Bài 2. Tập hợp và các phép toán trên tập hợp (SGK Toán 10 – Kết nối tri thức, Tập 1, trang 12–20)

A. Luyện tập trong bài

Luyện tập 1 (trang 13). Gọi HH là tập hợp các phần tử của tập AA nhỏ hơn 3030.

Cho A={0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49}A = \{0;\,1;\,4;\,9;\,16;\,25;\,36;\,49\}. Liệt kê các phần tử của HH.

Giải:

H={x∣x∈A,  x<30}={0; 1; 4; 9; 16; 25}.H = \{x \mid x \in A,\; x < 30\} = \{0;\,1;\,4;\,9;\,16;\,25\}.

Luyện tập 2 (trang 14). Gọi HH là tập nghiệm của phương trình 3(2x+1)=2(x−1)3(2x+1) = 2(x-1).

a) Hãy chỉ ra tập hợp HH.
b) HH có phải là tập rỗng không?

Giải:

a) Giải phương trình:

3(2x+1)=2(x−1)  ⇒  6x+3=2x−2  ⇒  4x=−5  ⇒  x=−54.3(2x+1) = 2(x-1) \;\Rightarrow\; 6x+3 = 2x-2 \;\Rightarrow\; 4x = -5 \;\Rightarrow\; x = -\frac{5}{4}.

Vậy H={−54}H = \left\{-\dfrac{5}{4}\right\}.

b) H≠∅H \neq \emptyset vì HH có một phần tử −54-\dfrac{5}{4}.

Luyện tập 3 (trang 15). Gọi XX là tập nghiệm của phương trình x2+2=0x^2 + 2 = 0.

Hỏi XX có phải là tập rỗng không?

Giải:

Phương trình x2+2=0⇒x2=−2x^2 + 2 = 0 \Rightarrow x^2 = -2. Vì x2≥0x^2 \geq 0 với mọi x∈Rx \in \mathbb{R}, phương trình vô nghiệm.

Vậy X=∅X = \emptyset (tập rỗng).

Luyện tập 4 (trang 16). Cho hai tập hợp CC và DD:

C={0; 6; 12; 18; 24},D={0; 6; 12; 18; 24}.C = \{0;\,6;\,12;\,18;\,24\},\quad D = \{0;\,6;\,12;\,18;\,24\}.

Chứng minh C=DC = D.

Giải:

Hai tập hợp bằng nhau nếu chúng có cùng các phần tử. Ta thấy CC và DD chứa đúng các phần tử {0,6,12,18,24}\{0, 6, 12, 18, 24\}, không có phần tử nào thêm hay bớt.

Vậy C=DC = D.

Luyện tập 5 (trang 17). Hãy vẽ mỗi đoạn, khoảng sau trên trục số và cho biết mỗi tập hợp đó có bao nhiêu phần tử nguyên:

a) [−2; 5][-2;\,5];   b) (−2; 5)(-2;\,5);   c) (−2; 5](-2;\,5];   d) (−∞; 3)(-\infty;\,3).

Giải:

a) [−2; 5][-2;\,5] là đoạn từ −2-2 đến 55, gồm cả hai đầu.
Các số nguyên: {−2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}\{-2;\,-1;\,0;\,1;\,2;\,3;\,4;\,5\} → 8 số nguyên.

b) (−2; 5)(-2;\,5) là khoảng mở, không gồm −2-2 và 55.
Các số nguyên: {−1; 0; 1; 2; 3; 4}\{-1;\,0;\,1;\,2;\,3;\,4\} → 6 số nguyên.

c) (−2; 5](-2;\,5] là nửa khoảng, không gồm −2-2, có gồm 55.
Các số nguyên: {−1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}\{-1;\,0;\,1;\,2;\,3;\,4;\,5\} → 7 số nguyên.

d) (−∞; 3)(-\infty;\,3) là khoảng không gồm 33 và mở đến −∞-\infty.
Có vô số số nguyên: {…; −2; −1; 0; 1; 2}\{\ldots;\,-2;\,-1;\,0;\,1;\,2\} → vô số phần tử nguyên.

Luyện tập 6 (trang 18). Cho hai tập hợp:

C={1; 5},D={−2; 1; 3; 5}.C = \{1;\,5\},\quad D = \{-2;\,1;\,3;\,5\}.

