Giải Toán 10 Tập 2 trang 9-12 - Chân trời sáng tạo

Trang 9 — Định lí về dấu của tam thức bậc hai

Bài 2. Quan sát đồ thị của các hàm số bậc hai trong các hình dưới đây. Trong mỗi trường hợp, hãy cho biết:

• Các nghiệm (nếu có) và dấu của biệt thức $\Delta$.
• Các khoảng giá trị của $x$ mà trên đó $f(x)$ cùng dấu với hệ số của $x^2$.

Lời giải:

a) $y = f(x) = -x^2 + 2x - 2$

• Đồ thị: Parabol mở xuống dưới, đỉnh $(1; -1)$, không cắt trục hoành.
• Các nghiệm: Vô nghiệm.
• Dấu của $\Delta$: $\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(-1)(-2) = 4 - 8 = -4 < 0$.
• Khoảng giá trị của $x$: $f(x)$ cùng dấu với hệ số của $x^2$ (là $-1 < 0$) với mọi $x$.

b) $y = f(x) = -x^2 + 2x - 1$

• Đồ thị: Parabol mở xuống dưới, đỉnh $(1; 0)$, tiếp xúc trục hoành tại $x = 1$.
• Các nghiệm: $x = 1$ (nghiệm kép).
• Dấu của $\Delta$: $\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(-1)(-1) = 4 - 4 = 0$.
• Khoảng giá trị của $x$: $f(x)$ cùng dấu với hệ số của $x^2$ (là $-1 < 0$) với mọi $x \neq 1$.

c) $y = f(x) = -x^2 + 2x + 3$

• Đồ thị: Parabol mở xuống dưới, đỉnh $(1; 4)$, cắt trục hoành tại $x = -1$ và $x = 3$.
• Các nghiệm: $x_1 = -1; x_2 = 3$.
• Dấu của $\Delta$: $\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(-1)(3) = 4 + 12 = 16 > 0$.
• Khoảng giá trị của $x$: $f(x)$ cùng dấu với hệ số của $x^2$ (là $-1 < 0$) với mọi $x \in (-1; 3)$.

d) $y = f(x) = x^2 + 6x + 10$

• Đồ thị: Parabol mở lên trên, đỉnh $(-3; 1)$, không cắt trục hoành.
• Các nghiệm: Vô nghiệm.
• Dấu của $\Delta$: $\Delta = b^2 - 4ac = 6^2 - 4(1)(10) = 36 - 40 = -4 < 0$.
• Khoảng giá trị của $x$: $f(x)$ cùng dấu với hệ số của $x^2$ (là $1 > 0$) với mọi $x$.

e) $y = f(x) = x^2 + 6x + 9$

• Đồ thị: Parabol mở lên trên, đỉnh $(-3; 0)$, tiếp xúc trục hoành tại $x = -3$.
• Các nghiệm: $x = -3$ (nghiệm kép).
• Dấu của $\Delta$: $\Delta = b^2 - 4ac = 6^2 - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0$.
• Khoảng giá trị của $x$: $f(x)$ cùng dấu với hệ số của $x^2$ (là $1 > 0$) với mọi $x \neq -3$.

f) $y = f(x) = x^2 + 6x + 8$

• Đồ thị: Parabol mở lên trên, đỉnh $(-3; -1)$, cắt trục hoành tại $x = -4$ và $x = -2$.
• Các nghiệm: $x_1 = -4; x_2 = -2$.
• Dấu của $\Delta$: $\Delta = b^2 - 4ac = 6^2 - 4(1)(8) = 36 - 32 = 4 > 0$.
• Khoảng giá trị của $x$: $f(x)$ cùng dấu với hệ số của $x^2$ (là $1 > 0$) với mọi $x \in (-\infty; -4) \cup (-2; +\infty)$.

Kết quả:

• a) Vô nghiệm, $\Delta < 0$, $f(x) < 0 \forall x$.
• b) $x = 1$, $\Delta = 0$, $f(x) < 0 \forall x \neq 1$.
• c) $x_1 = -1; x_2 = 3$, $\Delta > 0$, $f(x) < 0 \forall x \in (-1; 3)$.
• d) Vô nghiệm, $\Delta < 0$, $f(x) > 0 \forall x$.
• e) $x = -3$, $\Delta = 0$, $f(x) > 0 \forall x \neq -3$.
• f) $x_1 = -4; x_2 = -2$, $\Delta > 0$, $f(x) > 0 \forall x \in (-\infty; -4) \cup (-2; +\infty)$.

