Bài 8. Tổng và hiệu hai vectơ (SGK Toán 10 – Kết nối tri thức, Tập 1, trang 52–55)

Tóm tắt lý thuyết

Tổng hai vectơ (quy tắc ba điểm):

AB→+BC→=AC→.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}.

Quy tắc hình bình hành: a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} là đường chéo của hình bình hành tạo bởi a⃗\vec{a} và b⃗\vec{b} (cùng điểm đầu).

Tính chất: giao hoán a⃗+b⃗=b⃗+a⃗\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}; kết hợp; a⃗+0⃗=a⃗\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}.

Hiệu hai vectơ: a⃗−b⃗=a⃗+(−b⃗)\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b}).

AB→−AC→=CB→,AC→−BC→=AB→.\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}, \quad \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}.

Vectơ trung điểm MM của ABAB:

OM→=OA→+OB→2(với mọi điểm O).\overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{2} \quad \text{(với mọi điểm } O\text{).}

A. Luyện tập trong bài

Luyện tập 1 (trang 52). Chứng minh rằng với bốn điểm bất kỳ AA, BB, CC, DD:

AB→+CD→=AD→+CB→.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB}.

Giải:

Biến đổi vế trái bằng cách thêm/bớt điểm trung gian DD:

AB→+CD→=(AD→+DB→)+(CB→+BD→).\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB}) + (\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BD}).

=AD→+(DB→+BD→)+CB→=AD→+0⃗+CB→=AD→+CB→.□= \overrightarrow{AD} + (\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BD}) + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AD} + \vec{0} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB}. \quad \square

Luyện tập 2 (trang 53). Cho hình vuông ABCDABCD cạnh aa. Tính ∣AB→+AD→∣|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}|.

Giải:

AB→+AD→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} (quy tắc hình bình hành trong hình vuông).

∣AC→∣=a2.|\overrightarrow{AC}| = a\sqrt{2}.

Luyện tập 3 (trang 53). Cho CB→−CA→=?\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA} = ?

Giải:

CB→−CA→=CB→+AC→=AC→+CB→=AB→.\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB}.

Luyện tập 4 (trang 54). Cho hình bình hành ABCDABCD. Tìm điểm GG thỏa mãn GA→+GB→+GC→+GD→=0⃗\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \vec{0}.

Giải:

Gọi OO là giao điểm hai đường chéo ABCDABCD (tâm hình bình hành).

OA→+OC→=0⃗(vıˋ O laˋ trung điểm AC),OB→+OD→=0⃗.\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \vec{0} \quad (\text{vì } O \text{ là trung điểm } AC), \quad \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = \vec{0}.

⇒OA→+OB→+OC→+OD→=0⃗.\Rightarrow \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \vec{0}.

Vậy G=OG = O (tâm hình bình hành) thỏa mãn yêu cầu.

B. Bài tập (trang 54–55)

Bài 4.6. Cho bốn điểm AA, BB, CC, DD. Chứng minh rằng:

a) AB→+BC→+CD→=AD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}
b) CD→+AB→−AD→=CB→\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CB}

Hãy tìm điểm MM để CM→=AB→+AD→\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}.

Lời giải:

a) Áp dụng quy tắc ba điểm liên tiếp:

AB→+BC→=AC→,AC→+CD→=AD→.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}, \quad \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}.

⇒AB→+BC→+CD→=AD→.□\Rightarrow \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}. \quad \square

b) Biến đổi:

CD→+AB→−AD→=CD→+AB→+DA→\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DA}

=CD→+(AB→+DA→)=CD→+DB→=CB→.□= \overrightarrow{CD} + (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DA}) = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{CB}. \quad \square

Tìm MM: CM→=AB→+AD→\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}.

Trong hình bình hành ABCDABCD: AB→+AD→=AC′→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC'} nếu C′C' là đỉnh đối diện. Nhưng xét trong tam giác tổng quát, nếu ta đặt vectơ AB→+AD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}, điểm MM là điểm sao cho CM→\overrightarrow{CM} bằng tổng trên. Ta dựng hình bình hành ABMDABMD: M=B+D−CM = B + D - C (xét tọa độ).

