Giải Toán 10 Tập 2 trang 60-63 - Chân trời sáng tạo

Trang 60 — Bài 3. Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Bài tập:

1. Viết phương trình đường tròn $(C)$ trong các trường hợp sau:

a) $(C)$ có tâm $O(0; 0)$, bán kính $R$;

b) $(C)$ có tâm $I(1; -3)$, bán kính $R = 5$;

c) $(C)$ đi qua ba điểm $A(3; 6), B(2; 3)$ và $C(6; 5)$.

Lời giải:

a) Đường tròn $(C)$ tâm $O(0; 0)$, bán kính $R$ có phương trình:

$$x^2 + y^2 = R^2$$

b) Đường tròn tâm $I(1; -3)$, bán kính $R = 5$ có phương trình:

$$(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 25$$

c) Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB, AC$. Ta có

$$M \left(\frac{5}{2}; \frac{9}{2}\right), N \left(\frac{9}{2}; \frac{11}{2}\right).$$

Đường trung trực $\Delta_1$ của đoạn thẳng $AB$ là đường thẳng đi qua $M$ và nhận $\overrightarrow{BA} = (1; 3)$ làm vectơ pháp tuyến, nên có phương trình:

$$1 \cdot \left(x - \frac{5}{2}\right) + 3 \cdot \left(y - \frac{9}{2}\right) = 0$$ $$\Leftrightarrow x + 3y - 16 = 0.$$

Tương tự, đường trung trực $\Delta_2$ của đoạn thẳng $AC$ là đường thẳng đi qua $N$ và nhận $\overrightarrow{CA} = (-3; 1)$ làm vectơ pháp tuyến, nên có phương trình:

$$-3 \cdot \left(x - \frac{9}{2}\right) + 1 \cdot \left(y - \frac{11}{2}\right) = 0$$ $$\Leftrightarrow -3x + y + 13 = 0.$$

Giải hệ phương trình:

$$\begin{cases} x + 3y = 16 \\ -3x + y = -13 \end{cases}$$

Ta có:

$$\Leftrightarrow \begin{cases} x + 3y = 16 \\ -9x + 3y = -39 \end{cases}$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} 10x = 55 \\ x + 3y = 16 \end{cases}$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x = \frac{11}{2} \\ y = \frac{5}{2} \end{cases}$$

Do đó tâm $I$ của đường tròn là điểm $\left(\frac{11}{2}; \frac{5}{2}\right)$.

Bán kính $R = IA = \sqrt{\left(3 - \frac{11}{2}\right)^2 + \left(6 - \frac{5}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{5}{2}\right)^2 + \left(\frac{7}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{49}{4}} = \sqrt{\frac{74}{4}} = \frac{\sqrt{74}}{2}$.

Vậy phương trình đường tròn $(C)$ là

$$\left(x - \frac{11}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{5}{2}\right)^2 = \frac{74}{4}.$$

Kết quả:

• a) $x^2 + y^2 = R^2$
• b) $(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 25$
• c) $\left(x - \frac{11}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{5}{2}\right)^2 = \frac{74}{4}$

---

Trang 61 — Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Bài tập:

Vídụ 2

Tìm tâm và bán kính của đường tròn $(C)$ có phương trình trong mỗi trường hợp sau:

a) $(x - 7)^2 + (y - 2)^2 = 49$

b) $(x + 3)^2 + (y - 5)^2 = 14$

c) $(x - 6)^2 + y^2 = 9$

Lời giải:

a) Phương trình $(x - 7)^2 + (y - 2)^2 = 49$ có dạng $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$ với $a = 7$, $b = 2$, $R^2 = 49$.

Do đó, đường tròn $(C)$ có tâm $I(7; 2)$ và bán kính $R = 7$.

b) Phương trình $(x + 3)^2 + (y - 5)^2 = 14$ có dạng $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$ với $a = -3$, $b = 5$, $R^2 = 14$.

Do đó, đường tròn $(C)$ có tâm $I(-3; 5)$ và bán kính $R = \sqrt{14}$.

c) Phương trình $(x - 6)^2 + y^2 = 9$ có dạng $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$ với $a = 6$, $b = 0$, $R^2 = 9$.

Do đó, đường tròn $(C)$ có tâm $I(6; 0)$ và bán kính $R = 3$.

