Trang 68 — Đường Hyperbol
Bài 1. Viết phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 10 10 10 6 6 6
Lời giải:
Phương trình chính tắc của hypebol có dạng
x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 . \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\,. a 2 x 2 − b 2 y 2 = 1 .
Từ đề bài ta có:
Độ dài trục ảo bằng 6 6 6 ⟹ 2 b = 6 ⟹ b = 3 . \implies 2b = 6 \implies b = 3\,. ⟹ 2 b = 6 ⟹ b = 3 .
Tiêu cự bằng 10 10 10 ⟹ 2 c = 10 ⟹ c = 5 . \implies 2c = 10 \implies c = 5\,. ⟹ 2 c = 10 ⟹ c = 5 .
Ta có:
c 2 = a 2 + b 2 ⟹ a 2 = c 2 − b 2 = 5 2 − 3 2 = 25 − 9 = 16 . c^2 = a^2 + b^2 \implies a^2 = c^2 - b^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16\,. c 2 = a 2 + b 2 ⟹ a 2 = c 2 − b 2 = 5 2 − 3 2 = 25 − 9 = 16 .
Vậy a = 4 . a = 4\,. a = 4 .
Thay a 2 = 16 , b 2 = 9 a^2 = 16, b^2 = 9 a 2 = 16 , b 2 = 9 x 2 16 − y 2 9 = 1 . \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1\,. 16 x 2 − 9 y 2 = 1 .
Kết quả: x 2 16 − y 2 9 = 1 \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1 16 x 2 − 9 y 2 = 1
Bài 2. Một tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cắt là một hypebol có phương trình
x 2 27 − y 2 40 = 1 \frac{x^2}{27} - \frac{y^2}{40} = 1 27 x 2 − 40 y 2 = 1 120 m 120\,\text{m} 120 m
Lời giải:
Để tìm bán kính đường tròn nóc và bán kính đường tròn đáy của tháp, ta cần xác định tọa độ của các điểm cần thiết.
Gọi A A A B B B C C C
Theo đề bài, ta có:
A B = 1 2 A C . AB = \frac{1}{2}AC\,. A B = 2 1 A C .
Vì A A A x 2 27 − y 2 40 = 1 \frac{x^2}{27} - \frac{y^2}{40} = 1 27 x 2 − 40 y 2 = 1 A ( 0 ; 0 ) . A(0;0)\,. A ( 0 ; 0 ) .
Giả sử tọa độ của điểm B B B ( 0 ; 120 ) (0; 120) ( 0 ; 120 ) B B B y y y A B = 120 m . AB = 120\,\text{m}\,. A B = 120 m .
Thay y = 120 y=120 y = 120
0 2 27 − 120 2 40 2 = 1 ⟹ 0 27 − 14400 1600 = 1 \frac{0^2}{27} - \frac{120^2}{40^2} = 1 \implies \frac{0}{27} - \frac{14400}{1600} = 1 27 0 2 − 4 0 2 12 0 2 = 1 ⟹ 27 0 − 1600 14400 = 1
Do đó, điểm ( 0 ; 120 ) (0;120) ( 0 ; 120 )
Tuy nhiên, theo giả thiết, điểm B B B y = 120 y=120 y = 120 A B = 1 2 A C AB=\frac{1}{2}AC A B = 2 1 A C C C C y = − 240 . y=-240\,. y = − 240 .
Thay y = 240 y=240 y = 240
x 2 27 − 240 2 40 2 = 1 \frac{x^2}{27} - \frac{240^2}{40^2} = 1 27 x 2 − 4 0 2 24 0 2 = 1 ⟺ x 2 27 − 57600 1600 = 1 \iff \frac{x^2}{27} - \frac{57600}{1600} = 1 ⟺ 27 x 2 − 1600 57600 = 1 ⟺ x 2 27 − 36 = 1 \iff \frac{x^2}{27} - 36 = 1 ⟺ 27 x 2 − 36 = 1 ⟺ x 2 27 = 37 \iff \frac{x^2}{27} = 37 ⟺ 27 x 2 = 37 ⟺ x 2 = 999 \iff x^2 = 999 ⟺ x 2 = 999 ⟺ x = ± 3 111 . \iff x = \pm 3\sqrt{111}\,. ⟺ x = ± 3 111 .
