Trang 84 — Xác suất

Bài 2. Ba bạn Lan, Mai và Đào đặt thẻ học sinh của mình vào một hộp kín, sau đó mỗi bạn lấy ngẫu nhiên một thẻ từ hộp. Tính xác suất của biến cố "Không bạn nào lấy đúng thẻ của mình".

Lời giải:

Gọi AA là biến cố "Lan lấy đúng thẻ", BB là biến cố "Mai lấy đúng thẻ" và CC là biến cố "Đào lấy đúng thẻ".

Ta cần tính xác suất của biến cố A‾∩B‾∩C‾\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}.

Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω)=3!=6n(\Omega) = 3! = 6 (vì có 33 cách chọn thẻ cho Lan, 22 cách chọn thẻ cho Mai và 11 cách chọn thẻ cho Đào).

Các kết quả thuận lợi cho biến cố A‾∩B‾∩C‾\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C} là các hoán vị của 33 phần tử mà không có phần tử nào ở đúng vị trí ban đầu. Có 22 kết quả như vậy:

  • Lan lấy thẻ của Mai, Mai lấy thẻ của Đào, Đào lấy thẻ của Lan.
  • Lan lấy thẻ của Đào, Mai lấy thẻ của Lan, Đào lấy thẻ của Mai.

Do đó, số kết quả thuận lợi cho biến cố A‾∩B‾∩C‾\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C} là 22.

Xác suất của biến cố A‾∩B‾∩C‾\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C} là:

P(A‾∩B‾∩C‾)=26=13.P(\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.

Kết quả: 13\frac{1}{3}

Trang 85 — Xác suất

Bài 1. Một hộp có 10 tấm thẻ giống nhau được đánh số lần lượt từ 1 đến 10. Chọn ra ngẫu nhiên cùng một lúc 3 thẻ. Tính xác suất của biến cố tích các số ghi trên 3 thẻ đó là số chẵn.

Lời giải:

Số kết quả có thể xảy ra khi chọn 3 thẻ từ 10 thẻ là: $$ C_{10}^3 = 120 $$

Để tích các số ghi trên 3 thẻ là số chẵn, ít nhất một trong ba thẻ phải có số chẵn. Ta tính xác suất của biến cố đối: tích các số ghi trên 3 thẻ là số lẻ.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố tích các số ghi trên 3 thẻ là số lẻ là số cách chọn 3 thẻ từ 5 thẻ có số lẻ, tức là: $$ C_{5}^3 = 10 $$

Xác suất của biến cố tích các số ghi trên 3 thẻ là số lẻ là: $$ P = \frac{10}{120} = \frac{1}{12} $$

Do đó, xác suất của biến cố tích các số ghi trên 3 thẻ là số chẵn là: $$ P = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12} $$

Kết quả: 1112\frac{11}{12}

Bài 2. gieo đồng thời ba con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của các biến cố:

a) "Tích các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc chia hết cho 3";

b) "Tổng các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc lớn hơn 4".

Lời giải:

Số kết quả có thể xảy ra khi gieo ba con xúc xắc là: $$ 6^3 = 216 $$

a) Để tích các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc chia hết cho 3, ít nhất một trong ba con xúc xắc phải có số chấm chia hết cho 3.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố "tích các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc không chia hết cho 3" là số cách gieo mà không con xúc xắc nào có số chấm chia hết cho 3. Có 44 kết quả cho mỗi con xúc xắc không chia hết cho 33, do đó: $$ n(\overline{A}) = 4^3 = 64 $$

Xác suất của biến cố "tích các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc không chia hết cho 3" là: $$ P(\overline{A}) = \frac{64}{216} = \frac{8}{27} $$

Do đó, xác suất của biến cố "tích các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc chia hết cho 3" là: $$ P(A) = 1 - \frac{8}{27} = \frac{19}{27} $$

b) Ta tính xác suất của biến cố đối: "tổng các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc nhỏ hơn hoặc bằng 4".

Các kết quả thuận lợi cho biến cố này là:

  • (1,1,1)(1, 1, 1)
  • (1,1,2)(1, 1, 2)
  • (1,2,1)(1, 2, 1)
  • (2,1,1)(2, 1, 1)

Do đó: $$ n(\overline{B}) = 4 $$

Xác suất của biến cố "tổng các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc nhỏ hơn hoặc bằng 4" là: $$ P(\overline{B}) = \frac{4}{216} = \frac{1}{54} $$

Do đó, xác suất của biến cố "tổng các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc lớn hơn 4" là: $$ P(B) = 1 - \frac{1}{54} = \frac{53}{54} $$

Kết quả: a) 1927\frac{19}{27} b) 5354\frac{53}{54}

Bài 3. Trong hộp có 3 bi xanh, 4 bi đỏ và 5 bi vàng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên từ trong hộp 4 viên bi. Tính xác suất để trong 4 bi lấy ra:

a) có ít nhất 1 bi xanh.

b) có ít nhất 2 bi đỏ.

