Giải Toán 10 Bài 4 Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn - Kết nối

Bài 4. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (SGK Toán 10 – Kết nối tri thức, Tập 1, trang 27–31)

A. Luyện tập trong bài

Luyện tập 1 (trang 27). Trong tình huống mở đầu: gọi $x$ là số đơn vị hoa lài và $y$ là số đơn vị hoa nhài.

Nhà máy sản xuất nước hoa có giới hạn nguyên liệu. Viết hệ bất phương trình mô tả ràng buộc và xác định miền nghiệm.

Giải:

Điều kiện: $x \geq 0$ , $y \geq 0$ (số lượng không âm).
Nguyên liệu loại I: $x + y \leq 100$ (tổng không quá 100 đơn vị).
Nguyên liệu loại II: $2x + y \leq 150$ (giới hạn 150 đơn vị).

Hệ bất phương trình:

$\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + y \leq 100 \\ 2x + y \leq 150. \end{cases}$

Luyện tập 2 (trang 28). Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình:

$\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + y \leq 100 \end{cases}$

trên mặt phẳng tọa độ.

Giải:

Vẽ lần lượt ba đường thẳng:

$x = 0$ (trục $Oy$ ),
$y = 0$ (trục $Ox$ ),
$x + y = 100$ qua $A(100;\,0)$ và $B(0;\,100)$ .

Miền nghiệm là phần giao của ba nửa mặt phẳng: $x \geq 0$ (bên phải trục $Oy$ ), $y \geq 0$ (phía trên trục $Ox$ ), $x + y \leq 100$ (bên dưới đường $AB$ ).

Kết quả: miền nghiệm là tam giác $OAB$ với $O(0;\,0)$ , $A(100;\,0)$ , $B(0;\,100)$ (kể cả biên).

Luyện tập 3 (trang 29). Tìm giá trị lớn nhất của $F(x;\,y) = 2x + 3y$ trên miền nghiệm của hệ:

$\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + y \leq 100 \\ 2x + y \leq 120. \end{cases}$

Giải:

Bước 1. Xác định các đỉnh của miền nghiệm (đa giác lồi):

$D_1 = O(0;\,0)$
$D_2 = (60;\,0)$ (giao $y=0$ và $2x+y=120$ )
$D_3 = (20;\,80)$ (giao $x+y=100$ và $2x+y=120$ : từ hai phương trình $\Rightarrow x=20$ , $y=80$ )
$D_4 = (0;\,100)$ (giao $x=0$ và $x+y=100$ )

Bước 2. Tính $F$ tại mỗi đỉnh:

Đỉnh	$F = 2x + 3y$
$O(0;\,0)$	$0$
$(60;\,0)$	$120$
$(20;\,80)$	$40 + 240 = 280$
$(0;\,100)$	$300$

Bước 3. $F$ đạt lớn nhất tại $D_4(0;\,100)$ :

$F_{\max} = 3 \times 100 = \mathbf{300}.$

B. Bài tập (trang 30–31)

Bài 2.4. Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

a) $\begin{cases} x < 0 \\ y < 0 \end{cases}$ ; b) $\begin{cases} x + y > 1 \\ 2x - 3y = 2 \end{cases}$ ; c) $\begin{cases} x^2 + y < 0 \\ x + y \geq 0 \\ -2x - y > -3 \end{cases}$ ; d) $\begin{cases} -2x - y^2 > -3 \\ x + y \geq 1 \end{cases}$

Lời giải:

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm các bất phương trình dạng $ax + by \lessgtr c$ (hệ số bậc 1, không có $x^2$ , $y^2$ , ...).

a) $\begin{cases} x < 0 \\ y < 0 \end{cases}$ : Cả hai đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn ( $1\cdot x + 0\cdot y < 0$ và $0\cdot x + 1\cdot y < 0$ ) → là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ✓.

b) $\begin{cases} x + y > 1 \\ 2x - 3y = 2 \end{cases}$ : Bất phương trình thứ nhất bậc nhất, nhưng $2x - 3y = 2$ là phương trình (không phải bất phương trình) → không phải hệ bất phương trình.

c) $\begin{cases} x^2 + y < 0 \\ \ldots \end{cases}$ : Bất phương trình đầu có $x^2$ → bậc 2 → không phải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

d) $\begin{cases} -2x - y^2 > -3 \\ x + y \geq 1 \end{cases}$ : Bất phương trình đầu có $y^2$ → không phải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Kết quả: Chỉ có a) là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bài 2.5. Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:

a) $\begin{cases} x - y < 1 \\ x + y > 0 \end{cases}$ ; b) $\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + y \leq 4 \end{cases}$