---

Trang 10 —

Bài 1. Đa thức nào sau đây là tam thức bậc hai?

a) $4x^2 + 3x + 1;$

b) $x^3 + 3x^2 - 1;$

c) $2x^2 + 4x - 1.$

Lời giải:

Tam thức bậc hai là đa thức có dạng $ax^2 + bx + c$ với $a \neq 0$.

• a) $4x^2 + 3x + 1$ có dạng $ax^2 + bx + c$ với $a = 4 \neq 0$, $b = 3$, $c = 1$. Do đó đa thức này là tam thức bậc hai.

• b) $x^3 + 3x^2 - 1$ có số mũ cao nhất của biến $x$ là $3$ nên không phải là tam thức bậc hai.

• c) $2x^2 + 4x - 1$ có dạng $ax^2 + bx + c$ với $a = 2 \neq 0$, $b = 4$, $c = -1$. Do đó đa thức này là tam thức bậc hai.

Kết quả: a), c)

Bài 2. Xác định giá trị của $m$ để các đa thức sau là tam thức bậc hai.

a) $(m + 1)x^2 + 2x + m;$

b) $mx^3 + 2x^2 - x + m;$

c) $-5x^2 + 2x - m + 1.$

Lời giải:

Tam thức bậc hai là đa thức có dạng $ax^2 + bx + c$ với $a \neq 0$.

• a) $(m + 1)x^2 + 2x + m$ là tam thức bậc hai khi $m + 1 \neq 0$, tức là $m \neq -1$.

• b) $mx^3 + 2x^2 - x + m$ có số mũ cao nhất của biến $x$ là $3$ nên không phải là tam thức bậc hai với mọi giá trị của $m$.

• c) $-5x^2 + 2x - m + 1$ là tam thức bậc hai khi $-5 \neq 0$ (luôn đúng). Vậy $-5x^2 + 2x - m + 1$ là tam thức bậc hai với mọi giá trị của $m$.

Kết quả: a) $m \neq -1$.

---

Trang 11 — Đại số 10

Bài 3. Dựa vào đồ thị của các hàm số bậc hai sau đây, hãy lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai tương ứng.

a) $f(x) = x^2 + 1,5x - 1$

Lời giải:

• Xác định nghiệm:
  • Giải phương trình $x^2 + 1,5x - 1 = 0$:

$$\Delta = b^2 - 4ac = (1,5)^2 - 4(1)(-1) = 2.25 + 4 = 6.25.$$ $$x_{1,2} = \frac{-1.5 \pm \sqrt{6.25}}{2} = \frac{-1.5 \pm 2.5}{2}.$$ $$x_1 = 0.5 \quad \text{và} \quad x_2 = -2.$$

• Dựa vào đồ thị:
  • Đồ thị cắt trục $Ox$ tại $x = -2$ và $x = 0.5$.
  • Parabol mở lên ($a > 0$).

Bảng xét dấu:

Khoảng	$(-\infty, -2)$	$(-2, 0.5)$	$(0.5, +\infty)$
$f(x)$	$+$	(-)	$+$

Kết quả:

• $f(x) > 0$ khi $x \in (-\infty, -2) \cup (0.5, +\infty)$,
• $f(x) < 0$ khi $x \in (-2, 0.5)$.

b) $g(x) = x^2 + x + 1$

Lời giải:

• Xác định nghiệm:
  • Giải phương trình $x^2 + x + 1 = 0$:

$$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3 < 0.$$

• Phương trình vô nghiệm.

• Dựa vào đồ thị:

  • Đồ thị không cắt trục $Ox$.
  • Parabol mở lên ($a > 0$).

Bảng xét dấu:

Khoảng	$(-\infty, +\infty)$
$g(x)$	$+$

Kết quả:

• $g(x) > 0$ với $\forall x \in \mathbb{R}$.

c) $h(x) = -9x^2 - 12x - 4$

Lời giải:

• Xác định nghiệm:
  • Giải phương trình $-9x^2 - 12x - 4 = 0$:

$$\Delta = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4(-9)(-4) = 144 - 144 = 0.$$ $$x = -\frac{-12}{2 \cdot (-9)} = -\frac{2}{3}.$$

• Dựa vào đồ thị:
  • Đồ thị cắt trục $Ox$ tại $x = -\frac{2}{3}$.
  • Parabol mở xuống ($a < 0$).