Lời giải:

Số kết quả có thể xảy ra khi lấy 4 viên bi từ 12 viên bi là: $$ C_{12}^4 = 495 $$

a) Ta tính xác suất của biến cố đối: "không có bi xanh nào".

Số kết quả thuận lợi cho biến cố này là số cách lấy 4 bi từ 9 bi (không có bi xanh), tức là: $$ C_{9}^4 = 126 $$

Xác suất của biến cố "không có bi xanh" là: $$ P = \frac{126}{495} = \frac{14}{55} $$

Do đó, xác suất của biến cố "có ít nhất 1 bi xanh" là: $$ P = 1 - \frac{14}{55} = \frac{41}{55} $$

b) Ta tính xác suất của biến cố đối: "có ít nhất 2 bi đỏ", tức là có từ 2 bi đỏ trở lên.

  • Số kết quả thuận lợi cho biến cố "lấy được đúng 2 bi đỏ" là:

    C42⋅C82=168C_{4}^2 \cdot C_{8}^2 = 168

  • Số kết quả thuận lợi cho biến cố "lấy được đúng 3 bi đỏ" là:

    C43⋅C81=32C_{4}^3 \cdot C_{8}^1 = 32

  • Số kết quả thuận lợi cho biến cố "lấy được 4 bi đỏ" là:

    C44=1C_{4}^4 = 1

Tổng số kết quả thuận lợi cho biến cố "có ít nhất 2 bi đỏ" là: $$ 168 + 32 + 1 = 201 $$

Xác suất của biến cố "có ít nhất 2 bi đỏ" là: $$ P = \frac{201}{495} = \frac{67}{165} $$

Do đó, xác suất của biến cố "có ít nhất 2 bi đỏ" là: $$ P = \frac{67}{165} $$

Kết quả: a) 4155\frac{41}{55} b) 67165\frac{67}{165}

Bài 4. Có 1 hạt gạo nếp nằm lẫn trong một cái thùng chứa 10 kg gạo tẻ. Lấy ngẫu nhiên 1 hạt gạo từ thùng. Theo bạn, hạt gạo lấy ra là gạo tẻ hay gạo nếp?

Lời giải:

Số kết quả có thể xảy ra khi lấy 1 hạt gạo từ thùng là 10,00110,001 (gồm 10kg gạo tẻ và 1 hạt gạo nếp).

Xác suất lấy ra hạt gạo nếp là: $$ P = \frac{1}{10001} \approx 0.0001 $$

Xác suất lấy ra hạt gạo tẻ là: $$ P = \frac{10000}{10001} \approx 0.9999 $$

Vì xác suất lấy ra hạt gạo tẻ rất lớn, gần bằng 1, nên khả năng hạt gạo lấy ra là gạo tẻ rất cao.

Kết quả: Gạo tẻ

Trang 86 — Xác suất

Bài 1. Tung ba đồng xu cân đối và đồng chất. Xác định biến cố đối của mỗi biến cố sau và tính xác suất của nó.

a) "Xuất hiện ba mặt sấp";

b) "Xuất hiện ít nhất một mặt sấp".

Lời giải:

a) Gọi biến cố AA: "Xuất hiện ba mặt sấp".

Biến cố đối của AA là A‾\overline{A}: "Không xuất hiện ba mặt sấp".

Không gian mẫu Ω\Omega khi tung ba đồng xu: Ω={SSS,SSN,SNS,SNN,NSS,NSN,NNS,NNN}\Omega = \{SSS, SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS, NNN\}

Số phần tử không gian mẫu là: ∣Ω∣=23=8|\Omega| = 2^3 = 8.

Biến cố A={SSS}A = \{SSS\}.

Xác suất của biến cố AA là: P(A)=∣A∣∣Ω∣=18.P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{1}{8}.

Xác suất của biến cố A‾\overline{A} là: P(A‾)=1−P(A)=1−18=78.P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}.

b) Gọi biến cố BB: "Xuất hiện ít nhất một mặt sấp".

