Trang 80 — Xác suất

Bài 2. Trong phép thử gieo hai con xúc xắc, gọi BB là biến cố "Xuất hiện hai mặt có cùng số chấm" và CC là biến cố "Số chấm xuất hiện ở con xúc xắc thứ nhất gấp 2 lần số chấm xuất hiện ở con xúc xắc thứ hai".

a) Hãy xác định biến cố BB và CC bằng cách liệt kê các phần tử.

b) Có bao nhiêu kết quả thuận lợi cho BB và bao nhiêu kết quả thuận lợi cho CC?

Lời giải:

a) Không gian mẫu của phép thử là: $\Omega = {(1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (1, 6); \ (2, 1); (2, 2); (2, 3); (2, 4); (2, 5); (2, 6); \ (3, 1); (3, 2); (3, 3); (3, 4); (3, 5); (3, 6); \ (4, 1); (4, 2); (4, 3); (4, 4); (4, 5); (4, 6); \ (5, 1); (5, 2); (5, 3); (5, 4); (5, 5); (5, 6); \ (6, 1); (6, 2); (6, 3); (6, 4); (6, 5); (6, 6)}$.

Biến cố BB là: B={(1,1);(2,2);(3,3);(4,4);(5,5);(6,6)}B = \{(1, 1); (2, 2); (3, 3); (4, 4); (5, 5); (6, 6)\}.

Biến cố CC là: C={(2,1);(4,2);(6,3)}C = \{(2, 1); (4, 2); (6, 3)\}.

b) Số kết quả thuận lợi cho BB là 66.

Số kết quả thuận lợi cho CC là 33.

Kết quả: 66, 33.

Bài 3. Trong phép thử gieo hai con xúc xắc, có bao nhiêu kết quả thuận lợi cho mỗi biến cố sau?

DD: "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc nhỏ hơn 13";

EE: "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 13".

Lời giải:

Ta có:

  • Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc nhỏ hơn 13 với tất cả các kết quả của không gian mẫu Ω\Omega (trừ trường hợp (6,6)(6, 6)).
  • Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 13 chỉ có ở kết quả (6,7)(6, 7) và (7,6)(7, 6), tuy nhiên trong không gian mẫu Ω\Omega không có 2 kết quả này.

Do đó:

  • Số kết quả thuận lợi cho biến cố DD là 36−1=3536 - 1 = 35.
  • Số kết quả thuận lợi cho biến cố EE là 00.

Kết quả: 3535, 00.

Trang 81 — Xác suất

Bài 1. Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương nhỏ hơn 100.

a) Hãy mô tả không gian mẫu.

b) Gọi AA là biến cố "Số được chọn là số chính phương". Hãy viết tập hợp mô tả biến cố AA.

c) Gọi BB là biến cố "Số được chọn chia hết cho 4". Hãy tính các kết quả thuận lợi cho BB.

Lời giải:

a) Không gian mẫu là tập hợp các số nguyên dương nhỏ hơn 100, được ký hiệu là: $$ \Omega = {1, 2, 3, \dots, 99} $$ Số phần tử của không gian mẫu là 9999.

b) Biến cố AA gồm các số chính phương trong không gian mẫu. Các số chính phương nhỏ hơn 100 là: 1,4,9,16,25,36,49,64,811, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81. Do đó: $$ A = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81} $$

c) Biến cố BB gồm các số chia hết cho 4 trong không gian mẫu. Các số chia hết cho 4 nhỏ hơn 100 là: $$ B = {4, 8, 12, \dots, 96} $$ Số phần tử của BB được tính bằng công thức: $$ n(B) = \frac{96 - 4}{4} + 1 = 24 $$

Kết quả: n(B)=24n(B) = 24.

Bài 2. Trong hộp có 3 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 3. Hãy xác định không gian mẫu của các phép thử:

a) Lấy 1 thẻ từ hộp, xem số, trả thẻ vào hộp rồi lại lấy tiếp 1 thẻ từ hộp;

b) Lấy 1 thẻ từ hộp, xem số, bỏ ra ngoài rồi lại lấy tiếp một thẻ khác từ hộp;

c) Lấy đồng thời 2 thẻ từ hộp.

Lời giải:

a) Phép thử: Lấy 1 thẻ từ hộp, xem số, trả thẻ vào hộp rồi lại lấy tiếp 1 thẻ từ hộp.

Không gian mẫu: $$ \Omega_a = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)} $$ Số phần tử của Ωa\Omega_a là 99.

b) Phép thử: Lấy 1 thẻ từ hộp, xem số, bỏ ra ngoài rồi lại lấy tiếp một thẻ khác từ hộp.

