Bài 5. Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° (SGK Toán 10 – Kết nối tri thức, Tập 1, trang 34–38)

Bảng giá trị lượng giác các góc đặc biệt

GTLG 0°0° 30°30° 45°45° 60°60° 90°90° 120°120° 135°135° 150°150° 180°180°
sin⁡\sin 00 12\frac{1}{2} 22\frac{\sqrt{2}}{2} 32\frac{\sqrt{3}}{2} 11 32\frac{\sqrt{3}}{2} 22\frac{\sqrt{2}}{2} 12\frac{1}{2} 00
cos⁡\cos 11 32\frac{\sqrt{3}}{2} 22\frac{\sqrt{2}}{2} 12\frac{1}{2} 00 −12-\frac{1}{2} −22-\frac{\sqrt{2}}{2} −32-\frac{\sqrt{3}}{2} −1-1
tan⁡\tan 00 33\frac{\sqrt{3}}{3} 11 3\sqrt{3} — −3-\sqrt{3} −1-1 −33-\frac{\sqrt{3}}{3} 00
cot⁡\cot — 3\sqrt{3} 11 33\frac{\sqrt{3}}{3} 00 −33-\frac{\sqrt{3}}{3} −1-1 −3-\sqrt{3} —

Công thức góc bù (0°<α<180°0° < \alpha < 180°):

sin⁡(180°−α)=sin⁡α,cos⁡(180°−α)=−cos⁡α\sin(180°-\alpha) = \sin\alpha, \quad \cos(180°-\alpha) = -\cos\alpha tan⁡(180°−α)=−tan⁡α,cot⁡(180°−α)=−cot⁡α.\tan(180°-\alpha) = -\tan\alpha, \quad \cot(180°-\alpha) = -\cot\alpha.

A. Luyện tập trong bài

Luyện tập 1 (trang 35). Sử dụng máy tính tính sin⁡48°50′40′′\sin48°50'40'', cos⁡112°12′45′′\cos112°12'45''.

Giải:

sin⁡48°50′40′′≈0,7529(baˆˊm maˊy: 48°50′40′′≈48,844°⇒sin⁡≈0,7529)\sin48°50'40'' \approx 0{,}7529 \quad (\text{bấm máy: } 48°50'40'' \approx 48{,}844° \Rightarrow \sin \approx 0{,}7529)

cos⁡112°12′45′′≈−0,3780(112,2125°⇒cos⁡≈−0,3780)\cos112°12'45'' \approx -0{,}3780 \quad (112{,}2125° \Rightarrow \cos \approx -0{,}3780)

Luyện tập 2 (trang 36). Tính giá trị lượng giác của góc 135°135°.

Giải: Dùng công thức góc bù với α=45°\alpha = 45°:

sin⁡135°=sin⁡(180°−45°)=sin⁡45°=22.\sin135° = \sin(180°-45°) = \sin45° = \frac{\sqrt{2}}{2}.

cos⁡135°=cos⁡(180°−45°)=−cos⁡45°=−22.\cos135° = \cos(180°-45°) = -\cos45° = -\frac{\sqrt{2}}{2}.

tan⁡135°=tan⁡(180°−45°)=−tan⁡45°=−1.\tan135° = \tan(180°-45°) = -\tan45° = -1.

cot⁡135°=cot⁡(180°−45°)=−cot⁡45°=−1.\cot135° = \cot(180°-45°) = -\cot45° = -1.

Luyện tập 3 (trang 37). Với góc α\alpha thuộc (0°; 90°)(0°;\,90°), hãy tính sin⁡(180°−α)⋅cos⁡(180°−α)\sin(180°-\alpha) \cdot \cos(180°-\alpha).

Giải:

sin⁡(180°−α)⋅cos⁡(180°−α)=sin⁡α⋅(−cos⁡α)=−sin⁡αcos⁡α=−12sin⁡2α.\sin(180°-\alpha) \cdot \cos(180°-\alpha) = \sin\alpha \cdot (-\cos\alpha) = -\sin\alpha\cos\alpha = -\frac{1}{2}\sin2\alpha.

B. Bài tập (trang 37–38)

Bài 3.1. Dùng bảng số hoặc máy tính để tính các biểu thức sau:

a) (2sin⁡30°+cos⁡135°−3tan⁡150°)(cos⁡180°−cot⁡60°)(2\sin30° + \cos135° - 3\tan150°)(\cos180° - \cot60°)
b) sin⁡290°+cos⁡2120°+cos⁡20°−tan⁡260°+cot⁡2135°\sin^290° + \cos^2120° + \cos^20° - \tan^260° + \cot^2135°
c) cos⁡60°⋅sin⁡30°−cos⁡30°⋅sin⁡60°\cos60° \cdot \sin30° - \cos30° \cdot \sin60°
d) sin⁡2α+cos⁡2α\sin^2\alpha + \cos^2\alpha với α=120°\alpha = 120°

Lời giải:

a) Thay các giá trị đặc biệt:

sin⁡30°=12,  cos⁡135°=−22,  tan⁡150°=−33,  cos⁡180°=−1,  cot⁡60°=33.\sin30° = \frac{1}{2},\; \cos135° = -\frac{\sqrt{2}}{2},\; \tan150° = -\frac{\sqrt{3}}{3},\; \cos180° = -1,\; \cot60° = \frac{\sqrt{3}}{3}.

Nhân tử thứ nhất: 2⋅12+(−22)−3⋅(−33)=1−22+3.2 \cdot \frac{1}{2} + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - 3 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3}.