Biến cố đối của BB là B‾\overline{B}: "Không xuất hiện mặt sấp nào" hay B‾\overline{B}: "Xuất hiện ba mặt ngửa".

Biến cố B‾={NNN}\overline{B} = \{NNN\}.

Xác suất của biến cố B‾\overline{B} là: P(B‾)=18.P(\overline{B}) = \frac{1}{8}.

Xác suất của biến cố BB là: P(B)=1−P(B‾)=1−18=78.P(B) = 1 - P(\overline{B}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}.

Kết quả: 78;78\frac{7}{8};\frac{7}{8}

Bài 2. Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:

a) "Tổng số chấm xuất hiện nhỏ hơn 1010";

b) "Tích số chấm xuất hiện chia hết cho 33".

Lời giải:

Khi gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất, số phần tử không gian mẫu là: 6⋅6=366 \cdot 6 = 36.

a) Gọi biến cố AA: "Tổng số chấm xuất hiện nhỏ hơn 1010".

Các kết quả thuận lợi cho biến cố AA là:

$A = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (5,1), (5,2), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}$.

Số phần tử của biến cố AA là: ∣A∣=30|A| = 30.

Xác suất của biến cố AA là: P(A)=∣A∣∣Ω∣=3036=56.P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{30}{36} = \frac{5}{6}.

b) Gọi biến cố BB: "Tích số chấm xuất hiện chia hết cho 33".

Các kết quả thuận lợi cho biến cố BB là:

$B = {(1,3), (1,6), (2,3), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,3), (4,6), (5,3), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}$.

Số phần tử của biến cố BB là: ∣B∣=12|B| = 12.

Xác suất của biến cố BB là: P(B)=∣B∣∣Ω∣=1236=13.P(B) = \frac{|B|}{|\Omega|} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}.

Kết quả: 56;13\frac{5}{6};\frac{1}{3}

Bài 3. Hộp thứ nhất đựng 11 thẻ xanh, 11 thẻ đỏ và 11 thẻ vàng. Hộp thứ hai đựng 11 thẻ xanh và 11 thẻ đỏ. Các tấm thẻ có kích thước và khối lượng như nhau. Lần lượt lấy ra ngẫu nhiên từ mỗi hộp một tấm thẻ.

a) Sử dụng sơ đồ hình cây, hãy liệt kê tất cả các kết quả có thể xảy ra.

b) Tính xác suất của biến cố "Trong 22 thẻ lấy ra có ít nhất 11 thẻ màu đỏ".

Lời giải:

a) Sơ đồ hình cây:

  • Lấy thẻ từ hộp 11: 11 thẻ xanh, 11 thẻ đỏ, 11 thẻ vàng.

  • Lấy thẻ từ hộp 22: 11 thẻ xanh, 11 thẻ đỏ.

Các kết quả có thể xảy ra:

{(X,Z),(X,R),(R,Z),(R,R),(V,Z),(V,R)}\{ (X,Z), (X,R), (R,Z), (R,R), (V,Z), (V,R) \}

b) Gọi biến cố CC: "Trong 22 thẻ lấy ra có ít nhất 11 thẻ màu đỏ".

Các kết quả thuận lợi cho biến cố CC là:

{(X,R),(R,Z),(R,R),(V,R)}\{ (X,R), (R,Z), (R,R), (V,R) \}.

Số phần tử không gian mẫu là: 3⋅2=63 \cdot 2 = 6.

Số phần tử của biến cố CC là: ∣C∣=4|C| = 4.

Xác suất của biến cố CC là: P(C)=∣C∣∣Ω∣=46=23.P(C) = \frac{|C|}{|\Omega|} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.

Kết quả: 23\frac{2}{3}

Bài 4. Trong hộp có một số quả bóng màu xanh và màu đỏ có kích thước và khối lượng như nhau. An nhận thấy nếu lấy ngẫu nhiên hai quả bóng từ hộp thì xác suất để hai quả bóng này khác màu là 0,60,6. Hỏi xác suất để hai quả bóng lấy ra cùng màu là bao nhiêu?

Lời giải:

Gọi nn là số lượng bóng trong hộp.

Gọi AA là biến cố: "Lấy ra hai quả bóng cùng màu".

Gọi BB là biến cố: "Lấy ra hai quả bóng khác màu".

Ta có: P(B)=0,6P(B) = 0,6.

Mà P(B)=1−P(A)P(B) = 1 - P(A), suy ra:

P(A)=1−0,6=0,4.P(A) = 1 - 0,6 = 0,4.

