} \right) \right| \\ &= \left| \cos^{-1} \left( \frac{4 \cdot 2 + (-2) \cdot (-1)}{\sqrt{4^2 + (-2)^2} \cdot \sqrt{2^2 + (-1)^2}} \right) \right| \\ &= \left| \cos^{-1} \left( \frac{8 + 2}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{5}} \right) \right| \\ &= \left| \cos^{-1} \left( \frac{10}{\sqrt{100}} \right) \right| \\ &= \left| \cos^{-1} 1 \right| \\ &= 0^\circ. \end{aligned}

Kết quả: 0∘0^\circ

c) Ta có u1→=(1;2)\overrightarrow{u_1} = (1; 2) và u2→=(2;−1)\overrightarrow{u_2} = (2; -1) lần lượt là các vectơ chỉ phương của Δ1\Delta_1 và Δ2\Delta_2.

Góc giữa hai đường thẳng Δ1\Delta_1 và Δ2\Delta_2 là

φ=∣cos⁡−1(u1→⋅u2→∥u1→∥∥u2→∥)∣=∣cos⁡−1(1⋅2+2⋅(−1)12+22⋅22+(−1)2)∣=∣cos⁡−1(2−25⋅5)∣=∣cos⁡−10∣=90∘.\begin{aligned} \varphi &= \left| \cos^{-1} \left( \frac{\overrightarrow{u_1} \cdot \overrightarrow{u_2}}{\| \overrightarrow{u_1} \| \| \overrightarrow{u_2} \|} \right) \right| \\ &= \left| \cos^{-1} \left( \frac{1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1)}{\sqrt{1^2 + 2^2} \cdot \sqrt{2^2 + (-1)^2}} \right) \right| \\ &= \left| \cos^{-1} \left( \frac{2 - 2}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} \right) \right| \\ &= \left| \cos^{-1} 0 \right| \\ &= 90^\circ. \end{aligned}

Kết quả: 90∘90^\circ

Bài 2. Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng là đồ thị của hai hàm số y=xy = x và y=2x+1y = 2x + 1.

Lời giải:

Ta có y=x⇒n1→=(1;−1)y = x \Rightarrow \overrightarrow{n_1} = (1; -1) và y=2x+1⇒n2→=(2;−1)y = 2x + 1 \Rightarrow \overrightarrow{n_2} = (2; -1).

Góc giữa hai đường thẳng là

φ=∣cos⁡−1(n1→⋅n2→∥n1→∥∥n2→∥)∣=∣cos⁡−1(1⋅2+(−1)⋅(−1)12+(−1)2⋅22+(−1)2)∣=∣cos⁡−1(2+12⋅5)∣=∣cos⁡−1(310)∣≈5.71∘.\begin{aligned} \varphi &= \left| \cos^{-1} \left( \frac{\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}}{\| \overrightarrow{n_1} \| \| \overrightarrow{n_2} \|} \right) \right| \\ &= \left| \cos^{-1} \left( \frac{1 \cdot 2 + (-1) \cdot (-1)}{\sqrt{1^2 + (-1)^2} \cdot \sqrt{2^2 + (-1)^2}} \right) \right| \\ &= \left| \cos^{-1} \left( \frac{2 + 1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} \right) \right| \\ &= \left| \cos^{-1} \left( \frac{3}{\sqrt{10}} \right) \right| \\ &\approx 5.71^\circ. \end{aligned}

Kết quả: ≈5.71∘\approx 5.71^\circ

Trang 58 —

Bài 1. Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng dd trong mỗi trường hợp sau:

a) dd đi qua điểm A(−1;5)A(-1; 5) và có vecto chỉ phương u⃗=(2;1)\vec{u} = (2; 1);

Lời giải:

Phương trình tham số của đường thẳng dd đi qua điểm A(−1;5)A(-1; 5) và có vecto chỉ phương u⃗=(2;1)\vec{u} = (2; 1) là:

{x=−1+2ty=5+t\left\{ \begin{aligned} &x = -1 + 2t \\ &y = 5 + t \end{aligned} \right.