Hãy xác định C∩DC \cap D và C∪DC \cup D.

Giải:

C∩D={1; 5}(caˊc phaˆˋn tử chung của C vaˋ D).C \cap D = \{1;\,5\} \quad \text{(các phần tử chung của C và D).}

C∪D={−2; 1; 3; 5}(mọi phaˆˋn tử coˊ trong C hoặc trong D).C \cup D = \{-2;\,1;\,3;\,5\} \quad \text{(mọi phần tử có trong C hoặc trong D).}

Luyện tập 7 (trang 19). Cho hai tập hợp:

S={1; 3; 5; 7; 9},T={1; 2; 3; 4; 5}.S = \{1;\,3;\,5;\,7;\,9\},\quad T = \{1;\,2;\,3;\,4;\,5\}.

Hãy xác định S∖TS \setminus T và T∖ST \setminus S.

Giải:

S∖T={x∣x∈S vaˋ x∉T}={7; 9}.S \setminus T = \{x \mid x \in S \text{ và } x \notin T\} = \{7;\,9\}.

T∖S={x∣x∈T vaˋ x∉S}={2; 4}.T \setminus S = \{x \mid x \in T \text{ và } x \notin S\} = \{2;\,4\}.

B. Bài tập (trang 19–20)

Bài 1.8. Gọi XX là tập hợp các quốc gia láng giềng với Việt Nam. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp XX và biểu diễn XX bằng biểu đồ Ven.

Lời giải:

Việt Nam có biên giới đất liền với 33 quốc gia:

X={Trung Quoˆˊc;  Laˋo;  Campuchia}.X = \{\text{Trung Quốc};\;\text{Lào};\;\text{Campuchia}\}.

Biểu đồ Ven: vẽ hình elip XX chứa ba nhãn "Trung Quốc", "Lào", "Campuchia".

Kết quả: XX có 3 phần tử.

Bài 1.9. Kí hiệu EE là tập hợp các quốc gia tại khu vực Đông Nam Á.

a) Nêu ít nhất hai phần tử thuộc EE.
b) Nêu ít nhất hai phần tử không thuộc EE.
c) Liệt kê các phần tử của EE. Tập hợp EE có bao nhiêu phần tử?

Lời giải:

a) Hai quốc gia thuộc EE: Việt Nam, Thái Lan.

b) Hai quốc gia không thuộc EE: Trung Quốc, Nhật Bản.

c) E={E = \{Brunei, Campuchia, Indonesia, Lào, Malaysia, Myanmar, Philippines, Singapore, Thái Lan, Timor-Leste, Việt Nam}\}.

Kết quả: EE có 11 phần tử (11 quốc gia thành viên ASEAN + Timor-Leste).

Bài 1.10. Hãy viết tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng cho các phần tử:

A={0;  4;  8;  12;  16}.A = \{0;\;4;\;8;\;12;\;16\}.

Lời giải:

Các phần tử của AA là các số tự nhiên là bội của 44, nhỏ hơn 2020:

A={x∈N∣x⋮4  vaˋ  x<20}.A = \{x \in \mathbb{N} \mid x \vdots 4 \;\text{và}\; x < 20\}.

Hoặc viết theo biến kk:

A={4k∣k∈N,  0≤k≤4}.A = \{4k \mid k \in \mathbb{N},\; 0 \leq k \leq 4\}.

Bài 1.11. Trong các tập hợp sau, tập nào là tập rỗng?

A={x∈R∣x2−6=0},B={x∈R∣x2+6=0}.A = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 6 = 0\},\quad B = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 + 6 = 0\}.

Lời giải:

Tập A: x2=6⇒x=±6x^2 = 6 \Rightarrow x = \pm\sqrt{6}.
A={−6;  6}≠∅A = \{-\sqrt{6};\;\sqrt{6}\} \neq \emptyset.

Tập B: x2=−6x^2 = -6. Vì x2≥0x^2 \geq 0 với mọi x∈Rx \in \mathbb{R}, phương trình vô nghiệm.
B=∅B = \emptyset.

Kết quả: Tập BB là tập rỗng.