Kết quả: 0,40,4

Bài 5. Năm bạn Nhân, Lẽ, Nghĩa, Trí và Tin xếp một cách ngẫu nhiên thành một hàng ngang để chụp ảnh. Tính xác suất của biến cố:

a) "Nhân và Tín không đứng cạnh nhau";

b) "Trí không đứng ở đầu hàng".

Lời giải:

a) Số cách xếp 55 bạn thành hàng ngang là 5!5!.

Gọi biến cố DD: "Nhân và Tín đứng cạnh nhau".

Ta xem Nhân và Tín là một người, khi đó có 44 người xếp thành hàng ngang.

Số cách xếp 44 người là: 4!=244! = 24.

Tuy nhiên, Nhân và Tín có thể đổi chỗ cho nhau nên có 22 cách.

Do đó, số cách xếp để Nhân và Tín đứng cạnh nhau là: 2⋅24=482 \cdot 24 = 48.

Biến cố D‾\overline{D}: "Nhân và Tín không đứng cạnh nhau".

Xác suất của biến cố D‾\overline{D} là: P(D‾)=1−48120=72120=35.P(\overline{D}) = 1 - \frac{48}{120} = \frac{72}{120} = \frac{3}{5}.

b) Gọi biến cố EE: "Trí đứng ở đầu hàng".

Có 22 cách chọn vị trí đầu hàng.

Số cách xếp 44 người còn lại là: 4!=244! = 24.

Do đó, số cách xếp để Trí đứng ở đầu hàng là: 2⋅24=482 \cdot 24 = 48.

Biến cố E‾\overline{E}: "Trí không đứng ở đầu hàng".

Xác suất của biến cố E‾\overline{E} là: P(E‾)=1−48120=72120=35.P(\overline{E}) = 1 - \frac{48}{120} = \frac{72}{120} = \frac{3}{5}.

Kết quả: 35;35\frac{3}{5};\frac{3}{5}

Trang 87 — Bài tập cuối chương X

Bài 1. Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương có ba chữ số.

a) Hãy mô tả không gian mẫu.

b) Tính xác suất của biến cố "Số được chọn là lập phương của một số nguyên".

c) Tính xác suất của biến cố "Số được chọn chia hết cho 5".

Lời giải:

a) Không gian mẫu Ω\Omega bao gồm tất cả các số nguyên dương có ba chữ số, tức là Ω={100,101,102,…,999}\Omega = \{100, 101, 102, \ldots, 999\} với ∣Ω∣=900|\Omega| = 900.

b) Các số là lập phương của một số nguyên trong khoảng từ 100100 đến 999999 là 125,216,343,512,729125, 216, 343, 512, 729. Do đó, xác suất của biến cố "Số được chọn là lập phương của một số nguyên" là:

P=5900=1180.P = \frac{5}{900} = \frac{1}{180}.

Kết quả: 1180\frac{1}{180}

c) Các số chia hết cho 55 trong khoảng từ 100100 đến 999999 là các số có chữ số hàng đơn vị là 00 hoặc 55. Có 180180 số chia hết cho 55 trong khoảng này. Do đó, xác suất của biến cố "Số được chọn chia hết cho 55" là:

P=180900=15.P = \frac{180}{900} = \frac{1}{5}.

Kết quả: 15\frac{1}{5}

Bài 2. Gieo bốn đồng xu cân đối và đồng chất. Xác định biến cố đối của mỗi biến cố sau và tính xác suất của nó.

a) "Xuất hiện ít nhất ba mặt sấp";

b) "Xuất hiện ít nhất một mặt ngửa".

Lời giải:

a) Biến cố đối của biến cố "Xuất hiện ít nhất ba mặt sấp" là biến cố "Xuất hiện nhiều nhất hai mặt sấp". Xác suất của biến cố "Xuất hiện ít nhất ba mặt sấp" là:

  • Số phần tử của không gian mẫu: 24=162^4 = 16.
  • Các trường hợp xuất hiện ít nhất ba mặt sấp: {(S,S,S,S),(S,S,S,N),(S,S,N,S),(S,N,S,S),(N,S,S,S)}\{(S, S, S, S), (S, S, S, N), (S, S, N, S), (S, N, S, S), (N, S, S, S)\}.

Do đó, xác suất của biến cố "Xuất hiện ít nhất ba mặt sấp" là:

P=516.P = \frac{5}{16}.

b) Biến cố đối của biến cố "Xuất hiện ít nhất một mặt ngửa" là biến cố "Không xuất hiện mặt ngửa nào" hay "Tất cả các mặt đều là mặt sấp". Xác suất của biến cố "Không xuất hiện mặt ngửa nào" là:

P=116.P = \frac{1}{16}.