Nhân tử thứ hai: −1−33=−3+33.-1 - \frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{3+\sqrt{3}}{3}.

Kết quả (dùng máy tính): ≈(1−0,707+1,732)×(−1−0,577)=2,025×(−1,577)≈−3,19.\approx (1 - 0{,}707 + 1{,}732) \times (-1 - 0{,}577) = 2{,}025 \times (-1{,}577) \approx -3{,}19.

b) Thay từng giá trị:

sin⁡290°=12=1,cos⁡2120°=(−12)2=14,cos⁡20°=1,\sin^290° = 1^2 = 1, \quad \cos^2120° = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}, \quad \cos^20° = 1,

tan⁡260°=(3)2=3,cot⁡2135°=(−1)2=1.\tan^260° = (\sqrt{3})^2 = 3, \quad \cot^2135° = (-1)^2 = 1.

1+14+1−3+1=14.1 + \frac{1}{4} + 1 - 3 + 1 = \boxed{\frac{1}{4}}.

c)

cos⁡60°⋅sin⁡30°−cos⁡30°⋅sin⁡60°=12⋅12−32⋅32=14−34=−12.\cos60° \cdot \sin30° - \cos30° \cdot \sin60° = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} = \boxed{-\frac{1}{2}}.

(Đây cũng là sin⁡(30°−60°)=sin⁡(−30°)=−12\sin(30°-60°) = \sin(-30°) = -\frac{1}{2}.)

d) Theo đẳng thức lượng giác cơ bản:

sin⁡2α+cos⁡2α=1 với mọi α.\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \text{ với mọi } \alpha.

Thay α=120°\alpha = 120°: (32)2+(−12)2=34+14=1.\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = \boxed{1}. ✓

Bài 3.2. Tính giá trị các biểu thức sau bằng cách dùng công thức góc bù:

a) sin⁡100°+cos⁡100°\sin100° + \cos100°
b) 3sin⁡(180°−α)+2cos⁡(180°−α)3\sin(180°-\alpha) + 2\cos(180°-\alpha) với 0°≤α≤90°0° \leq \alpha \leq 90°

Lời giải:

a) sin⁡100°=sin⁡(180°−80°)=sin⁡80°\sin100° = \sin(180°-80°) = \sin80°; cos⁡100°=cos⁡(180°−80°)=−cos⁡80°\cos100° = \cos(180°-80°) = -\cos80°.

sin⁡100°+cos⁡100°=sin⁡80°−cos⁡80°.\sin100° + \cos100° = \sin80° - \cos80°.

Tính bằng máy: sin⁡80°≈0,985\sin80° \approx 0{,}985, cos⁡80°≈0,174\cos80° \approx 0{,}174.

sin⁡100°+cos⁡100°≈0,985−0,174=0,811.\sin100° + \cos100° \approx 0{,}985 - 0{,}174 = \mathbf{0{,}811}.

b) Áp dụng công thức góc bù:

3sin⁡(180°−α)+2cos⁡(180°−α)=3sin⁡α+2(−cos⁡α)=3sin⁡α−2cos⁡α.3\sin(180°-\alpha) + 2\cos(180°-\alpha) = 3\sin\alpha + 2(-\cos\alpha) = \boxed{3\sin\alpha - 2\cos\alpha}.

Bài 3.3. Chứng minh các hệ thức sau:

a) 1+cot⁡2α=1sin⁡2α1 + \cot^2\alpha = \dfrac{1}{\sin^2\alpha} (α≠0°,180°\alpha \neq 0°, 180°)
b) tan⁡α+cot⁡α=1sin⁡αcos⁡α\tan\alpha + \cot\alpha = \dfrac{1}{\sin\alpha\cos\alpha} (α≠0°,90°,180°\alpha \neq 0°, 90°, 180°)

Lời giải:

a) Xuất phát từ sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1, chia cả hai vế cho sin⁡2α\sin^2\alpha:

1+cos⁡2αsin⁡2α=1sin⁡2α  ⇔  1+cot⁡2α=1sin⁡2α.□1 + \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{1}{\sin^2\alpha} \;\Leftrightarrow\; 1 + \cot^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}. \quad \square

b) Biến đổi vế trái:

tan⁡α+cot⁡α=sin⁡αcos⁡α+cos⁡αsin⁡α=sin⁡2α+cos⁡2αsin⁡αcos⁡α=1sin⁡αcos⁡α.□\tan\alpha + \cot\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}. \quad \square

Bài 3.4. Biết sin⁡α=13\sin\alpha = \dfrac{1}{3} với 90°<α<180°90° < \alpha < 180°. Tính cos⁡α\cos\alpha, tan⁡α\tan\alpha, cot⁡α\cot\alpha.

Lời giải:

Từ sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1:

cos⁡2α=1−sin⁡2α=1−19=89.\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}.

Vì 90°<α<180°90° < \alpha < 180° nên cos⁡α<0\cos\alpha < 0:

cos⁡α=−223.\cos\alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3}.

tan⁡α=sin⁡αcos⁡α=13−223=−122=−24.\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt{2}}{3}} = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}.

cot⁡α=1tan⁡α=−42=−22.\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = -\frac{4}{\sqrt{2}} = -2\sqrt{2}.

Kết quả: cos⁡α=−223\cos\alpha = -\dfrac{2\sqrt{2}}{3}, tan⁡α=−24\tan\alpha = -\dfrac{\sqrt{2}}{4}, cot⁡α=−22\cot\alpha = -2\sqrt{2}.