Bài 1.12. Cho hai tập hợp:

A={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9},B={2; 4; 6; 8}.A = \{1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6;\,7;\,8;\,9\},\quad B = \{2;\,4;\,6;\,8\}.

a) Liệt kê các tập con của AA có đúng 22 phần tử không thuộc BB.
b) Xác định A∩BA \cap B, A∪BA \cup B, A∖BA \setminus B.

Lời giải:

b) (phần thường được hỏi):

A∩B={2; 4; 6; 8}=B.A \cap B = \{2;\,4;\,6;\,8\} = B.

A∪B={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}=A.A \cup B = \{1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6;\,7;\,8;\,9\} = A.

A∖B={1; 3; 5; 7; 9}(caˊc soˆˊ lẻ từ 1 đeˆˊn 9).A \setminus B = \{1;\,3;\,5;\,7;\,9\} \quad \text{(các số lẻ từ 1 đến 9).}

Nhận xét: B⊂AB \subset A, nên A∩B=BA \cap B = B và A∪B=AA \cup B = A.

Bài 1.13. Trong các tập hợp sau, sắp xếp theo quan hệ bao nhau (⊂):

N⊂Z⊂Q⊂R.\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}.

Cho các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

a) C⊂D\mathbb{C} \subset \mathbb{D};   b) C⊃D\mathbb{C} \supset \mathbb{D};   c) C=D\mathbb{C} = \mathbb{D}.

Lời giải:

Dựa vào chuỗi tập hợp số: N⊂Z⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}.

  • Mọi số tự nhiên là số nguyên: N⊂Z\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} ✓ đúng.
  • Mọi số nguyên là số hữu tỉ: Z⊂Q\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} ✓ đúng.
  • Mọi số hữu tỉ là số thực: Q⊂R\mathbb{Q} \subset \mathbb{R} ✓ đúng.

Bài 1.14. Liệt kê các phần tử của tập hợp sau và xác định tính đúng sai:

A={x∈Z∣−2≤x≤3},B={x∈Z∣1≤x≤5}.A = \{x \in \mathbb{Z} \mid -2 \leq x \leq 3\},\quad B = \{x \in \mathbb{Z} \mid 1 \leq x \leq 5\}.

Hãy xác định A∩BA \cap B, A∪BA \cup B, A∖BA \setminus B, B∖AB \setminus A.

Lời giải:

A={−2; −1; 0; 1; 2; 3},B={1; 2; 3; 4; 5}.A = \{-2;\,-1;\,0;\,1;\,2;\,3\}, \quad B = \{1;\,2;\,3;\,4;\,5\}.

A∩B={1; 2; 3}.A \cap B = \{1;\,2;\,3\}.

A∪B={−2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}.A \cup B = \{-2;\,-1;\,0;\,1;\,2;\,3;\,4;\,5\}.

A∖B={−2; −1; 0}.A \setminus B = \{-2;\,-1;\,0\}.

B∖A={4; 5}.B \setminus A = \{4;\,5\}.

Bài 1.15. Để phục vụ một hội nghị quốc tế, ban tổ chức mời 1616 người phiên dịch tiếng Anh và 3030 người phiên dịch tiếng Pháp. Biết rằng có 1010 người phiên dịch được cả hai thứ tiếng.

a) Biểu diễn tình huống trên bằng biểu đồ Ven.
b) Có bao nhiêu người phiên dịch tất cả?
c) Có bao nhiêu người chỉ phiên dịch tiếng Pháp?

Lời giải:

Đặt AA = tập phiên dịch tiếng Anh, BB = tập phiên dịch tiếng Pháp.

∣A∣=16,∣B∣=30,∣A∩B∣=10.|A| = 16,\quad |B| = 30,\quad |A \cap B| = 10.

b) Số phiên dịch tất cả (công thức cộng):

∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣=16+30−10=36 người.|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 16 + 30 - 10 = \mathbf{36} \text{ người.}

c) Số người chỉ phiên dịch tiếng Pháp (không biết tiếng Anh):

∣B∖A∣=∣B∣−∣A∩B∣=30−10=20 người.|B \setminus A| = |B| - |A \cap B| = 30 - 10 = \mathbf{20} \text{ người.}

Kết quả: Tổng 36 người phiên dịch; 20 người chỉ biết tiếng Pháp.