Kết quả:

• a) Tâm $I(7; 2)$, bán kính $R = 7$
• b) Tâm $I(-3; 5)$, bán kính $R = \sqrt{14}$
• c) Tâm $I(6; 0)$, bán kính $R = 3$

Vídụ 3

Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn? Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

a) $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 23 = 0$

b) $x^2 + y^2 - 2x - 4y + 9 = 0$

Lời giải:

a) Phương trình $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 23 = 0$ có dạng $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$ với $a = 2$, $b = -3$, $c = -23$.

Ta có $a^2 + b^2 - c = 2^2 + (-3)^2 - (-23) = 4 + 9 + 23 = 36 > 0$.

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm $I(2; -3)$ và bán kính $R = \sqrt{36} = 6$.

b) Phương trình $x^2 + y^2 - 2x - 4y + 9 = 0$ có dạng $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$ với $a = 1$, $b = 2$, $c = 9$.

Ta có $a^2 + b^2 - c = 1^2 + 2^2 - 9 = 1 + 4 - 9 = -4 < 0$.

Vậy đây không phải là phương trình đường tròn.

Kết quả:

• a) Phương trình đường tròn, tâm $I(2; -3)$, bán kính $R = 6$
• b) Không phải phương trình đường tròn.

---

Trang 62 — Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Bài 1. Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn? Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

a) $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0$;

b) $(x + 5)^2 + (y + 1)^2 = 121$;

c) $x^2 + y^2 - 4x - 8y + 5 = 0$;

d) $2x^2 + 2y^2 + 6x + 8y - 2 = 0$.

Lời giải:

• Phương trình đường tròn có dạng:
  • $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$ (với tâm $(a, b)$ và bán kính $R$).
  • Hoặc: $x^2 + y^2 + 2ax + 2by + c = 0$ với $a^2 + b^2 - c > 0$, khi đó tâm là $(-a, -b)$ và bán kính $R = \sqrt{a^2 + b^2 - c}$.

Giải chi tiết

a) $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0$

• Bước 1: Hoàn thành phương trình về dạng chuẩn:

$$(x^2 - 2x) + (y^2 - 4y) = 20$$ $$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) = 20 + 1 + 4$$ $$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$$

• Kết luận:
  • Đây là phương trình đường tròn.
  • Tâm: $(1; 2)$, bán kính: $R = 5$.

b) $(x + 5)^2 + (y + 1)^2 = 121$

• Kết luận:
  • Đây là phương trình đường tròn.
  • Tâm: $(-5; -1)$, bán kính: $R = 11$.

c) $x^2 + y^2 - 4x - 8y + 5 = 0$

• Bước 1: Hoàn thành phương trình về dạng chuẩn:

$$(x^2 - 4x) + (y^2 - 8y) = -5$$ $$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 8y + 16) = -5 + 4 + 16$$ $$(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 15$$

• Kết luận:
  • Đây là phương trình đường tròn.
  • Tâm: $(2; 4)$, bán kính: $R = \sqrt{15}$.

d) $2x^2 + 2y^2 + 6x + 8y - 2 = 0$

• Bước 1: Chia toàn bộ phương trình cho 2:

$$x^2 + y^2 + 3x + 4y - 1 = 0$$

• Bước 2: Hoàn thành phương trình về dạng chuẩn:

$$(x^2 + 3x) + (y^2 + 4y) = 1$$ $$\left(x^2 + 3x + \frac{9}{4}\right) + \left(y^2 + 4y + 4\right) = 1 + \frac{9}{4} + 4$$ $$\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 + (y + 2)^2 = \frac{29}{4}$$

• Kết luận:
  • Đây là phương trình đường tròn.
  • Tâm: $\left(-\frac{3}{2}; -2\right)$, bán kính: $R = \frac{\sqrt{29}}{2}$.

---

Bài 2. Một sân khấu đã được thiết lập một hệ trục tọa độ để đạo diễn có thể sắp đặt ánh sáng và xác định vị trí các diễn viên. Cho biết một đèn chiếu đang rọi trên sân khấu một vùng sáng bên trong đường tròn $(C)$ có phương trình $(x - 13)^2 + (y - 4)^2 = 16$.

a) Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn $(C)$.

