Giải Toán 10 Bài 14: Các số đặc trưng đo độ phân tán - Kết nối tri thức

Bài 14. Các số đặc trưng đo độ phân tán (SGK Toán 10 – Kết nối tri thức, Tập 1, trang 85–91)

---

Tóm tắt lý thuyết

Khoảng biến thiên $R = x_{\max} - x_{\min}$.

Khoảng tứ phân vị $\Delta Q = Q_3 - Q_1$.

Phương sai của mẫu $x_1, x_2, \ldots, x_n$ (số trung bình $\bar{x}$):

$$s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2.$$

Độ lệch chuẩn: $s = \sqrt{s^2}$.

Phương sai và độ lệch chuẩn càng nhỏ, dữ liệu càng tập trung quanh trung bình.

Biểu đồ hộp (box plot): Biểu diễn 5 số: $x_{\min}$, $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$, $x_{\max}$.

Phát hiện giá trị ngoại lệ:

• Giá trị ngoại lệ phía dưới: $x < Q_1 - 1{,}5\,\Delta Q$.
• Giá trị ngoại lệ phía trên: $x > Q_3 + 1{,}5\,\Delta Q$.

---

A. Luyện tập trong bài

Luyện tập 1 (trang 86). Nhiệt độ cao nhất (°C) trong 6 tháng tại Hà Nội: $23,\;25,\;28,\;32,\;33,\;35$ và tại Điện Biên: $16,\;23,\;28,\;32,\;45,\;50$.

Tính khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị. So sánh mức độ phân tán.

Giải:

Hà Nội ($n=6$, đã sắp xếp):

$R_1 = 35-23 = 12$.

$Q_1 = \dfrac{25+28}{2} = 26{,}5$; $\quad Q_3 = \dfrac{33+35}{2} = 34$; $\quad \Delta Q_1 = 7{,}5$.

Điện Biên ($n=6$, đã sắp xếp):

$R_2 = 50-16 = 34$.

$Q_1 = \dfrac{23+28}{2} = 25{,}5$; $\quad Q_3 = \dfrac{45+50}{2} = 47{,}5$; $\quad \Delta Q_2 = 22$.

Nhận xét: $R_2 > R_1$ và $\Delta Q_2 > \Delta Q_1$ → nhiệt độ Điện Biên phân tán hơn (dao động lớn hơn).

---

Luyện tập 2 (trang 86). Điểm kiểm tra của hai lớp bằng (tần số bằng nhau). Lớp A: $Q_1=5$, $Q_3=8$. Lớp B: $Q_1=6$, $Q_3=9$. Nhận xét khoảng tứ phân vị và sự phân bố.

Giải:

$\Delta Q_A = 8-5 = 3$; $\Delta Q_B = 9-6 = 3$.

Hai lớp có cùng khoảng tứ phân vị → mức độ phân tán tương đương. Tuy nhiên lớp B có điểm cao hơn (trung vị cao hơn).

---

Luyện tập 3 (trang 87). Mẫu số liệu thời gian (phút) của 5 học sinh: $43,\;45,\;40,\;46,\;41$. Tính phương sai và độ lệch chuẩn.

Giải:

$$\bar{x} = \frac{43+45+40+46+41}{5} = \frac{215}{5} = 43.$$

Phương sai:

$$s^2 = \frac{(43-43)^2+(45-43)^2+(40-43)^2+(46-43)^2+(41-43)^2}{5}$$

$$= \frac{0+4+9+9+4}{5} = \frac{26}{5} = 5{,}2.$$

$$s = \sqrt{5{,}2} \approx 2{,}28 \text{ phút}.$$

---

Luyện tập 4 (trang 88). Tìm tứ phân vị và xác định giá trị ngoại lệ của mẫu:

$$0,\;100,\;130,\;140,\;150,\;200,\;210,\;340.$$

Giải:

$n=8$. Đã sắp xếp.

$Q_2 = \dfrac{140+150}{2} = 145$; $\quad Q_1 = \dfrac{100+130}{2} = 115$; $\quad Q_3 = \dfrac{200+210}{2} = 205$.

$\Delta Q = 205-115 = 90$.

Giới hạn phát hiện ngoại lệ:

• Dưới: $Q_1 - 1{,}5\,\Delta Q = 115 - 135 = -20$.
• Trên: $Q_3 + 1{,}5\,\Delta Q = 205 + 135 = 340$.

Giá trị $0 > -20$ và $340 \leq 340$ → không có giá trị ngoại lệ theo tiêu chí này. (Giá trị 0 và 340 ở sát biên nhưng không vượt quá.)

---

Luyện tập 5 (trang 88). Đo 7 lần thời gian rơi tự do (giây), kết quả:

$$0{,}398;\;0{,}399;\;0{,}406;\;0{,}410;\;0{,}408;\;0{,}405;\;0{,}402.$$

Tính phương sai và độ lệch chuẩn. Nhận xét độ chính xác.