Bán kính đường tròn đáy tháp là R = 3 111 m . R = 3\sqrt{111}\,\text{m}\,. R = 3 111 m .
Bán kính đường tròn nóc tháp là r = 1 2 ⋅ 3 111 = 3 2 111 m . r = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{111} = \frac{3}{2}\sqrt{111}\,\text{m}\,. r = 2 1 ⋅ 3 111 = 2 3 111 m .
Kết quả: Bán kính đường tròn nóc tháp là 3 2 111 m \frac{3}{2}\sqrt{111}\,\text{m} 2 3 111 m 3 111 m . 3\sqrt{111}\,\text{m}\,. 3 111 m .
Trang 69 — Parabol
Trang này không có BÀI TẬP / CÂU HỎI / LUYỆN TẬP / VÍ DỤ cần giải.
Trang 70 — Bài tập
Bài tập: Không có bài tập trên trang này.
Vì vậy, tôi sẽ trả lời:
Trang 71 — Đường conic trong mặt phẳng tọa độ
Bài 1. Viết phương trình chính tắc của:
a) Elip có trục lớn bằng 20 20 20 16 16 16
b) Hyperbol có tiêu cự 2 c = 20 2c = 20 2 c = 20 2 a = 12 2a = 12 2 a = 12
c) Parabol có tiêu điểm F ( 1 2 ; 0 ) F \left(\frac{1}{2}; 0\right) F ( 2 1 ; 0 )
Lời giải:
a) Gọi phương trình chính tắc của elip là x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 a 2 x 2 + b 2 y 2 = 1
Theo đề bài, ta có: 2 a = 20 ⇒ a = 10 2a = 20 \Rightarrow a = 10 2 a = 20 ⇒ a = 10 2 b = 16 ⇒ b = 8 2b = 16 \Rightarrow b = 8 2 b = 16 ⇒ b = 8
Vậy phương trình chính tắc của elip là x 2 100 + y 2 64 = 1 \frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{64} = 1 100 x 2 + 64 y 2 = 1
b) Gọi phương trình chính tắc của hyperbol là x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 a 2 x 2 − b 2 y 2 = 1
Theo đề bài, ta có: 2 c = 20 ⇒ c = 10 2c = 20 \Rightarrow c = 10 2 c = 20 ⇒ c = 10 2 a = 12 ⇒ a = 6 2a = 12 \Rightarrow a = 6 2 a = 12 ⇒ a = 6
Ta có: b 2 = c 2 − a 2 = 10 2 − 6 2 = 100 − 36 = 64 b^2 = c^2 - a^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64 b 2 = c 2 − a 2 = 1 0 2 − 6 2 = 100 − 36 = 64
Vậy phương trình chính tắc của hyperbol là x 2 36 − y 2 64 = 1 \frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{64} = 1 36 x 2 − 64 y 2 = 1
c) Gọi phương trình chính tắc của parabol là y 2 = 2 p x y^2 = 2px y 2 = 2 p x
Theo đề bài, ta có: p 2 = 1 2 ⇒ p = 1 \frac{p}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow p = 1 2 p = 2 1 ⇒ p = 1
Vậy phương trình chính tắc của parabol là y 2 = x y^2 = x y 2 = x
Bài 2. Viết phương trình chính tắc của các đường conic dưới đây. Gọi tên và tìm tọa độ các tiêu điểm của chúng.