Lời giải:

• Phương trình đường tròn: $(x - 13)^2 + (y - 4)^2 = 16$.
• Kết luận:
  • Tâm: $(13; 4)$, bán kính: $R = 4$.

b) Cho biết tọa độ trên sân khấu của ba diễn viên $A$, $B$, $C$ như sau: $A(11; 4)$, $B(8; 5)$, $C(15; 5)$. Diễn viên nào đang được đèn chiếu sáng?

Lời giải:

• Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm $(13; 4)$ đến mỗi diễn viên.
  • Diễn viên $A(11; 4)$:

$$d = \sqrt{(11 - 13)^2 + (4 - 4)^2} = \sqrt{(-2)^2} = 2$$

• Diễn viên $B(8; 5)$:

$$d = \sqrt{(8 - 13)^2 + (5 - 4)^2} = \sqrt{(-5)^2 + 1^2} = \sqrt{26}$$

• Diễn viên $C(15; 5)$:

$$d = \sqrt{(15 - 13)^2 + (5 - 4)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$$

• Bước 2: So sánh khoảng cách với bán kính $R = 4$.
  • $d_A = 2 < 4$ $\Rightarrow$ Diễn viên $A$ được chiếu sáng.
  • $d_B = \sqrt{26} > 4$ $\Rightarrow$ Diễn viên $B$ không được chiếu sáng.
  • $d_C = \sqrt{5} < 4$ $\Rightarrow$ Diễn viên $C$ được chiếu sáng.

Kết quả: Diễn viên $A$ và $C$ đang được đèn chiếu sáng.

---

2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Lý thuyết

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm $I(a, b)$ tại điểm $M_0(x_0; y_0)$ nằm trên đường tròn là:

$$(a - x_0)(x - x_0) + (b - y_0)(y - y_0) = 0.$$

Ví dụ 4

Viết phương trình tiếp tuyến $d$ của đường tròn $(C): x^2 + y^2 = 5$ tại điểm $M(1; 2)$.

Lời giải:

• Đường tròn $(C): x^2 + y^2 = 5$ có tâm $O(0; 0)$.
• Áp dụng công thức:

$$(0 - 1)(x - 1) + (0 - 2)(y - 2) = 0$$ $$-x + 1 - 2y + 4 = 0$$ $$-x - 2y + 5 = 0$$ $$\boxed{x + 2y - 5 = 0}$$

Kết quả: Phương trình tiếp tuyến $d: x + 2y - 5 = 0$.

---

Trang 63 —

Bài 1. Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn? Tìm toạ độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

a) $x^2 + y^2 - 6x - 8y + 21 = 0;$

b) $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 2 = 0;$

c) $x^2 + y^2 - 3x + 2y + 7 = 0;$

d) $2x^2 + 2y^2 + x + y - 1 = 0.$

Lời giải:

Phương trình đường tròn có dạng $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$ với tâm $I(a; b)$ và bán kính $R$.

a) $x^2 + y^2 - 6x - 8y + 21 = 0$

$\Leftrightarrow (x^2 - 6x) + (y^2 - 8y) = - 21$

$\Leftrightarrow (x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 8y + 16) = - 21 + 9 + 16$

$\Leftrightarrow (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4$

$\Rightarrow$ Đây là phương trình đường tròn tâm $I(3; 4)$ và bán kính $R = 2$.

b) $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 2 = 0$

$\Leftrightarrow (x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) = - 2$

$\Leftrightarrow (x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) = - 2 + 1 + 4$

$\Leftrightarrow (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 3$

$\Rightarrow$ Đây là phương trình đường tròn tâm $I(1; -2)$ và bán kính $R = \sqrt{3}$.

c) $x^2 + y^2 - 3x + 2y + 7 = 0$

$\Leftrightarrow (x^2 - 3x) + (y^2 + 2y) = - 7$

$\Leftrightarrow \left(x^2 - 3x + \frac{9}{4}\right) + \left(y^2 + 2y + 1\right) = - 7 + \frac{9}{4} + 1$

$\Leftrightarrow \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + (y + 1)^2 = -\frac{15}{4}$

$\Rightarrow$ Không có phương trình đường tròn vì $-\frac{15}{4} < 0$.