Bảng xét dấu:

Khoảng	$(-\infty, -\frac{2}{3})$	$(-\frac{2}{3}, +\infty)$
$h(x)$	(-)	$-$

Kết quả:

• $h(x) < 0$ với $\forall x \in \mathbb{R}$.

d) $f(x) = -0.5x^2 + 3x - 6$

Lời giải:

• Xác định nghiệm:
  • Giải phương trình $-0.5x^2 + 3x - 6 = 0$:

$$\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(-0.5)(-6) = 9 - 12 = -3 < 0.$$

• Phương trình vô nghiệm.

• Dựa vào đồ thị:

  • Đồ thị không cắt trục $Ox$.
  • Parabol mở xuống ($a < 0$).

Bảng xét dấu:

Khoảng	$(-\infty, +\infty)$
$f(x)$	(-)

Kết quả:

• $f(x) < 0$ với $\forall x \in \mathbb{R}$.

e) $g(x) = -x^2 - 0.5x + 3$

Lời giải:

• Xác định nghiệm:
  • Giải phương trình $-x^2 - 0.5x + 3 = 0$:

$$\Delta = b^2 - 4ac = (-0.5)^2 - 4(-1)(3) = 0.25 + 12 = 12.25.$$ $$x_{1,2} = \frac{0.5 \pm \sqrt{12.25}}{-2} = \frac{0.5 \pm 3.5}{-2}.$$ $$x_1 = -2 \quad \text{và} \quad x_2 = 1.5.$$

• Dựa vào đồ thị:
  • Đồ thị cắt trục $Ox$ tại $x = -2$ và $x = 1.5$.
  • Parabol mở xuống ($a < 0$).

Bảng xét dấu:

Khoảng	$(-\infty, -2)$	$(-2, 1.5)$	$(1.5, +\infty)$
$g(x)$	(-)	$+$	(-)

Kết quả:

• $g(x) > 0$ khi $x \in (-2, 1.5)$,
• $g(x) < 0$ khi $x \in (-\infty, -2) \cup (1.5, +\infty)$.

g) $h(x) = x^2 + 2\sqrt{2}x + 2$

Lời giải:

• Xác định nghiệm:
  • Giải phương trình $x^2 + 2\sqrt{2}x + 2 = 0$:

$$\Delta = b^2 - 4ac = (2\sqrt{2})^2 - 4(1)(2) = 8 - 8 = 0.$$ $$x = -\frac{2\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}.$$

• Dựa vào đồ thị:
  • Đồ thị cắt trục $Ox$ tại $x = -\sqrt{2}$.
  • Parabol mở lên ($a > 0$).

Bảng xét dấu:

Khoảng	$(-\infty, -\sqrt{2})$	$(-\sqrt{2}, +\infty)$
$h(x)$	$+$	$+$

Kết quả:

• $h(x) > 0$ với $\forall x \in \mathbb{R}$.

---

Bài 4. Xét dấu của các tam thức bậc hai sau đây:

a) $f(x) = 2x^2 + 4x + 2$

Lời giải:

• Xác định nghiệm:
  • Giải phương trình $2x^2 + 4x + 2 = 0$:

$$\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(2)(2) = 16 - 16 = 0.$$ $$x = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -1.$$

• Xét dấu:
  • $a = 2 > 0$, tam thức đổi dấu tại $x = -1$.

Bảng xét dấu:

Khoảng	$(-\infty, -1)$	$(-1, +\infty)$
$f(x)$	$+$	$+$

Kết quả:

• $f(x) > 0$ với $\forall x \in \mathbb{R}$.

b) $f(x) = -3x^2 + 2x + 21$

Lời giải:

• Xác định nghiệm:
  • Giải phương trình $-3x^2 + 2x + 21 = 0$:

$$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(-3)(21) = 4 + 252 = 256.$$ $$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{256}}{-6} = \frac{-2 \pm 16}{-6}.$$ $$x_1 = - \frac{7}{3} \quad \text{và} \quad x_2 = 3.$$

• Xét dấu:
  • $a = -3 < 0$, tam thức đổi dấu tại $x_1, x_2$.

Bảng xét dấu:

Khoảng	$(-\infty, -\frac{7}{3})$	$(-\frac{7}{3}, 3)$	$(3, +\infty)$
$f(x)$	(-)	$+$	(-)

Kết quả:

• $f(x) > 0$ khi $x \in (-\frac{7}{3}, 3)$,
• $f(x) < 0$ khi $x \in (-\infty, -\frac{7}{3}) \cup (3, +\infty)$.

c) $f(x) = -2x^2 + x - 2$

Lời giải:

• Xác định nghiệm:
  • Giải phương trình $-2x^2 + x - 2 = 0$:

$$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(-2)(-2) = 1 - 16 = -15 < 0.$$

• Phương trình vô nghiệm.

