Giải Toán 10 Tập 2 trang 72-75 - Chân trời sáng tạo

Trang 72 —

Bài 4. Một nhà vòm chứa máy bay có mặt cắt hình nửa elip cao $8$ m, rộng $20$ m (Hình 16).

a) Chọn hệ tọa độ thích hợp và viết phương trình của elip nói trên.

b) Tính khoảng cách theo phương thẳng đứng từ một điểm cách chân tường $5$ m lên đến nóc nhà vòm.

Lời giải:

a)

• Chọn hệ tọa độ $Oxy$ với gốc tọa độ $O$ là trung điểm của trục lớn elip, trục $Ox$ trùng với trục lớn và trục $Oy$ trùng với trục nhỏ.

• Ta có:

  • Elip có chiều cao $8$ m nên $b=8.$
  • Elip có chiều rộng $20$ m nên $2a=20\implies a=10.$

• Phương trình elip là $\dfrac{x^2}{10^2}+\dfrac{y^2}{8^2}=1.$

b)

• Thay $x=5$ vào phương trình elip, ta có $\dfrac{5^2}{10^2}+\dfrac{y^2}{8^2}=1\implies \dfrac{y^2}{64}=\dfrac{3}{4}\implies y^2=48\implies y=4\sqrt{3}.$

• Do đó khoảng cách theo phương thẳng đứng từ một điểm cách chân tường $5$ m lên đến nóc nhà vòm là $4\sqrt{3}\approx 6,93$ m.

Kết quả: $6,93$ m.

Bài 5. Một tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cắt là hình hyperbol có phương trình $\dfrac{x^2}{28^2}-\dfrac{y^2}{42^2}=1$ (Hình 17). Biết chiều cao của tháp là $150$ m và khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hyperbol bằng $\dfrac{2}{3}$ khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Tính bán kính nóc và bán kính đáy của tháp.

Lời giải:

• Gọi $M(x_0,y_0)$ là điểm nằm trên hyperbol và có $y_0=150.$

• Thay $y_0=150$ vào phương trình hyperbol, ta có $\dfrac{x_0^2}{28^2}-\dfrac{150^2}{42^2}=1\implies x_0^2=28^2\cdot \left(1+\dfrac{150^2}{42^2} \right)\implies x_0=70.$

• Gọi $A(0;0)$ là tâm đối xứng của hyperbol và $B(0;150)$ là điểm nằm trên nóc tháp.

• Khoảng cách từ $A$ đến nóc tháp là $AB=|150-0|=150.$

• Khoảng cách từ $A$ đến đáy tháp là $AD.$

• Ta có $AB=\dfrac{2}{3}AD\implies AD=\dfrac{3}{2}AB=225.$

• Bán kính của nóc tháp là $R_1=|x_B|=70$ m.

• Bán kính của đáy tháp là $R_2=|x_D|=105$ m.

Kết quả: Bán kính nóc tháp là $70$ m, bán kính đáy tháp là $105$ m.

Bài 6. Một cái cầu có dây cáp treo hình parabol, cầu dài $100$ m và được nâng đỡ bởi những thanh thẳng đứng treo từ cáp xuống, thanh dài nhất là $30$ m, thanh ngắn nhất là $6$ m (Hình 18). Tính chiều dài của thanh cách điểm giữa cầu $18$ m.

Lời giải:

• Chọn hệ tọa độ $Oxy$ với gốc tọa độ $O$ là đỉnh của parabol, trục $Oy$ thẳng đứng.

• Parabol có phương trình $y=ax^2.$

• Parabol đi qua $(50,-30)$ nên $-30=a\cdot 50^2\implies a=-\dfrac{3}{250}.$

• Parabol có phương trình $y=-\dfrac{3}{250}x^2.$

• Tại $x=18$ thì $y=-\dfrac{3}{250}\cdot 18^2=-\dfrac{162}{125}.$

• Chiều dài của thanh cách điểm giữa cầu $18$ m là $6-\left(-\dfrac{162}{125} \right)=\dfrac{912}{125}=7,296$ m.

Kết quả: $7,296$ m.

---

Trang 73 — Tính chất quang học của ba đường conic

Trang này không có BÀI TẬP / CÂU HỎI / LUYỆN TẬP / VÍ DỤ cần giải.

Kết luận:

SKIP

---

Trang 74 — Bài tập cuối chương IX

Bài 1. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho bốn điểm $A(2; 1), B(1; 4), C(4; 5), D(5; 2)$.

a) Chứng minh $ABCD$ là một hình vuông.

b) Tìm tọa độ tâm $I$ của hình vuông $ABCD$.