d) $2x^2 + 2y^2 + x + y - 1 = 0$

$\Leftrightarrow 2\left(x^2 + y^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y\right) = 1$

$\Leftrightarrow 2\left(x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{16}\right) + 2\left(y^2 + \frac{1}{2}y + \frac{1}{16}\right) = 1 + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$

$\Leftrightarrow 2\left(x + \frac{1}{4}\right)^2 + 2\left(y + \frac{1}{4}\right)^2 = \frac{5}{4}$

$\Leftrightarrow \left(x + \frac{1}{4}\right)^2 + \left(y + \frac{1}{4}\right)^2 = \frac{5}{8}$

$\Rightarrow$ Đây là phương trình đường tròn tâm $I\left(-\frac{1}{4}; -\frac{1}{4}\right)$ và bán kính $R = \sqrt{\frac{5}{8}} = \frac{\sqrt{10}}{4}$.

Kết quả:

• a) đường tròn tâm $I(3; 4)$ và bán kính $R = 2$
• b) đường tròn tâm $I(1; -2)$ và bán kính $R = \sqrt{3}$
• c) Không phải là phương trình đường tròn
• d) đường tròn tâm $I\left(-\frac{1}{4}; -\frac{1}{4}\right)$ và bán kính $R = \frac{\sqrt{10}}{4}$

Bài 2. Lập phương trình đường tròn $(C)$ trong các trường hợp sau:

a) $(C)$ có tâm $I(1; 5)$ và có bán kính $r = 4;$

b) $(C)$ có đường kính $MN$ với $M(3; -1)$ và $N(9; 3);$

c) $(C)$ có tâm $I(2; 1)$ và tiếp xúc với đường thẳng $5x - 12y + 11 = 0;$

d) $(C)$ có tâm $A(1; -2)$ và đi qua điểm $B(4; -5).$

Lời giải:

a) Tâm $I(1; 5)$ và bán kính $r = 4$ $\Rightarrow$ Phương trình đường tròn là: $(x - 1)^2 + (y - 5)^2 = 16$.

b) $M(3; -1)$ và $N(9; 3)$ $\Rightarrow$ Tâm $I(6; 1)$ và bán kính $r = \sqrt{(\frac{9-3}{2})^2 + (\frac{3-(-1)}{2})^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}$.

$\Rightarrow$ Phương trình đường tròn là: $(x - 6)^2 + (y - 1)^2 = 13$.

c) Tâm $I(2; 1)$ và khoảng cách từ $I$ đến đường thẳng $5x - 12y + 11 = 0$ là: $d(I; d) = \frac{|5.2 - 12.1 + 11|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} = \frac{5}{13} = r$.

$\Rightarrow$ Phương trình đường tròn là: $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = \frac{25}{169}$.

d) Tâm $A(1; -2)$ và đi qua điểm $B(4; -5)$ $\Rightarrow$ Bán kính $r = \sqrt{(4-1)^2 + (-5-(-2))^2} = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = 3\sqrt{2}$.

$\Rightarrow$ Phương trình đường tròn là: $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 18$.

Kết quả:

• a) $(x - 1)^2 + (y - 5)^2 = 16$
• b) $(x - 6)^2 + (y - 1)^2 = 13$
• c) $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = \frac{25}{169}$
• d) $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 18$

Bài 3. Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có toạ độ các đỉnh là:

a) $M(2; 5), N(1; 2), P(5; 4);$

b) $A(0; 6), B(7; 7), C(8; 0).$

Lời giải:

a) Gọi phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $MNP$ có dạng: $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$.

Thay $M(2; 5), N(1; 2), P(5; 4)$ vào phương trình trên ta có:

• $2^2 + 5^2 + 2a + 5b + c = 0 \Rightarrow 2a + 5b + c = -29$ $(1)$
• $1^2 + 2^2 + a + 2b + c = 0 \Rightarrow a + 2b + c = -5$ $(2)$
• $5^2 + 4^2 + 5a + 4b + c = 0 \Rightarrow 5a + 4b + c = -41$ $(3)$

Lấy $(2)$ trừ $(1)$ $\Rightarrow$ $-a -3b = 24$ $(4)$

Lấy $(2)$ trừ $(3)$ $\Rightarrow$ $-4a - 2b = 36$ $(5)$

Lấy $(4)$ nhân $2$ trừ $(5)$ $\Rightarrow$ $4b - 6b = 48 - 36$

$\Rightarrow -2b = 12 \Rightarrow b = -6$

Thay $b = -6$ vào $(4)$ $\Rightarrow$ $-a + 18 = 24 \Rightarrow a = -6$

Thay $a = -6$ và $b = -6$ vào $(2)$ $\Rightarrow$ $-6 - 12 + c = -5 \Rightarrow c = 13$

$\Rightarrow$ Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $MNP$ là: $x^2 + y^2 -6x - 6y + 13 = 0$.

b) Gọi phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ có dạng: $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$.