• Xét dấu:

  • $a = -2 < 0$, tam thức luôn âm.

Bảng xét dấu:

Khoảng	$(-\infty, +\infty)$
$f(x)$	(-)

Kết quả:

• $f(x) < 0$ với $\forall x \in \mathbb{R}$.

d) $f(x) = -4x(x + 3) - 9$

Lời giải:

• Biến đổi:

$$f(x) = -4x^2 - 12x - 9 = -(4x^2 + 12x + 9) = -(2x + 3)^2.$$

• Xét dấu:
  • $f(x) \leq 0$ với $\forall x \in \mathbb{R}$.

Bảng xét dấu:

Khoảng	$(-\infty, +\infty)$
$f(x)$	(-)

Kết quả:

• $f(x) < 0$ với $\forall x \in \mathbb{R}$.

e) $f(x) = (2x + 5)(x - 3)$

Lời giải:

• Xác định nghiệm:

  • $x_1 = -\frac{5}{2}$ và $x_2 = 3$.

• Xét dấu:

  • $f(x)$ đổi dấu tại $x_1, x_2$.

Bảng xét dấu:

Khoảng	$(-\infty, -\frac{5}{2})$	$(-\frac{5}{2}, 3)$	$(3, +\infty)$
$f(x)$	(-)	$+$	(-)

Kết quả:

• $f(x) > 0$ khi $x \in (-\frac{5}{2}, 3)$,
• $f(x) < 0$ khi $x \in (-\infty, -\frac{5}{2}) \cup (3, +\infty)$.

---

Bài 5. Độ cao (tính bằng mét) của một quả bóng so với vành rổ khi bóng di chuyển được $x$ mét theo phương ngang được mô phỏng bằng hàm số $h(x) = -0.1x^2 + x - 1$. Trong các khoảng nào của $x$ thì bóng nằm: cao hơn vành rổ, thấp hơn vành rổ và ngang vành rổ? Làm tròn các kết quả đến hàng phần mười.

Lời giải:

• Xác định khoảng:

  • Bóng cao hơn vành rổ khi $h(x) > 0$.
  • Bóng thấp hơn vành rổ khi $h(x) < 0$.
  • Bóng ngang vành rổ khi $h(x) = 0$.

• Giải $h(x) = 0$:

$$-0.1x^2 + x - 1 = 0.$$ $$\Delta = 1^2 - 4(-0.1)(-1) = 1 - 0.4 = 0.6.$$ $$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{0.6}}{-0.2} \approx \frac{-1 \pm 0.8}{-0.2}.$$ $$x_1 \approx 1.0 \quad \text{và} \quad x_2 \approx 5.0.$$

• Xét dấu $h(x)$:
  • $h(x) > 0$ khi $x \in (1.0, 5.0)$,
  • $h(x) < 0$ khi $x \in (-\infty, 1.0) \cup (5.0, +\infty)$.

Kết quả:

• Bóng cao hơn vành rổ khi $x \in (1.0, 5.0)$,
• Bóng thấp hơn vành rổ khi $x \in (-\infty, 1.0) \cup (5.0, +\infty)$,
• Bóng ngang vành rổ khi $x \approx 1.0$ hoặc $x \approx 5.0$.

---

Bài 6. Một khung dây thép hình chữ nhật có chiều dài $20$ cm và chiều rộng $15$ cm được uốn lại thành khung hình chữ nhật mới có kích thước $(20 + x)$ cm và $(15 - x)$ cm. Với $x$ nằm trong các khoảng nào thì diện tích của khung sau khi uốn: tăng lên, không thay đổi, giảm đi?

Lời giải:

• Diện tích cũ:

$$S_1 = 20 \cdot 15 = 300 \, \text{cm}^2.$$

• Diện tích mới:

$$S_2 = (20 + x)(15 - x) = 300 - 5x - x^2.$$

• So sánh $S_2$ và $S_1$:

  • $S_2 > S_1 \Rightarrow -x^2 - 5x > 0$,
  • $S_2 = S_1 \Rightarrow -x^2 - 5x = 0$,
  • $S_2 < S_1 \Rightarrow -x^2 - 5x < 0$.

• Giải $-x^2 - 5x = 0$:

$$-x(-x - 5) = 0 \Rightarrow x = 0 \quad \text{và} \quad x = -5.$$

• Xét dấu $-x^2 - 5x$:
  • Âm khi $x \in (-\infty, -5) \cup (0, +\infty)$,
  • Dương khi $x \in (-5, 0)$.