Lời giải:

a) Ta có:

• $\overrightarrow{AB} = (1 - 2; 4 - 1) = (-1; 3)$
• $\overrightarrow{BC} = (4 - 1; 5 - 4) = (3; 1)$
• $\overrightarrow{CD} = (5 - 4; 2 - 5) = (1; -3)$
• $\overrightarrow{DA} = (2 - 5; 1 - 2) = (-3; -1)$

Tính độ dài các cạnh:

• $AB = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$
• $BC = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$
• $CD = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$
• $DA = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$

Kiểm tra góc giữa các cạnh:

• $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (-1)(3) + (3)(1) = -3 + 3 = 0$

Do đó $AB \perp BC$.

Vậy $ABCD$ là hình vuông.

b) Tọa độ tâm $I$ của hình vuông $ABCD$ là trung điểm của đường chéo $AC$:

• $I = \left( \frac{2 + 4}{2}; \frac{1 + 5}{2} \right) = \left( \frac{6}{2}; \frac{6}{2} \right) = (3; 3)$

Kết quả: $I(3; 3)$

Bài 2. Cho $AB$ và $CD$ là hai dây cung vuông góc tại $E$ của đường tròn $(O)$. Vẽ hình chữ nhật $AECF$. Dùng phương pháp tọa độ để chứng minh $EF$ vuông góc với $DB$.

Lời giải:

Gọi $O$ là gốc tọa độ, $E$ là điểm $(a; b)$.

• $\overrightarrow{OE} = (a; b)$

Chọn $A(a + c; b), C(a; b + c), B(a - c; b), D(a; b - c)$ ($c$ là một số thực).

Ta có:

• $\overrightarrow{EF} = (a - (a + c); b - (b + c)) = (-c; -c)$
• $\overrightarrow{DB} = (a - c - a; b - (b - c)) = (-c; c)$

Tích vô hướng:

• $\overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{DB} = (-c)(-c) + (-c)(c) = c^2 - c^2 = 0$

Vậy $EF \perp DB$.

Bài 3. Tìm tọa độ giao điểm và góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $d_1: x - y + 2 = 0$ và $d_2: x + y + 4 = 0$.

Lời giải:

a) Giải hệ phương trình: $$ \begin{aligned} x - y + 2 &= 0 \ x + y + 4 &= 0 \end{aligned} $$

$$\Rightarrow \begin{aligned} x &= -3 \\ y &= 1 \end{aligned}$$

Vậy giao điểm là $(-3; 1)$.

Tính góc giữa $d_1$ và $d_2$:

• $\overrightarrow{n_1} = (1; -1), \overrightarrow{n_2} = (1; 1)$

• $\cos \theta = \frac{|\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}|}{\|\overrightarrow{n_1}\| \cdot \|\overrightarrow{n_2}\|} = \frac{|(1)(1) + (-1)(1)|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2} \sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{0}{\sqrt{2} \sqrt{2}} = 0$

Vậy góc giữa $d_1$ và $d_2$ là $90^\circ$.

Kết quả: $(-3; 1), 90^\circ$

---

Trang 75 — Đường conic

Bài 4. Tính bán kính của đường tròn tâm $M(-2; 3)$ và tiếp xúc với đường thẳng $d: 14x - 5y + 60 = 0$.

Lời giải:

Bán kính $R$ của đường tròn là khoảng cách từ tâm $M(-2; 3)$ đến đường thẳng $d: 14x - 5y + 60 = 0$. Công thức tính khoảng cách từ một điểm $(x_1, y_1)$ đến đường thẳng $Ax + By + C = 0$ là

$$R = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

Áp dụng vào bài toán, ta có

$$\begin{aligned} R &= \frac{|14(-2) - 5(3) + 60|}{\sqrt{14^2 + (-5)^2}} \\ &= \frac{|-28 - 15 + 60|}{\sqrt{196 + 25}} \\ &= \frac{17}{\sqrt{221}} \\ &= \frac{17}{\sqrt{221}} \cdot \frac{\sqrt{221}}{\sqrt{221}} \\ &= \frac{17\sqrt{221}}{221}. \end{aligned}$$

Kết quả: $\frac{17\sqrt{221}}{221}$.

Bài 5. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $\Delta: 6x + 8y - 13 = 0$ và $\Delta': 3x + 4y - 27 = 0$.

Lời giải:

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song $\Delta: Ax + By + C_1 = 0$ và $\Delta': Ax + By + C_2 = 0$ được tính theo công thức

$$d(\Delta, \Delta') = \frac{|C_2 - C_1|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.$$

Trước tiên, ta cần đưa hai đường thẳng về dạng song song. Ta thấy $\Delta: 6x + 8y - 13 = 0$ và $\Delta': 3x + 4y - 27 = 0$ không song song vì hệ số của $x, y$ không tỉ lệ. Tuy nhiên, ta có thể nhân phương trình $\Delta'$ với $2$ để có

$$\Delta': 6x + 8y - 54 = 0.$$

Bây giờ ta có thể áp dụng công thức

$$\begin{aligned} d(\Delta, \Delta') &= \frac{|-54 - (-13)|}{\sqrt{6^2 + 8^2}} \\ &= \frac{|-41|}{\sqrt{36 + 64}} \\ &= \frac{41}{\sqrt{100}} \\ &= \frac{41}{10}. \end{aligned}$$

Kết quả: $\frac{41}{10}$.