Không gian mẫu: $$ \Omega_b = {(1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2)} $$ Số phần tử của Ωb\Omega_b là 66.

c) Phép thử: Lấy đồng thời 2 thẻ từ hộp.

Không gian mẫu: $$ \Omega_c = {(1,2), (1,3), (2,3)} $$ Số phần tử của Ωc\Omega_c là 33.

Kết quả: Ωa=9\Omega_a = 9, Ωb=6\Omega_b = 6, Ωc=3\Omega_c = 3.

Bài 3. Gieo hai con xúc xắc. Hãy tính số các kết quả thuận lợi cho biến cố:

a) "Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc hơn kém nhau 3 chấm";

b) "Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc chia hết cho 5";

c) "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là số lẻ".

Lời giải:

Mô tả không gian mẫu:

  • Mỗi xúc xắc có 6 mặt, nên không gian mẫu có 6×6=366 \times 6 = 36 kết quả.

a) Biến cố: "Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc hơn kém nhau 3 chấm".

Các cặp số chấm hơn kém nhau 3: $$ {(1,4), (4,1), (2,5), (5,2), (3,6), (6,3)} $$ Số kết quả thuận lợi: 66.

b) Biến cố: "Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc chia hết cho 5".

Các cặp có tích chia hết cho 5: $$ {(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,6)} $$ Số kết quả thuận lợi: 1111.

c) Biến cố: "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là số lẻ".

Tổng số chấm là lẻ khi một con chẵn và một con lẻ:

  • Con xúc xắc thứ nhất: 3 cách (lẻ).
  • Con xúc xắc thứ hai: 3 cách (chẵn).
  • Con xúc xắc thứ nhất: 3 cách (chẵn).
  • Con xúc xắc thứ hai: 3 cách (lẻ).

Số kết quả thuận lợi: 3×3+3×3=183 \times 3 + 3 \times 3 = 18.

Kết quả: 66, 1111, 1818.

Bài 4. Xếp 4 viên bi xanh và 5 viên bi trắng có các kích thước khác nhau thành một hàng ngang một cách ngẫu nhiên. Hãy tính số các kết quả thuận lợi cho biến cố:

a) "Không có hai viên bi trắng nào xếp liền nhau";

b) "Bốn viên bi xanh được xếp liền nhau".

Lời giải:

a) Biến cố: "Không có hai viên bi trắng nào xếp liền nhau".

  • Coi 4 viên bi xanh là các "vách ngăn" cố định.
  • 5 viên bi trắng cần xếp vào 5 vị trí giữa và ngoài các vách ngăn:__X_X_X_X_\_{\_X\_X\_X\_X\_}
  • Số cách xếp 5 viên bi trắng vào 5 vị trí: 5!5!.

Số kết quả thuận lợi: 5!=1205! = 120.

b) Biến cố: "Bốn viên bi xanh được xếp liền nhau".

  • Coi 4 viên bi xanh là 1 khối.
  • Xếp khối bi xanh và 5 viên bi trắng: 6!6! cách.
  • Trong khối bi xanh, 4 viên có 4!4! cách xếp.

Số kết quả thuận lợi: 4!×6!=34 5604! \times 6! = 34\,560.

Kết quả: 120120, 34 56034\,560.

Trang 82 — Xác suất của biến cố

Trang này chỉ có phần lý thuyết về xác suất của biến cố mà không có bài tập, câu hỏi, luyện tập hay ví dụ cụ thể nào.

Trả lời: SKIP

Trang 83 — Xác suất

Bài tập

1. Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của các biến cố:

a) “Hai mặt xuất hiện có cùng số chấm”
b) “Tổng số chấm trên hai mặt xuất hiện bằng 99”

Lời giải:

a) “Hai mặt xuất hiện có cùng số chấm”

Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất, mỗi con có 66 mặt, nên số phần tử của không gian mẫu là: $$ n(\Omega) = 6 \times 6 = 36 $$

Các kết quả thuận lợi cho biến cố AA là:
$$ A = {(1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6)} $$ Số phần tử thuận lợi:
$$ n(A) = 6 $$

Xác suất của biến cố AA: $$ P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} $$

b) “Tổng số chấm trên hai mặt xuất hiện bằng 99”

Các kết quả thuận lợi cho biến cố BB là:
$$ B = {(3; 6), (4; 5), (5; 4), (6; 3)} $$ Số phần tử thuận lợi:
$$ n(B) = 4 $$

Xác suất của biến cố BB: $$ P(B) = \frac{n(B)}{n(\Omega)} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} $$

Kết quả:
a) 16\frac{1}{6}
b) 19\frac{1}{9}