Giải:

$$\bar{x} = \frac{0{,}398+0{,}399+0{,}406+0{,}410+0{,}408+0{,}405+0{,}402}{7} = \frac{2{,}828}{7} \approx 0{,}404.$$

Bình phương độ lệch:

$x_i$	$x_i - \bar{x}$	$(x_i-\bar{x})^2$
0,398	−0,006	0,000 036
0,399	−0,005	0,000 025
0,406	+0,002	0,000 004
0,410	+0,006	0,000 036
0,408	+0,004	0,000 016
0,405	+0,001	0,000 001
0,402	−0,002	0,000 004

$s^2 = \dfrac{0{,}000\,122}{7} \approx 0{,}0000174$; $\quad s \approx 0{,}0042$ s.

Nhận xét: Độ lệch chuẩn $s \approx 0{,}004$ s rất nhỏ so với giá trị đo ($\approx 0{,}404$ s), phép đo khá chính xác (sai số tương đối $\approx 1\%$).

---

B. Bài tập (trang 89–91)

---

Bài 5.11. Cho mẫu số liệu: $3,\;5,\;5,\;8,\;13,\;20$.

a) Tìm khoảng biến thiên $R$ và khoảng tứ phân vị $\Delta Q$.
b) Biểu diễn biểu đồ hộp.

Lời giải:

$n=6$. Sắp xếp: $3,\;5,\;5,\;8,\;13,\;20$.

a) $R = 20-3 = 17$.

$Q_1 = 5$ (trung vị của $3,\;5,\;5$); $\quad Q_2 = \dfrac{5+8}{2} = 6{,}5$; $\quad Q_3 = 13$ (trung vị của $8,\;13,\;20$).

$$\Delta Q = Q_3 - Q_1 = 13-5 = 8.$$

b) Biểu đồ hộp gồm 5 số: $x_{\min}=3$, $Q_1=5$, $Q_2=6{,}5$, $Q_3=13$, $x_{\max}=20$.

--|---[=====|=====]--------|-
  3   5   6.5   13        20

---

Bài 5.12. Cho hai biểu đồ hộp của mẫu số liệu $A$ và $B$:

• Mẫu $A$: $Q_1=30$, $Q_2=45$, $Q_3=60$; $x_{\min}=10$, $x_{\max}=80$.
• Mẫu $B$: $Q_1=40$, $Q_2=45$, $Q_3=50$; $x_{\min}=35$, $x_{\max}=55$.

So sánh hai mẫu về vị trí trung tâm và mức độ phân tán.

Lời giải:

Cả hai mẫu có cùng trung vị $Q_2 = 45$ → xu thế trung tâm bằng nhau.

$\Delta Q_A = 60-30 = 30$; $\Delta Q_B = 50-40 = 10$.

$R_A = 80-10 = 70$; $R_B = 55-35 = 20$.

Mẫu $B$ có khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị nhỏ hơn nhiều → mẫu $B$ tập trung hơn; mẫu $A$ phân tán hơn.

---

Bài 5.13. Mẫu số liệu gồm 12 giá trị:

$$13,\;19,\;15,\;25,\;17,\;19,\;25,\;15,\;19,\;13,\;15,\;17.$$

Tính: số trung bình, mốt, trung vị, tứ phân vị, khoảng biến thiên, phương sai, độ lệch chuẩn.

Lời giải:

Sắp xếp: $13,\;13,\;15,\;15,\;15,\;17,\;17,\;19,\;19,\;19,\;25,\;25$ ($n=12$).

$$\bar{x} = \frac{13{\times}2 + 15{\times}3 + 17{\times}2 + 19{\times}3 + 25{\times}2}{12} = \frac{26+45+34+57+50}{12} = \frac{212}{12} \approx 17{,}7.$$

Mốt: $M_0 = 15$ và $M_0 = 19$ (cùng tần số 3).

$Q_2 = \dfrac{17+17}{2} = 17$; $\quad Q_1 = \dfrac{15+15}{2} = 15$; $\quad Q_3 = \dfrac{19+19}{2} = 19$.

$R = 25-13 = 12$; $\quad \Delta Q = 19-15 = 4$.

Phương sai (dùng $\bar{x} = 212/12 = 53/3$):

$$s^2 = \frac{2\left(\tfrac{13-53/3}{1}\right)^2 + 3\left(\tfrac{15-53/3}{1}\right)^2 + 2\left(\tfrac{17-53/3}{1}\right)^2 + 3\left(\tfrac{19-53/3}{1}\right)^2 + 2\left(\tfrac{25-53/3}{1}\right)^2}{12}$$

$$= \frac{2\cdot\tfrac{196}{9} + 3\cdot\tfrac{64}{9} + 2\cdot\tfrac{4}{9} + 3\cdot\tfrac{16}{9} + 2\cdot\tfrac{484}{9}}{12} = \frac{(392+192+8+48+968)/9}{12} = \frac{1608}{108} = \frac{134}{9} \approx 14{,}9.$$

$$s = \sqrt{134/9} \approx 3{,}86.$$

---

Bài 5.14. Thời gian chạy cự ly 100 m (giây) của 6 vận động viên:

$$11{,}2;\;11{,}8;\;10{,}9;\;12{,}1;\;11{,}5;\;11{,}3.$$

Tính phương sai và độ lệch chuẩn. Nhận xét.