Phương trình tổng quát của đường thẳng dd:

Vecto phaˊp tuyeˆˊn n⃗=(1;−2)(x+1)−2(y−5)=0  ⟺  x−2y+11=0\begin{aligned} &\text{Vecto pháp tuyến } \vec{n} = (1; -2)\\ &(x +1) -2(y - 5) = 0 \\ &\iff x - 2y + 11 = 0 \end{aligned}

Kết quả: x−2y+11=0x - 2y + 11 = 0

b) dd đi qua điểm B(4;−2)B(4; -2) và có vecto pháp tuyến là n⃗=(3;−2)\vec{n} = (3; -2);

Lời giải:

Phương trình tổng quát của đường thẳng dd đi qua điểm B(4;−2)B(4; -2) và có vecto pháp tuyến là n⃗=(3;−2)\vec{n} = (3; -2) là:

3(x−4)−2(y+2)=03(x - 4) - 2(y + 2) = 0   ⟺  3x−2y−16=0\iff 3x - 2y - 16 = 0

Phương trình tham số:

{x=4+2ty=−2+3t\left\{ \begin{aligned} &x = 4 + 2t \\ &y = -2 + 3t \end{aligned} \right.

Kết quả: 3x−2y−16=03x - 2y - 16 = 0

c) dd đi qua P(1;1)P(1; 1) và có hệ số góc k=−2k = -2;

Lời giải:

Phương trình tổng quát của đường thẳng dd đi qua P(1;1)P(1; 1) và có hệ số góc k=−2k = -2 là:

y−1=−2(x−1)  ⟺  2x+y−3=0\begin{aligned} &y - 1 = -2(x - 1) \\ &\iff 2x + y - 3 = 0 \end{aligned}

Phương trình tham số:

{x=1+ty=1−2t\left\{ \begin{aligned} &x = 1 + t \\ &y = 1 - 2t \end{aligned} \right.

Kết quả: 2x+y−3=02x + y - 3 = 0

d) dd đi qua hai điểm Q(3;0)Q(3; 0) và R(0;2)R(0; 2).

Lời giải:

Vecto chỉ phương u⃗=QR⃗=(0−3;2−0)=(−3;2)\vec{u} = \vec{QR} = (0 - 3; 2 - 0) = (-3; 2)

Phương trình tham số:

{x=3−3ty=2t\left\{ \begin{aligned} &x = 3 - 3t \\ &y = 2t \end{aligned} \right.

Phương trình tổng quát:

2(x−3)+3(y−0)=0  ⟺  2x+3y−6=0\begin{aligned} &2(x - 3) + 3(y - 0) = 0 \\ &\iff 2x + 3y - 6 = 0 \end{aligned}

Kết quả: 2x+3y−6=02x + 3y - 6 = 0

Bài 2. Cho tam giác ABCABC, biết A(2;5),B(1;2)A(2; 5), B(1; 2) và C(5;4)C(5; 4).

a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng BCBC.

Lời giải:

Vecto chỉ phương u⃗=BC⃗=(5−1;4−2)=(4;2)\vec{u} = \vec{BC} = (5 - 1; 4 - 2) = (4; 2)

Vecto pháp tuyến n⃗=(1;−2)\vec{n} = (1; -2)

Phương trình tổng quát:

1(x−1)−2(y−2)=0  ⟺  x−2y+3=0\begin{aligned} &1(x - 1) - 2(y - 2) = 0 \\ &\iff x - 2y + 3 = 0 \end{aligned}

Kết quả: x−2y+3=0x - 2y + 3 = 0

b) Lập phương trình tham số của trung tuyến AMAM.

Lời giải:

Tọa độ trung điểm MM của BCBC:

{xM=1+52=3yM=2+42=3\left\{ \begin{aligned} &x_M = \frac{1 + 5}{2} = 3 \\ &y_M = \frac{2 + 4}{2} = 3 \end{aligned} \right.

Vecto chỉ phương u⃗=AM⃗=(3−2;3−5)=(1;−2)\vec{u} = \vec{AM} = (3 - 2; 3 - 5) = (1; -2)

Phương trình tham số:

{x=2+ty=5−2t\left\{ \begin{aligned} &x = 2 + t \\ &y = 5 - 2t \end{aligned} \right.

Kết quả: $ \left{ \begin{aligned} &x = 2 + t \ &y = 5 - 2t \end{aligned} \right.$

c) Lập phương trình của đường cao AHAH.