Thay $A(0; 6), B(7; 7), C(8; 0)$ vào phương trình trên ta có:

• $0^2 + 6^2 + a.0 + b.6 + c = 0 \Rightarrow 6b + c = -36$ $(1)$
• $7^2 + 7^2 + 7a + 7b + c = 0 \Rightarrow 7a + 7b + c = -98$ $(2)$
• $8^2 + 0^2 + 8a + 0b + c = 0 \Rightarrow 8a + c = -64$ $(3)$

Lấy $(1)$ trừ $(3)$ $\Rightarrow$ $6b - 8a = 28$ $(4)$

Lấy $(2)$ trừ $(3)$ $\Rightarrow$ $-a + 7b = -34$ $(5)$

Lấy $(4)$ nhân $1$ và $(5)$ nhân $8$ cộng lại $\Rightarrow$ $6b - 8a -8a +56b = 28 -272$

$\Rightarrow -16a + 62b = -244$

$\Rightarrow -8a + 31b = -122$ $(6)$

Lấy $(5)$ nhân $8$ $\Rightarrow$ $-8a +56b = -272$ $(7)$

Lấy $(6)$ trừ $(7)$ $\Rightarrow$ $-25b = 150 \Rightarrow b = -6$

Thay $b = -6$ vào $(5)$ $\Rightarrow$ $-a - 42 = -34 \Rightarrow a = -8$

Thay $a = -8$ và $b = -6$ vào $(1)$ $\Rightarrow$ $-48 + c = -36 \Rightarrow c = 12$

$\Rightarrow$ Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là: $x^2 + y^2 - 8x - 6y + 12 = 0$.

Kết quả:

• a) $x^2 + y^2 -6x - 6y + 13 = 0$
• b) $x^2 + y^2 - 8x - 6y + 12 = 0$

Bài 4. Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục toạ độ $Ox, Oy$ và đi qua điểm $A(4; 2).$

Lời giải:

Gọi đường tròn $(C)$ có tâm $I(a; b)$ và bán kính $R$.

$\Rightarrow$ Phương trình đường tròn $(C)$: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$

Mà $(C)$ tiếp xúc với $Ox, Oy$ $\Rightarrow$ $R = |a| = |b|$

$\Rightarrow$ $a = b$ hoặc $a = -b$.

Trường hợp 1: $a = b$

$\Rightarrow$ Phương trình đường tròn $(C)$: $(x - a)^2 + (y - a)^2 = a^2$

Mà $(C)$ đi qua điểm $A(4; 2)$ $\Rightarrow$ $(4 - a)^2 + (2 - a)^2 = a^2$

$\Rightarrow a^2 - 6a + 20 = 0$

Phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2: $a = -b$

$\Rightarrow$ Phương trình đường tròn $(C)$: $(x - a)^2 + (y + a)^2 = a^2$

Mà $(C)$ đi qua điểm $A(4; 2)$ $\Rightarrow$ $(4 - a)^2 + (2 + a)^2 = a^2$

$\Rightarrow a^2 - 2a - 20 = 0$

$\Rightarrow$ $a = 1 - \sqrt{21}$ hoặc $a = 1 + \sqrt{21}$ (loại)

$\Rightarrow$ $a = 1 - \sqrt{21}, b = -1 + \sqrt{21}$

$\Rightarrow$ Phương trình đường tròn $(C)$: $(x - 1 + \sqrt{21})^2 + (y + 1 - \sqrt{21})^2 = (1 - \sqrt{21})^2$

Kết quả: $(x - 1 + \sqrt{21})^2 + (y + 1 - \sqrt{21})^2 = (1 - \sqrt{21})^2$