Do đó, xác suất của biến cố "Xuất hiện ít nhất một mặt ngửa" là:

P=1−116=1516.P = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}.

Kết quả: 516\frac{5}{16}, 1516\frac{15}{16}

Bài 3. Gieo ba con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:

a) "Tổng số chấm xuất hiện nhỏ hơn 5";

b) "Tích số chấm xuất hiện chia hết cho 5".

Lời giải:

a) Không gian mẫu Ω\Omega có 63=2166^3 = 216 phần tử.

Các trường hợp thoả mãn điều kiện "Tổng số chấm xuất hiện nhỏ hơn 55" là:

  • (1,1,1)(1, 1, 1);
  • (1,1,2)(1, 1, 2); (1,2,1)(1, 2, 1); (2,1,1)(2, 1, 1).

Do đó, xác suất của biến cố "Tổng số chấm xuất hiện nhỏ hơn 55" là:

P=4216=154.P = \frac{4}{216} = \frac{1}{54}.

b) Biến cố "Tích số chấm xuất hiện chia hết cho 55" xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một trong các số chấm xuất hiện là 55.

Số phần tử của không gian mẫu là 216216. Số cách chọn sao cho không có số chấm nào là 55 là 53=1255^3 = 125.

Do đó, xác suất của biến cố "Tích số chấm xuất hiện chia hết cho 55" là:

P=1−125216=91216.P = 1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216}.

Kết quả: 154\frac{1}{54}, 91216\frac{91}{216}

Bài 4. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ. Hộp thứ hai chứa 5 viên bi xanh, 2 viên bi đỏ. Các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 2 viên bi. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:

a) "Bốn viên bi lấy ra có cùng màu";

b) "Trong 4 viên bi lấy ra có đúng 1 viên bi xanh";

c) "Trong 4 viên bi lấy ra có đủ cả hai màu xanh và đỏ".

Lời giải:

a) Số cách lấy 22 viên bi từ hộp thứ nhất: C72=21C_7^2 = 21.

Số cách lấy 22 viên bi từ hộp thứ hai: C72=21C_7^2 = 21.

Do đó, số phần tử của không gian mẫu là 21⋅21=44121 \cdot 21 = 441.

  • Số cách lấy 22 viên bi xanh từ hộp thứ nhất: C42=6C_4^2 = 6.

  • Số cách lấy 22 viên bi xanh từ hộp thứ hai: C52=10C_5^2 = 10.

  • Xác suất của biến cố "Bốn viên bi lấy ra có cùng màu xanh" là 6⋅10441=60441\frac{6 \cdot 10}{441} = \frac{60}{441}.

  • Số cách lấy 22 viên bi đỏ từ hộp thứ nhất: C32=3C_3^2 = 3.

  • Số cách lấy 22 viên bi đỏ từ hộp thứ hai: C22=1C_2^2 = 1.

  • Xác suất của biến cố "Bốn viên bi lấy ra có cùng màu đỏ" là 3⋅1441=3441\frac{3 \cdot 1}{441} = \frac{3}{441}.

  • Xác suất của biến cố "Bốn viên bi lấy ra có cùng màu" là:

P=60441+3441=63441=749.P = \frac{60}{441} + \frac{3}{441} = \frac{63}{441} = \frac{7}{49}.

b) - Số cách lấy 11 viên bi xanh và 11 viên bi đỏ từ hộp thứ nhất: C41⋅C31=12C_4^1 \cdot C_3^1 = 12.

  • Số cách lấy 11 viên bi xanh và 11 viên bi đỏ từ hộp thứ hai: C51⋅C21=10C_5^1 \cdot C_2^1 = 10.

  • Xác suất của biến cố "Trong 4 viên bi lấy ra có đúng 1 viên bi xanh" là:

P=12⋅10441=120441.P = \frac{12 \cdot 10}{441} = \frac{120}{441}.

c) Biến cố đối của biến cố "Trong 44 viên bi lấy ra có đủ cả hai màu xanh và đỏ" là biến cố "Trong 44 viên bi lấy ra có cùng màu".

Do đó, xác suất của biến cố "Trong 44 viên bi lấy ra có đủ cả hai màu xanh và đỏ" là:

P=1−749=4249.P = 1 - \frac{7}{49} = \frac{42}{49}.

Kết quả: 749\frac{7}{49}, 120441\frac{120}{441}, 4249\frac{42}{49}