Lời giải:

Vecto pháp tuyến n⃗=BC⃗=(4;2)\vec{n} = \vec{BC} = (4; 2)

Phương trình tổng quát:

4(x−2)+2(y−5)=0  ⟺  4x+2y−18=0  ⟺  2x+y−9=0\begin{aligned} &4(x - 2) + 2(y - 5) = 0 \\ &\iff 4x + 2y - 18 = 0 \\ &\iff 2x + y - 9 = 0 \end{aligned}

Kết quả: 2x+y−9=02x + y - 9 = 0

Bài 3. Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng Δ\Delta trong mỗi trường hợp sau:

a) Δ\Delta đi qua A(2;1)A(2; 1) và song song với đường thẳng 3x+y+9=03x + y + 9 = 0;

Lời giải:

Vecto pháp tuyến n⃗=(3;1)\vec{n} = (3; 1)

Phương trình tổng quát:

3(x−2)+1(y−1)=0  ⟺  3x+y−7=0\begin{aligned} &3(x - 2) + 1(y - 1) = 0 \\ &\iff 3x + y - 7 = 0 \end{aligned}

Vecto chỉ phương u⃗=(1;−3)\vec{u} = (1; -3)

Phương trình tham số:

{x=2+ty=1−3t\left\{ \begin{aligned} &x = 2 + t \\ &y = 1 - 3t \end{aligned} \right.

Kết quả: 3x+y−7=03x + y - 7 = 0

b) Δ\Delta đi qua B(−1;4)B(-1; 4) và vuông góc với đường thẳng 2x−y−2=02x - y - 2 = 0.

Lời giải:

Vecto pháp tuyến n⃗=(1;2)\vec{n} = (1; 2)

Phương trình tổng quát:

1(x+1)+2(y−4)=0  ⟺  x+2y−7=0\begin{aligned} &1(x + 1) + 2(y - 4) = 0 \\ &\iff x + 2y - 7 = 0 \end{aligned}

Vecto chỉ phương u⃗=(2;−1)\vec{u} = (2; -1)

Phương trình tham số:

{x=−1+2ty=4−t\left\{ \begin{aligned} &x = -1 + 2t \\ &y = 4 - t \end{aligned} \right.

Kết quả: x+2y−7=0x + 2y - 7 = 0

Bài 4. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d1d_1 và d2d_2 sau đây:

a) d1:x−y+2=0d_1: x - y + 2 = 0 và d2:x+y+4=0d_2: x + y + 4 = 0;

Lời giải:

Vecto pháp tuyến n1⃗=(1;−1)\vec{n_1} = (1; -1) và n2⃗=(1;1)\vec{n_2} = (1; 1)

Vì n1⃗≠kn2⃗  ⟺  1≠−1\vec{n_1} \ne k\vec{n_2} \iff 1 \ne -1 nên d1d_1 và d2d_2 cắt nhau.

Tọa độ giao điểm:

{x−y+2=0x+y+4=0  ⟺  {x=−3y=−1\left\{ \begin{aligned} & x - y + 2 = 0 \\ & x + y + 4 = 0 \end{aligned} \right. \iff \left\{ \begin{aligned} & x = -3 \\ & y = -1 \end{aligned} \right.

Kết quả: Cắt nhau tại (−3;−1)(-3; -1)

b) $d_1: \left{ \begin{aligned} &x = 1 + 2t \ &y = 3 + 5t \end{aligned} \right.vaˋvàd_2: 5x - 2y + 9 = 0$.

Lời giải:

Vecto chỉ phương u1⃗=(2;5)\vec{u_1} = (2; 5) và vecto pháp tuyến n2⃗=(5;−2)\vec{n_2} = (5; -2)

u1⃗⋅n2⃗=2⋅5+5⋅(−2)=0\vec{u_1} \cdot \vec{n_2} = 2 \cdot 5 + 5 \cdot (-2) = 0

Vậy d1d_1 và d2d_2 song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm M(1;3)∈d1M(1; 3) \in d_1

Thay vào d2d_2:

5⋅1−2⋅3+9=8≠05 \cdot 1 - 2 \cdot 3 + 9 = 8 \ne 0

Vậy d1d_1 và d2d_2 song song.

Kết quả: Song song

c) $d_1: \left{ \begin{aligned} &x = 2 - t \ &y = 5 + 3t \end{aligned} \right.vaˋvàd_2: 3x + y - 11 = 0$.