Lời giải:

a) Hệ $\begin{cases} x - y < 1 \\ x + y > 0 \end{cases}$ :

Đường $d_1$ : $x - y = 1$ qua $(1;\,0)$ và $(0;\,-1)$ . Lấy $O(0;\,0)$ : $0 - 0 = 0 < 1$ ✓ → miền chứa $O$ (phía trên/trái đường $d_1$ ).
Đường $d_2$ : $x + y = 0$ qua $(0;\,0)$ . Lấy $(1;\,0)$ : $1 > 0$ ✓ → miền chứa $(1;\,0)$ (phía trên đường $d_2$ ).
Miền nghiệm là phần giao của hai nửa mặt phẳng (không kể biên).

b) Hệ $\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + y \leq 4 \end{cases}$ :

$x \geq 0$ : bên phải trục $Oy$ .
$y \geq 0$ : phía trên trục $Ox$ .
$x + y \leq 4$ : phía dưới đường $x + y = 4$ qua $A(4;\,0)$ và $B(0;\,4)$ .

Miền nghiệm là tam giác $OAB$ với $O(0;\,0)$ , $A(4;\,0)$ , $B(0;\,4)$ (kể cả biên).

Bài 2.6. Một gia đình cần ít nhất $500$ đơn vị protein và $400$ đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kilogram thịt bò cung cấp $800$ đơn vị protein và $600$ đơn vị lipit. Mỗi kilogram thịt lợn cung cấp $600$ đơn vị protein và $200$ đơn vị lipit. Giá thịt bò là $250$ nghìn đồng/kg, thịt lợn là $150$ nghìn đồng/kg.

Gọi $x$ (kg) là lượng thịt bò và $y$ (kg) là lượng thịt lợn mua mỗi ngày.

a) Viết các điều kiện bất phương trình để đáp ứng đủ protein và lipit.
b) Biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ.
c) Tìm số kilogram mỗi loại thịt cần mua để chi phí nhỏ nhất mà vẫn đủ dinh dưỡng.

Lời giải:

a) Điều kiện dinh dưỡng:

$\begin{cases} 800x + 600y \geq 500 & \text{(protein)} \\ 600x + 200y \geq 400 & \text{(lipit)} \\ x \geq 0,\; y \geq 0. \end{cases}$

Rút gọn:

$\begin{cases} 4x + 3y \geq 2{,}5 \\ 3x + y \geq 2 \\ x \geq 0,\; y \geq 0. \end{cases}$

b) Vẽ hai đường thẳng $4x + 3y = 2{,}5$ và $3x + y = 2$ . Miền nghiệm là phần nằm phía trên (hoặc trên/phải) cả hai đường thẳng trong góc phần tư thứ nhất.

c) Hàm chi phí: $C = 250x + 150y$ (nghìn đồng).

Tìm điểm cực tiểu trên biên miền nghiệm. Giao hai đường $4x + 3y = 2{,}5$ và $3x + y = 2$ :

Từ $3x + y = 2 \Rightarrow y = 2 - 3x$ . Thay vào: $4x + 3(2-3x) = 2{,}5 \Rightarrow 4x + 6 - 9x = 2{,}5 \Rightarrow -5x = -3{,}5 \Rightarrow x = 0{,}7$ .

$y = 2 - 3 \times 0{,}7 = 2 - 2{,}1 = -0{,}1 < 0$ → điểm giao ngoài góc phần tư thứ nhất.

Xét biên $y = 0$ : $3x \geq 2 \Rightarrow x \geq \frac{2}{3}$ . Chi phí $C = 250x$ , nhỏ nhất khi $x = \frac{2}{3}$ kg, $y = 0$ .

Xét biên $x = 0$ : $3y \geq 2{,}5 \Rightarrow y \geq \frac{5}{6}$ . Chi phí $C = 150y$ , nhỏ nhất khi $y = \frac{5}{6}$ kg, $x = 0$ .

So sánh:

$x = \frac{2}{3}$ , $y = 0$ : $C = 250 \times \frac{2}{3} \approx 167$ nghìn đồng.
$x = 0$ , $y = \frac{5}{6}$ : $C = 150 \times \frac{5}{6} = 125$ nghìn đồng.

Kết quả: Mua $0$ kg thịt bò và $\dfrac{5}{6} \approx 0{,}83$ kg thịt lợn/ngày → chi phí nhỏ nhất $\approx \mathbf{125}$ nghìn đồng.