a) ( C 1 ) : 4 x 2 + 16 y 2 = 1 \left(C_1\right): 4x^2 + 16y^2 = 1 ( C 1 ) : 4 x 2 + 16 y 2 = 1
b) ( C 2 ) : 16 x 2 − 4 y 2 = 144 \left(C_2\right): 16x^2 - 4y^2 = 144 ( C 2 ) : 16 x 2 − 4 y 2 = 144
c) ( C 3 ) : x = 1 8 y 2 \left(C_3\right): x = \frac{1}{8}y^2 ( C 3 ) : x = 8 1 y 2
Lời giải:
a) ( C 1 ) : 4 x 2 + 16 y 2 = 1 ⇒ x 2 1 4 + y 2 1 16 = 1 \left(C_1\right): 4x^2 + 16y^2 = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{\frac{1}{4}} + \frac{y^2}{\frac{1}{16}} = 1 ( C 1 ) : 4 x 2 + 16 y 2 = 1 ⇒ 4 1 x 2 + 16 1 y 2 = 1
Đây là elip có a 2 = 1 4 ⇒ a = 1 2 a^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow a = \frac{1}{2} a 2 = 4 1 ⇒ a = 2 1 b 2 = 1 16 ⇒ b = 1 4 b^2 = \frac{1}{16} \Rightarrow b = \frac{1}{4} b 2 = 16 1 ⇒ b = 4 1
Ta có: c 2 = a 2 − b 2 = 1 4 − 1 16 = 3 16 ⇒ c = 3 4 c^2 = a^2 - b^2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{16} = \frac{3}{16} \Rightarrow c = \frac{\sqrt{3}}{4} c 2 = a 2 − b 2 = 4 1 − 16 1 = 16 3 ⇒ c = 4 3
Vậy tọa độ các tiêu điểm là F 1 ( − 3 4 ; 0 ) F_1 \left(-\frac{\sqrt{3}}{4}; 0\right) F 1 ( − 4 3 ; 0 ) F 2 ( 3 4 ; 0 ) F_2 \left(\frac{\sqrt{3}}{4}; 0\right) F 2 ( 4 3 ; 0 )
b) ( C 2 ) : 16 x 2 − 4 y 2 = 144 ⇒ x 2 9 − y 2 36 = 1 \left(C_2\right): 16x^2 - 4y^2 = 144 \Rightarrow \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{36} = 1 ( C 2 ) : 16 x 2 − 4 y 2 = 144 ⇒ 9 x 2 − 36 y 2 = 1
Đây là hyperbol có a 2 = 9 ⇒ a = 3 a^2 = 9 \Rightarrow a = 3 a 2 = 9 ⇒ a = 3 b 2 = 36 ⇒ b = 6 b^2 = 36 \Rightarrow b = 6 b 2 = 36 ⇒ b = 6
Ta có: c 2 = a 2 + b 2 = 9 + 36 = 45 ⇒ c = 3 5 c^2 = a^2 + b^2 = 9 + 36 = 45 \Rightarrow c = 3\sqrt{5} c 2 = a 2 + b 2 = 9 + 36 = 45 ⇒ c = 3 5
Vậy tọa độ các tiêu điểm là F 1 ( − 3 5 ; 0 ) F_1 \left(-3\sqrt{5}; 0\right) F 1 ( − 3 5 ; 0 ) F 2 ( 3 5 ; 0 ) F_2 \left(3\sqrt{5}; 0\right) F 2 ( 3 5 ; 0 )
c) ( C 3 ) : x = 1 8 y 2 ⇒ y 2 = 8 x \left(C_3\right): x = \frac{1}{8}y^2 \Rightarrow y^2 = 8x ( C 3 ) : x = 8 1 y 2 ⇒ y 2 = 8 x
Đây là parabol có p = 4 p = 4 p = 4
Vậy tọa độ tiêu điểm là F ( 2 ; 0 ) F(2; 0) F ( 2 ; 0 )
Kết quả:
a) x 2 100 + y 2 64 = 1 \frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{64} = 1 100 x 2 + 64 y 2 = 1
b) x 2 36 − y 2 64 = 1 \frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{64} = 1 36 x 2 − 64 y 2 = 1
c) y 2 = x y^2 = x y 2 = x
Bài 2:
a) Elip, F 1 ( − 3 4 ; 0 ) F_1 \left(-\frac{\sqrt{3}}{4}; 0\right) F 1 ( − 4 3 ; 0 ) F 2 ( 3 4 ; 0 ) F_2 \left(\frac{\sqrt{3}}{4}; 0\right) F 2 ( 4 3 ; 0 )
b) Hyperbol, F 1 ( − 3 5 ; 0 ) F_1 \left(-3\sqrt{5}; 0\right) F 1 ( − 3 5 ; 0 ) F 2 ( 3 5 ; 0 ) F_2 \left(3\sqrt{5}; 0\right) F 2 ( 3 5 ; 0 )
c) Parabol, F ( 2 ; 0 ) F(2; 0) F ( 2 ; 0 )