Kết quả:

• Diện tích tăng lên khi $x \in (-5, 0)$,
• Diện tích không đổi khi $x = -5$ hoặc $x = 0$,
• Diện tích giảm đi khi $x \in (-\infty, -5) \cup (0, +\infty)$.

---

Bài 7. Chứng minh rằng với mọi số thực $m$ ta luôn có $9m^2 + 2m > -3$.

Lời giải:

• Xét tam thức:

$$f(m) = 9m^2 + 2m + 3.$$

• Tính $\Delta$:

$$\Delta = 2^2 - 4 \cdot 9 \cdot 3 = 4 - 108 = -104 < 0.$$

• Kết luận:
  • $a = 9 > 0$ và $\Delta < 0$ $\Rightarrow f(m) > 0$ với $\forall m \in \mathbb{R}$.

Kết quả:

• $9m^2 + 2m > -3$ với $\forall m \in \mathbb{R}$.

---

Bài 8. Tìm giá trị của $m$ để:

a) $2x^2 + 3x + m + 1 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Lời giải:

• Điều kiện:

$$\Delta = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (m + 1) < 0.$$ $$9 - 8(m + 1) < 0 \Rightarrow 9 - 8m - 8 < 0.$$ $$-8m + 1 < 0 \Rightarrow m > \frac{1}{8}.$$

Kết quả:

• $m > \frac{1}{8}$.

b) $mx^2 + 5x - 3 \leq 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Lời giải:

• Điều kiện:
  • Trường hợp $m = 0$: $5x - 3 \leq 0 \Rightarrow x \leq \dfrac{3}{5}$.

---

Trang 12 — Bài 2. Giải bất phương trình bậc hai một ẩn

Bài tập / Câu hỏi / Luyện tập / Ví dụ cần giải:

1. Ví dụ 1: Các bất phương trình nào sau dây là bất phương trình bậc hai một ẩn? Nếu là bất phương trình bậc hai một ẩn, $x = 1$ và $x = 2$ có là nghiệm của bất phương trình đó hay không? a) $x^2 + x - 3 \geq 0$; b) $3x^3 + x^2 - 1 \leq 0.$

Lời giải:

• Bất phương trình bậc hai một ẩn có dạng $ax^2 + bx + c \leq 0$, $ax^2 + bx + c < 0$, $ax^2 + bx + c \geq 0$, $ax^2 + bx + c > 0$, với $a \neq 0$.

a) $x^2 + x - 3 \geq 0$ là một bất phương trình bậc hai một ẩn.

• Với $x = 1$: $1^2 + 1 - 3 = -1 < 0$ nên $x = 1$ không phải là nghiệm của bất phương trình trên.
• Với $x = 2$: $2^2 + 2 - 3 = 3 > 0$ nên $x = 2$ là một nghiệm của bất phương trình trên.

b) $3x^3 + x^2 - 1 \leq 0$ không phải là một bất phương trình bậc hai một ẩn.

Kết quả:

• a) $x = 1$ không là nghiệm, $x = 2$ là nghiệm.
• b) Không là bất phương trình bậc hai một ẩn.

2. Ví dụ 2: Các bất phương trình nào sau dây là bất phương trình bậc hai một ẩn? Nếu là bất phương trình bậc hai một ẩn, $x = -2$ có là nghiệm của bất phương trình đó hay không? a) $x^2 + x - 6 \leq 0$; b) $x + 2 > 0$; c) $-6x^2 - 7x + 5 > 0.$

Lời giải:

• Bất phương trình bậc hai một ẩn có dạng $ax^2 + bx + c \leq 0$, $ax^2 + bx + c < 0$, $ax^2 + bx + c \geq 0$, $ax^2 + bx + c > 0$, với $a \neq 0$.

a) $x^2 + x - 6 \leq 0$ là một bất phương trình bậc hai một ẩn.

• Với $x = -2$: $(-2)^2 + (-2) - 6 = 4 - 2 - 6 = -4 < 0$ nên $x = -2$ là nghiệm của bất phương trình trên.

b) $x + 2 > 0$ không phải là một bất phương trình bậc hai một ẩn.

c) $-6x^2 - 7x + 5 > 0$ là một bất phương trình bậc hai một ẩn.

Kết quả:

• a) $x = -2$ là nghiệm.
• b) Không là bất phương trình bậc hai một ẩn.
• c) Là bất phương trình bậc hai một ẩn.