Lời giải:

Vecto chỉ phương u1⃗=(−1;3)\vec{u_1} = (-1; 3) và vecto pháp tuyến n2⃗=(3;1)\vec{n_2} = (3; 1)

u1⃗⋅n2⃗=−1⋅3+3⋅1=0\vec{u_1} \cdot \vec{n_2} = -1 \cdot 3 + 3 \cdot 1 = 0

Vậy d1d_1 và d2d_2 song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm M(2;5)∈d1M(2; 5) \in d_1

Thay vào d2d_2:

3⋅2+5−11=03 \cdot 2 + 5 - 11 = 0

Vậy d1d_1 và d2d_2 trùng nhau.

Kết quả: Trùng nhau

Trang 59 — Chương 5: Vectơ

Bài 5. Cho đường thẳng dd có phương trình tham số {x=2−ty=5+3t.\begin{cases} x = 2 - t \\ y = 5 + 3t \end{cases}. Tìm giao điểm của dd với hai trục tọa độ.

Lời giải:

Để tìm giao điểm của đường thẳng dd với trục hoành, ta đặt y=0y = 0 và giải phương trình:

5+3t=03t=−5t=−53\begin{aligned} 5 + 3t &= 0 \\ 3t &= -5 \\ t &= -\frac{5}{3} \end{aligned}

Thay t=−53t = -\frac{5}{3} vào phương trình x=2−t,x = 2 - t, ta có:

x=2−(−53)=2+53=113\begin{aligned} x &= 2 - \left( -\frac{5}{3} \right) \\ &= 2 + \frac{5}{3} \\ &= \frac{11}{3} \end{aligned}

Vậy giao điểm của dd với trục hoành là (113;0).\left( \frac{11}{3}; 0 \right).

Để tìm giao điểm của đường thẳng dd với trục tung, ta đặt x=0x = 0 và giải phương trình:

2−t=0t=2\begin{aligned} 2 - t &= 0 \\ t &= 2 \end{aligned}

Thay t=2t = 2 vào phương trình y=5+3t,y = 5 + 3t, ta có:

y=5+3⋅2=5+6=11\begin{aligned} y &= 5 + 3 \cdot 2 \\ &= 5 + 6 \\ &= 11 \end{aligned}

Vậy giao điểm của dd với trục tung là (0;11).(0; 11).

Kết quả: (113;0)\left( \frac{11}{3}; 0 \right) và (0;11)(0; 11)

Bài 6. Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng d1d_1 và d2d_2 trong các trường hợp sau:

a) d1:x−2y+3=0d_1: x - 2y + 3 = 0 và d2:3x−y−11=0;d_2: 3x - y - 11 = 0;

Lời giải:

Vectơ pháp tuyến của d1d_1 là n1→=(1;−2),\overrightarrow{n_1} = (1; -2), vectơ pháp tuyến của d2d_2 là n2→=(3;−1).\overrightarrow{n_2} = (3; -1).

Ta có:

cos⁡(d1,d2)=∣n1→⋅n2→∥n1→∥⋅∥n2→∥∣=∣1⋅3+(−2)⋅(−1)12+(−2)2⋅32+(−1)2∣=∣55⋅10∣=12\cos \left( d_1, d_2 \right) = \left| \frac{\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}}{\left\| \overrightarrow{n_1} \right\| \cdot \left\| \overrightarrow{n_2} \right\|} \right| = \left| \frac{1 \cdot 3 + (-2) \cdot (-1)}{\sqrt{1^2 + (-2)^2} \cdot \sqrt{3^2 + (-1)^2}} \right| = \left| \frac{5}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} \right| = \frac{1}{\sqrt{2}}

Do đó (d1,d2)=45∘.\left( d_1, d_2 \right) = 45^\circ.

Kết quả: 45∘45^\circ

b) d1:{x=ty=3+5td_1: \begin{cases} x = t \\ y = 3 + 5t \end{cases} và d2:x+5y−5=0;d_2: x + 5y - 5 = 0;

Lời giải:

Đường thẳng d1d_1 có vectơ chỉ phương u1→=(1;5),\overrightarrow{u_1} = (1; 5), đường thẳng d2d_2 có vectơ pháp tuyến n2→=(1;5).\overrightarrow{n_2} = (1; 5).

Vectơ chỉ phương của d1d_1 là u1→=(1;5).\overrightarrow{u_1} = (1; 5).

