Giải Toán 10 Tập 2 trang 64-67 - Chân trời sáng tạo

Trang 64 — Bài 4. Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ

Bài 5. Cho đường tròn $(C)$ có phương trình $x^2 + y^2 − 2x − 4y − 20 = 0$.

a) Chứng tỏ rằng điểm $M(4; 6)$ thuộc đường tròn $(C)$.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $M(4; 6)$.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ song song với đường thẳng $4x + 3y + 2022 = 0$.

Lời giải:

a) Chứng tỏ rằng điểm $M(4; 6)$ thuộc đường tròn $(C)$

Thay tọa độ điểm $M(4; 6)$ vào phương trình đường tròn:

$$4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 - 4 \cdot 6 - 20 = 16 + 36 - 8 - 24 - 20 = 0$$

Vậy điểm $M(4; 6)$ thuộc đường tròn $(C)$.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $M(4; 6)$

Đường tròn $(C)$ có phương trình $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0$ có tâm $I(1; 2)$ và bán kính $R = \sqrt{1^2 + 2^2 + 20} = 5$.

Vector $\overrightarrow{IM} = (4 - 1, 6 - 2) = (3, 4)$.

Phương trình tiếp tuyến tại $M(4; 6)$ là:

$$3(x - 4) + 4(y - 6) = 0 \iff 3x + 4y - 36 = 0$$

c) Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ song song với đường thẳng $4x + 3y + 2022 = 0$

Đường thẳng $4x + 3y + 2022 = 0$ có vector pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (4, 3)$.

Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ song song với đường thẳng $4x + 3y + 2022 = 0$ có dạng:

$$4x + 3y + c = 0$$

Khoảng cách từ tâm $I(1; 2)$ đến tiếp tuyến là:

$$d = \frac{|4 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + c|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|10 + c|}{5}$$

Vì tiếp tuyến của đường tròn nên $d = R = 5$:

$$\frac{|10 + c|}{5} = 5 \iff |10 + c| = 25$$

$\iff 10 + c = 25$ hoặc $10 + c = -25$

$\iff c = 15$ hoặc $c = -35$

Vậy phương trình tiếp tuyến là:

$$4x + 3y + 15 = 0 \quad \text{hoặc} \quad 4x + 3y - 35 = 0$$

Kết quả:

• Điểm $M(4;6)$ thuộc $(C)$.
• Phương trình tiếp tuyến tại $M(4;6)$: $3x + 4y - 36 = 0$.
• Phương trình tiếp tuyến song song với $4x + 3y + 2022 = 0$ là $4x + 3y + 15 = 0$ và $4x + 3y - 35 = 0$.

Bài 6. Một cái cổng hình bán nguyệt rộng $8,4 m$, cao $4,2 m$ như Hình 5. Mặt đường dưới cổng được chia thành hai làn cho xe ra vào.

a) Viết phương trình mô phỏng cái cổng.

b) Một chiếc xe tải rộng $2,2 m$ và cao $2,6 m$ đi đúng làn đường quy định có thể đi qua cổng mà không làm hư hỏng cổng hay không?

Lời giải:

a) Viết phương trình mô phỏng cái cổng

Cổng hình bán nguyệt có đường kính $8,4 m$, bán kính $r = \frac{8.4}{2} = 4.2 m$.

Chọn hệ trục tọa độ với đường tròn có phương trình:

$$x^2 + (y - 4.2)^2 = 4.2^2$$

b) Một chiếc xe tải rộng $2,2 m$ và cao $2,6 m$ đi đúng làn đường quy định có thể đi qua cổng mà không làm hư hỏng cổng hay không?

Xe tải có chiều rộng $2,2 m$ nên tâm của xe cách mép đường $1,1 m$.

Chiều cao của xe tải là $2,6 m$, ta kiểm tra điểm $(1.1, 2.6)$ có thuộc đường tròn không:

$$1.1^2 + (2.6 - 4.2)^2 = 1.21 + 2.89 = 4.1 < 4.2^2 = 17.64$$

Vì $1.1^2 + (2.6 - 4.2)^2 < 4.2^2$ nên xe tải có thể đi qua cổng mà không làm hư hỏng cổng.

Kết quả:

• Phương trình mô phỏng: $x^2 + (y - 4.2)^2 = 4.2^2$.
• Xe tải có thể đi qua cổng mà không làm hư hỏng.

---

Trang 65 — Elip

Trang này không có bài tập, chỉ có phần lý thuyết về elip.

Trang 66 — Bài tập

Bài 1. Viết phương trình chính tắc của elip trong Hình 4.

Lời giải:

Hình 4 có:

• Một tiêu cự $2c=6 \to c=3$
• Đỉnh $B_1; B_2$ có tọa độ $(0; \pm2) \to b=2$,
• Ta có $a^2=b^2+c^2=13$ nên $a=\sqrt{13}$

Vậy phương trình chính tắc của elip trong Hình 4 là

$$\frac{x^2}{13} + \frac{y^2}{4} = 1$$

Kết luận: $\frac{x^2}{13} + \frac{y^2}{4} = 1$

Bài 2. Một đường hầm có mặt cắt hình nửa elip cao $4 \text{ m}$, rộng $10 \text{ m}$ (Hình 5). Viết phương trình chính tắc của elip đó.

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của elip là

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

Nửa elip có chiều cao $4 \to b=4$, nữa elip có chiều rộng $10 \to 2a=10 \to a=5$

Vậy phương trình chính tắc của elip là

$$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$$

Kết luận: $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$

---

Trang 67 — Bài tập và Luyện tập

Trang này có các phần lý thuyết và không có bài tập cụ thể cần giải.