Giải Toán 10 Bài 7 Các khái niệm vectơ - Kết nối tri thức

Bài 7. Các khái niệm mở đầu về vectơ (SGK Toán 10 – Kết nối tri thức, Tập 1, trang 46–51)

Tóm tắt lý thuyết

Vectơ $\overrightarrow{AB}$ : đoạn thẳng có hướng từ $A$ (điểm đầu) đến $B$ (điểm cuối).
Vectơ không $\vec{0}$ : điểm đầu trùng điểm cuối, $|\vec{0}| = 0$ .
Cùng phương: hai vectơ cùng hoặc ngược chiều trên một đường thẳng (hoặc hai đường thẳng song song).
Cùng hướng / Ngược hướng: hai vectơ cùng phương và hướng giống / ngược nhau.
Mô-đun (độ lớn) của $\overrightarrow{AB}$ : $|\overrightarrow{AB}| = AB$ (độ dài đoạn $AB$ ).
Hai vectơ bằng nhau: cùng hướng và cùng độ lớn.

A. Luyện tập trong bài

Luyện tập 1 (trang 48). Cho hình bình hành $ABCD$ . Hãy tìm: a) Các vectơ cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$ .
b) Các vectơ ngược hướng với $\overrightarrow{AB}$ .

Giải:

a) Trong hình bình hành $ABCD$ : $\overrightarrow{DC}$ cùng phương và cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$ (vì $AB \parallel DC$ và cùng chiều).

$\overrightarrow{DC} \text{ cùng hướng với } \overrightarrow{AB}.$

b) $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{CD}$ ngược hướng với $\overrightarrow{AB}$ (ngược chiều).

Luyện tập 2 (trang 49). Trong hình bình hành $ABCD$ với tâm $O$ :

a) Hãy chỉ ra các cặp vectơ bằng nhau.
b) Tính $|\overrightarrow{AB}|$ , $|\overrightarrow{AC}|$ , $|\overrightarrow{BD}|$ nếu cạnh bằng $a$ .

Giải:

a) Trong hình bình hành: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ , $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ , $\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{OC}$ , $\overrightarrow{BO} = \overrightarrow{OD}$ .

b) Với cạnh $a$ : $|\overrightarrow{AB}| = a$ ; $|\overrightarrow{AD}| = a$ .

Đường chéo: tùy thuộc hình bình hành cụ thể; nếu là hình vuông cạnh $a$ : $|\overrightarrow{AC}| = a\sqrt{2}$ .

Luyện tập 3 (trang 50). Cho vật chịu lực $\vec{v}$ theo phương $30°$ so với mặt đất, $|\vec{v}| = 3$ N. Tìm các đại lượng mô tả $\vec{v}$ .

Giải:

Vectơ $\vec{v}$ có:

Điểm đặt: vị trí tác dụng lực.
Phương: đường thẳng hợp góc $30°$ với phương ngang.
Chiều: theo hướng đẩy/kéo (chiều mũi tên).
Độ lớn: $|\vec{v}| = 3$ N.

B. Bài tập (trang 51)

Bài 4.1. Cho ba vectơ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ đều khác $\vec{0}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

a) $\vec{a}$ , $\vec{b}$ đều cùng hướng với $\vec{c}$ thì $\vec{a}$ , $\vec{b}$ cùng hướng với nhau.
b) Nếu $\vec{b}$ không cùng hướng với $\vec{a}$ thì $\vec{b}$ ngược hướng với $\vec{a}$ .
c) Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều cùng phương với $\vec{c}$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương với nhau.
d) $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương với $\vec{c}$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng với nhau.

Lời giải:

a) Đúng. Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều cùng hướng với $\vec{c}$ , thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng (tính chất bắc cầu của "cùng hướng").

b) Sai. Hai vectơ không cùng hướng không nhất thiết ngược hướng (chúng có thể không cùng phương).

c) Đúng. Nếu $\vec{a} \parallel \vec{c}$ và $\vec{b} \parallel \vec{c}$ , thì $\vec{a} \parallel \vec{b}$ (tính chất song song bắc cầu).

d) Sai. Cùng phương với $\vec{c}$ nghĩa là song song (có thể cùng hoặc ngược chiều). Ví dụ: $\vec{a}$ cùng hướng $\vec{c}$ , $\vec{b}$ ngược hướng $\vec{c}$ → $\vec{a}$ cùng phương với $\vec{c}$ , $\vec{b}$ cùng phương với $\vec{c}$ , nhưng $\vec{a}$ ngược hướng $\vec{b}$ .