Ta có u1→=n2→,\overrightarrow{u_1} = \overrightarrow{n_2}, suy ra d1⊥d2.d_1 \perp d_2.

Kết quả: 90∘90^\circ

c) d1:{x=3+2ty=7+4td_1: \begin{cases} x = 3 + 2t \\ y = 7 + 4t \end{cases} và d2:{x=ty=−9+2t.d_2: \begin{cases} x = t \\ y = -9 + 2t \end{cases}.

Lời giải:

Vectơ chỉ phương của d1d_1 là u1→=(2;4),\overrightarrow{u_1} = (2; 4), vectơ chỉ phương của d2d_2 là u2→=(1;2).\overrightarrow{u_2} = (1; 2).

Ta có u1→=2u2→,\overrightarrow{u_1} = 2 \overrightarrow{u_2}, suy ra d1∥d2.d_1 \parallel d_2.

Kết quả: 0∘0^\circ

Bài 7. Tính khoảng cách từ điểm MM đến đường thẳng Δ\Delta trong các trường hợp sau:

a) M(1;2)M(1; 2) và Δ:3x−4y+12=0;\Delta: 3x - 4y + 12 = 0;

Lời giải:

Khoảng cách từ MM đến Δ\Delta là:

d(M,Δ)=∣3⋅1−4⋅2+12∣32+(−4)2=75d(M, \Delta) = \frac{\left| 3 \cdot 1 - 4 \cdot 2 + 12 \right|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{7}{5}

Kết quả: 75\frac{7}{5}

b) M(4;4)M(4; 4) và Δ:{x=ty=−t;\Delta: \begin{cases} x = t \\ y = -t \end{cases};

Lời giải:

Đường thẳng Δ\Delta đi qua O(0;0)O(0;0) và có vectơ chỉ phương u→=(1;−1).\overrightarrow{u} = (1; -1).

Phương trình tổng quát của Δ\Delta là:

x+y=0x + y = 0

Khoảng cách từ MM đến Δ\Delta là:

d(M,Δ)=∣4+4∣12+12=82=42d(M, \Delta) = \frac{\left| 4 + 4 \right|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}

Kết quả: 424\sqrt{2}

c) M(0;5)M(0; 5) và Δ:{x=ty=−194;\Delta: \begin{cases} x = t \\ y = \frac{-19}{4} \end{cases};

Lời giải:

Đường thẳng Δ\Delta có phương trình y=−194,y = \frac{-19}{4}, hay y+194=0.y + \frac{19}{4} = 0.

Khoảng cách từ MM đến Δ\Delta là:

d(M,Δ)=∣5+194∣1=394d(M, \Delta) = \frac{\left| 5 + \frac{19}{4} \right|}{1} = \frac{39}{4}

Kết quả: 394\frac{39}{4}

d) M(0;0)M(0; 0) và Δ:3x+4y−25=0.\Delta: 3x + 4y - 25 = 0.

Lời giải:

Khoảng cách từ MM đến Δ\Delta là:

d(M,Δ)=∣3⋅0+4⋅0−25∣32+42=5d(M, \Delta) = \frac{\left| 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 - 25 \right|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = 5

Kết quả: 55

Bài 8. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng: Δ:3x+4y−10=0\Delta: 3x + 4y - 10 = 0 và Δ′:6x+8y−1=0.\Delta': 6x + 8y - 1 = 0.

Lời giải:

Ta có Δ∥Δ′\Delta \parallel \Delta' vì nΔ→=(3;4)\overrightarrow{n_\Delta} = (3; 4) và nΔ′→=(6;8)=2nΔ→.\overrightarrow{n_{\Delta'}} = (6; 8) = 2 \overrightarrow{n_\Delta}.

Lấy điểm M(0;−18)M(0; \frac{-1}{8}) thuộc Δ′,\Delta', ta có:

d(Δ,Δ′)=d(M,Δ)=∣3⋅0+4⋅−18−10∣32+42=4125=4110d(\Delta, \Delta') = d(M, \Delta) = \frac{\left| 3 \cdot 0 + 4 \cdot \frac{-1}{8} - 10 \right|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{\frac{41}{2}}{5} = \frac{41}{10}

Kết quả: 4110\frac{41}{10}

Bài 9. Trong mặt phẳng Oxy,Oxy, cho điểm S(x;y)S(x; y) di động trên đường thẳng d:12x−5y+16=0.d: 12x - 5y + 16 = 0. Tính khoảng cách ngắn nhất từ điểm M(5;10)M(5; 10) đến điểm S.S.