Lời giải:

$$\bar{x} = \frac{11{,}2+11{,}8+10{,}9+12{,}1+11{,}5+11{,}3}{6} = \frac{68{,}8}{6} \approx 11{,}47.$$

Bình phương độ lệch (dùng $\bar{x} = 11{,}47$):

$x_i$	$x_i-\bar{x}$	$(x_i-\bar{x})^2$
11,2	−0,27	0,0729
11,8	+0,33	0,1089
10,9	−0,57	0,3249
12,1	+0,63	0,3969
11,5	+0,03	0,0009
11,3	−0,17	0,0289

$$s^2 = \frac{0{,}9334}{6} \approx 0{,}156; \quad s \approx 0{,}39 \text{ giây}.$$

Độ lệch chuẩn $\approx 0{,}39$ s là nhỏ so với trung bình $11{,}47$ s → thành tích khá đồng đều.

---

Bài 5.15. Tỉ lệ học sinh giỏi (%) của 10 trường Trung học phổ thông:

$$32,\;26,\;24,\;39,\;42,\;28,\;35,\;30,\;38,\;26.$$

Hãy tính các số đặc trưng đo độ phân tán.

Lời giải:

$n=10$. Sắp xếp: $24,\;26,\;26,\;28,\;30,\;32,\;35,\;38,\;39,\;42$.

$R = 42-24 = 18$.

$Q_1 = \dfrac{26+28}{2} = 27$; $\quad Q_3 = \dfrac{38+39}{2} = 38{,}5$; $\quad \Delta Q = 11{,}5$.

$$\bar{x} = \frac{320}{10} = 32.$$

$$s^2 = \frac{(24-32)^2+(26-32)^2+(26-32)^2+(28-32)^2+(30-32)^2+(32-32)^2+(35-32)^2+(38-32)^2+(39-32)^2+(42-32)^2}{10}$$

$$= \frac{64+36+36+16+4+0+9+36+49+100}{10} = \frac{350}{10} = 35.$$

$$s = \sqrt{35} \approx 5{,}92\%.$$

---

Bài 5.16. Điểm thi học kì Tiếng Anh của 9 học sinh:

$$7{,}5;\;8{,}0;\;6{,}5;\;9{,}0;\;7{,}0;\;8{,}5;\;6{,}0;\;7{,}5;\;8{,}0.$$

Tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai, độ lệch chuẩn. Xác định giá trị ngoại lệ (nếu có).

Lời giải:

$n=9$. Sắp xếp: $6{,}0,\;6{,}5,\;7{,}0,\;7{,}5,\;7{,}5,\;8{,}0,\;8{,}0,\;8{,}5,\;9{,}0$.

$R = 9{,}0-6{,}0 = 3{,}0$.

$Q_2 = 7{,}5$ (vị trí 5); $\quad Q_1 = 7{,}0$ (vị trí 3 của nửa dưới $6{,}0,\;6{,}5,\;7{,}0,\;7{,}5$)

Thực ra nửa dưới (4 giá trị): $6{,}0,\;6{,}5,\;7{,}0,\;7{,}5$ → $Q_1 = (6{,}5+7{,}0)/2 = 6{,}75$.

Nửa trên (4 giá trị): $7{,}5,\;8{,}0,\;8{,}0,\;8{,}5,\;9{,}0$ — thực ra nửa trên 4 giá trị (loại $Q_2$): $8{,}0,\;8{,}0,\;8{,}5,\;9{,}0$ → $Q_3 = (8{,}0+8{,}5)/2 = 8{,}25$.

$\Delta Q = 8{,}25 - 6{,}75 = 1{,}5$.

$$\bar{x} = \frac{6{,}0+6{,}5+7{,}0+7{,}5+7{,}5+8{,}0+8{,}0+8{,}5+9{,}0}{9} = \frac{68}{9} \approx 7{,}56.$$

$$s^2 = \frac{(6{,}0-7{,}56)^2+\cdots+(9{,}0-7{,}56)^2}{9} \approx \frac{6{,}22}{9} \approx 0{,}69; \quad s \approx 0{,}83.$$

Ngoại lệ: Dưới: $6{,}75 - 1{,}5\times1{,}5 = 4{,}5$; trên: $8{,}25+2{,}25 = 10{,}5$. Mọi giá trị nằm trong $[4{,}5;\;10{,}5]$ → không có giá trị ngoại lệ.