Kết quả: Đáp án đúng là a) và c).

Bài 4.2. Cho hình vuông $ABCD$ tâm $G$ , cạnh $a$ .

a) Hãy kể tên tất cả các vectơ có điểm đầu là $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $G$ mà bằng $\overrightarrow{AB}$ .
b) Vectơ nào ngược hướng với $\overrightarrow{AB}$ ?
c) Tính $|\overrightarrow{AB}|$ , $|\overrightarrow{AC}|$ , $|\overrightarrow{AG}|$ .

Lời giải:

a) Trong hình vuông $ABCD$ : $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$ (cùng hướng, cùng độ dài $a$ ). Cũng có thể kể $\overrightarrow{GG''}$ nếu có điểm phụ.

$\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}.$

b) Ngược hướng với $\overrightarrow{AB}$ : $\overrightarrow{BA}$ , $\overrightarrow{CD}$ .

c) Cạnh hình vuông $a$ :

$|\overrightarrow{AB}| = a.$

Đường chéo: $|\overrightarrow{AC}| = a\sqrt{2}$ .

Trung điểm: $G$ là tâm, $AG = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ (nửa đường chéo):

$|\overrightarrow{AG}| = \frac{a\sqrt{2}}{2}.$

Bài 4.3. Cho tam giác $ABC$ . Gọi $M$ là trung điểm $BC$ . Trong số các vectơ $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{BA}$ , $\overrightarrow{BC}$ , $\overrightarrow{CB}$ , $\overrightarrow{AM}$ , $\overrightarrow{MA}$ , hãy chỉ ra các cặp:

a) Cùng hướng.
b) Ngược hướng.

Lời giải:

a) $\overrightarrow{BM}$ cùng hướng với $\overrightarrow{BC}$ (vì $M$ nằm giữa $B$ và $C$ ).
$\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AM}$ không nhất thiết cùng hướng (phụ thuộc vị trí $M$ ).

Trong số các vectơ đã cho: $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BM}$ (không có trong danh sách), không có cặp nào cùng hướng chắc chắn trừ khi tam giác suy biến.

b) $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BA}$ ngược hướng nhau. $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{CB}$ ngược hướng nhau. $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{MA}$ ngược hướng nhau.

Bài 4.4. Cho hình vuông $ABCD$ có tâm $O$ cạnh $a$ .

a) Chỉ ra một điểm $M$ trên mặt phẳng (không trùng $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $O$ ) để $\overrightarrow{OM}$ cùng phương với $\overrightarrow{AB}$ .
b) Hỏi mô-đun của $\overrightarrow{OA}$ , $\overrightarrow{OB}$ , $\overrightarrow{AC}$ , $\overrightarrow{BD}$ .

Lời giải:

a) Bất kỳ điểm $M$ nào trên đường thẳng $AB$ (hoặc đường song song với $AB$ qua $O$ ) đều có $\overrightarrow{OM}$ cùng phương với $\overrightarrow{AB}$ . Ví dụ: trung điểm $M$ của $OA$ .

b) Hình vuông cạnh $a$ , tâm $O$ :

$|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OC}| = |\overrightarrow{OD}| = \frac{a\sqrt{2}}{2}.$

$|\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{BD}| = a\sqrt{2}.$

Bài 4.5. Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , vẽ vectơ $\overrightarrow{OA}$ với $A(1;\,2)$ và $\overrightarrow{MN}$ với $M(0;\,-1)$ , $N(3;\,5)$ .

a) Tính $|\overrightarrow{OA}|$ và $|\overrightarrow{MN}|$ .
b) Hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{MN}$ có bằng nhau không?

Lời giải:

$|\overrightarrow{OA}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}.$

$|\overrightarrow{MN}| = \sqrt{(3-0)^2 + (5-(-1))^2} = \sqrt{9+36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}.$

b) $|\overrightarrow{OA}| = \sqrt{5} \neq 3\sqrt{5} = |\overrightarrow{MN}|$ → hai vectơ không bằng nhau (khác độ lớn).