Bài 6. Tìm tâm và bán kính của các đường tròn có phương trình:

a) $(x - 2)^2 + (y - 7)^2 = 64$;

Lời giải:

Phương trình đường tròn có dạng

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$$

với tâm $I(a; b)$ và bán kính $R$.

a) Ta có $a = 2, b = 7, R^2 = 64$, suy ra $R = 8$.

Tâm $I(2; 7)$ và bán kính $R = 8$.

Kết quả: Tâm $I(2; 7)$, bán kính $R = 8$.

b) $(x + 3)^2 + (y + 2)^2 = 8$.

Lời giải:

b) Ta có $a = -3, b = -2, R^2 = 8$, suy ra $R = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Tâm $I(-3; -2)$ và bán kính $R = 2\sqrt{2}$.

Kết quả: Tâm $I(-3; -2)$, bán kính $R = 2\sqrt{2}$.

c) $x^2 + y^2 - 4x - 6y - 12 = 0$.

Lời giải:

Ta viết lại phương trình

$$\begin{aligned} x^2 - 4x + y^2 - 6y &= 12 \\ x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 &= 12 + 4 + 9 \\ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 &= 25. \end{aligned}$$

Ta có $a = 2, b = 3, R^2 = 25$, suy ra $R = 5$.

Tâm $I(2; 3)$ và bán kính $R = 5$.

Kết quả: Tâm $I(2; 3)$, bán kính $R = 5$.

Bài 7. Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:

a) Có tâm $I(-2; 4)$ và bán kính bằng $9$.

Lời giải:

Phương trình đường tròn có dạng

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$$

với tâm $I(a; b)$ và bán kính $R$.

a) Ta có $a = -2, b = 4, R = 9$, suy ra

$$(x + 2)^2 + (y - 4)^2 = 81.$$

Kết quả: $(x + 2)^2 + (y - 4)^2 = 81$.

b) Có tâm $I(1; 2)$ và đi qua điểm $A(4; 5)$.

Lời giải:

b) Ta có $a = 1, b = 2$. Bán kính $R$ là khoảng cách từ $I$ đến $A$

$$\begin{aligned} R &= \sqrt{(4 - 1)^2 + (5 - 2)^2} \\ &= \sqrt{3^2 + 3^2} \\ &= 3\sqrt{2}. \end{aligned}$$

Phương trình đường tròn là

$$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 18.$$

Kết quả: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 18$.

c) Đi qua hai điểm $A(4; 1), B(6; 5)$ và có tâm nằm trên đường thẳng $4x + y - 16 = 0$.

Lời giải:

c) Gọi tâm $I(a; b)$. Vì $I$ nằm trên đường thẳng $4x + y - 16 = 0$ nên $4a + b - 16 = 0$.

Ta có

$$\begin{aligned} IA^2 &= IB^2 \\ (a - 4)^2 + (b - 1)^2 &= (a - 6)^2 + (b - 5)^2 \\ a^2 - 8a + 16 + b^2 - 2b + 1 &= a^2 - 12a + 36 + b^2 - 10b + 25 \\ -8a - 2b + 17 &= -12a - 10b + 61 \\ 4a + 8b &= 44 \\ a + 2b &= 11. \end{aligned}$$

Giải hệ phương trình

$$\begin{aligned} 4a + b &= 16 \\ a + 2b &= 11 \end{aligned}$$

ta được $a = 3, b = 4$.

Bán kính $R = IA = \sqrt{(3 - 4)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{10}$.

Phương trình đường tròn là

$$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 10.$$

Kết quả: $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 10$.

d) Đi qua gốc tọa độ và cắt hai trục tọa độ tại các điểm có hoành độ $a$, tung độ $b$.

Lời giải:

d) Gọi tâm $I(m; n)$. Ta có

$$\begin{aligned} OA^2 &= OB^2 = R^2 \\ m^2 + n^2 &= m^2 + (b - n)^2 \\ m^2 + n^2 &= (a - m)^2 + n^2 \\ n^2 &= a^2 - 2am + m^2 \\ b^2 - 2bn &= a^2 - 2am \\ b^2 - a^2 &= 2(bn - am) \\ (b - a)(b + a) &= 2(bn - am). \end{aligned}$$

Vì $a, b \neq 0$ nên

$$b + a = 2n - 2m \implies m + n = \frac{a + b}{2}.$$

Tâm $I\left(\frac{a}{2}; \frac{b}{2}\right)$.

Bán kính $R = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$.

Phương trình đường tròn là

$$\left(x - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{b}{2}\right)^2 = \frac{a^2 + b^2}{4}.$$

Kết quả: $\left(x - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{b}{2}\right)^2 = \frac{a^2 + b^2}{4}$.