Lời giải:

Khoảng cách từ MM đến dd là:

d(M,d)=∣12⋅5−5⋅10+16∣122+(−5)2=4213d(M, d) = \frac{\left| 12 \cdot 5 - 5 \cdot 10 + 16 \right|}{\sqrt{12^2 + (-5)^2}} = \frac{42}{13}

Vì SS di động trên d,d, nên khoảng cách ngắn nhất từ MM đến SS là 4213.\frac{42}{13}.

Kết quả: 4213\frac{42}{13}

Bài 10. Một người đang viết chương trình cho trò chơi bóng đá rô bốt. Gọi A(−1;1),B(9;6),C(5;−3)A(-1; 1), B(9; 6), C(5; -3) là ba vị trí trên màn hình.

a) Viết phương trình các đường thẳng AB,AC,BC.AB, AC, BC.

Lời giải:

Ta có:

  • AB→=(10;5)=5(2;1)⇒\overrightarrow{AB} = (10; 5) = 5(2; 1) \Rightarrow vectơ chỉ phương của ABAB là uAB→=(2;1).\overrightarrow{u_{AB}} = (2; 1).

    Phương trình đường thẳng ABAB là:

    x+12=y−11  ⟺  x−2y+3=0.\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{1} \iff x - 2y + 3 = 0.

  • AC→=(6;−4)=2(3;−2)⇒\overrightarrow{AC} = (6; -4) = 2(3; -2) \Rightarrow vectơ chỉ phương của ACAC là uAC→=(3;−2).\overrightarrow{u_{AC}} = (3; -2).

    Phương trình đường thẳng ACAC là:

    x+13=y−1−2  ⟺  2x+3y−1=0.\frac{x + 1}{3} = \frac{y - 1}{-2} \iff 2x + 3y - 1 = 0.

  • BC→=(−4;−9)⇒\overrightarrow{BC} = (-4; -9) \Rightarrow vectơ chỉ phương của BCBC là uBC→=(−4;−9).\overrightarrow{u_{BC}} = (-4; -9).

    Phương trình đường thẳng BCBC là:

    x−9−4=y−6−9  ⟺  9x−4y−57=0.\frac{x - 9}{-4} = \frac{y - 6}{-9} \iff 9x - 4y - 57 = 0.

b) Tính góc hợp bởi hai đường thẳng ABAB và AC.AC.

Lời giải:

Vectơ pháp tuyến của ABAB là nAB→=(1;−2),\overrightarrow{n_{AB}} = (1; -2), vectơ pháp tuyến của ACAC là nAC→=(2;3).\overrightarrow{n_{AC}} = (2; 3).

Ta có:

cos⁡(AB,AC)=∣nAB→⋅nAC→∥nAB→∥⋅∥nAC→∥∣=∣1⋅2+(−2)⋅312+(−2)2⋅22+32∣=∣−45⋅13∣=465\cos \left( AB, AC \right) = \left| \frac{\overrightarrow{n_{AB}} \cdot \overrightarrow{n_{AC}}}{\left\| \overrightarrow{n_{AB}} \right\| \cdot \left\| \overrightarrow{n_{AC}} \right\|} \right| = \left| \frac{1 \cdot 2 + (-2) \cdot 3}{\sqrt{1^2 + (-2)^2} \cdot \sqrt{2^2 + 3^2}} \right| = \left| \frac{-4}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{13}} \right| = \frac{4}{\sqrt{65}}

Do đó (AB,AC)=arccos⁡465≈60.26∘.\left( AB, AC \right) = \arccos \frac{4}{\sqrt{65}} \approx 60.26^\circ.

Kết quả: ≈60.26∘\approx 60.26^\circ

c) Tính khoảng cách từ điểm AA đến đường thẳng BC.BC.

Lời giải:

Khoảng cách từ AA đến BCBC là:

d(A,BC)=∣9⋅(−1)−4⋅1−57∣92+(−4)2=7097d(A, BC) = \frac{\left| 9 \cdot (-1) - 4 \cdot 1 - 57 \right|}{\sqrt{9^2 + (-4)^2}} = \frac{70}{\sqrt{97}}

Kết quả: 7097\frac{70}{\sqrt{97}}