Kết quả: MM là điểm thứ tư của hình bình hành với ba đỉnh AA, BB, DD sao cho CM→=AB→+AD→\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}.

Bài 4.7. Cho hình bình hành ABCDABCD với cạnh AB=aAB = a, AD=bAD = b và ∠BAD=60°\angle BAD = 60°.

Tính ∣AB→+AD→∣|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}| và ∣AB→−AD→∣|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}|.

Lời giải:

Tổng AB→+AD→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} (đường chéo ACAC):

Theo định lý cosin trong tam giác ABDABD (∠A=60°\angle A = 60°):

∣AC∣2=a2+b2+2abcos⁡60°=a2+b2+ab.|AC|^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos60° = a^2 + b^2 + ab.

∣AB→+AD→∣=a2+b2+ab.|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}| = \sqrt{a^2 + b^2 + ab}.

Hiệu AB→−AD→=DB→\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB} (đường chéo DBDB):

Góc ∠ADB\angle ADB, trong tam giác ABDABD: ∠ABD=180°−60°=120°\angle ABD = 180° - 60° = 120° (góc kề bù).

∣DB∣2=a2+b2−2abcos⁡60°=a2+b2−ab.|DB|^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos60° = a^2 + b^2 - ab.

∣AB→−AD→∣=a2+b2−ab.|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}| = \sqrt{a^2 + b^2 - ab}.

(Khi a=ba = b: ∣AC∣=a3|AC| = a\sqrt{3}, ∣BD∣=a|BD| = a.)

Bài 4.8. Hình 4.19 cho AB→\overrightarrow{AB} cùng cạnh bằng aa và ∣AB→∣|\overrightarrow{AB}|. Góc AA bằng 120°120°.

Tính ∣AC→+AB→∣|\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB}|.

Giải:

Cho AB=AC=aAB = AC = a và ∠BAC=120°\angle BAC = 120°. Đặt AB→+AC→=AD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} (quy tắc hình bình hành):

∣AD∣2=∣AB∣2+∣AC∣2+2∣AB∣∣AC∣cos⁡120°=a2+a2+2a2(−12)=2a2−a2=a2.|AD|^2 = |AB|^2 + |AC|^2 + 2|AB||AC|\cos120° = a^2 + a^2 + 2a^2\left(-\frac{1}{2}\right) = 2a^2 - a^2 = a^2.

∣AB→+AC→∣=a.|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = a.

Bài 4.9. Hai lực F1⃗\vec{F_1} và F2⃗\vec{F_2} cùng tác động lên một vật, ∣F1⃗∣=3|\vec{F_1}| = 3 N, ∣F2⃗∣=2|\vec{F_2}| = 2 N, góc giữa hai lực là 120°120°. Tính độ lớn hợp lực F⃗=F1⃗+F2⃗\vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2}.

Lời giải:

Áp dụng quy tắc hình bình hành:

∣F⃗∣2=∣F1⃗∣2+∣F2⃗∣2+2∣F1⃗∣∣F2⃗∣cos⁡120°.|\vec{F}|^2 = |\vec{F_1}|^2 + |\vec{F_2}|^2 + 2|\vec{F_1}||\vec{F_2}|\cos120°.

=9+4+2×3×2×(−12)=13−6=7.= 9 + 4 + 2 \times 3 \times 2 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = 13 - 6 = 7.

∣F⃗∣=7≈2,65 N.|\vec{F}| = \sqrt{7} \approx \mathbf{2{,}65 \text{ N}}.

Kết quả: Hợp lực có độ lớn 7≈2,65\sqrt{7} \approx 2{,}65 N.

Bài 4.10. Hai con tàu luôn được giữ khoảng cách và hướng đi song song nhau. Tàu AA di chuyển với vận tốc vA⃗\vec{v_A} theo hướng Đông, ∣vA⃗∣=30|\vec{v_A}| = 30 km/h. Dòng nước chảy về hướng Nam với vận tốc ∣vn⃗∣=10|\vec{v_n}| = 10 km/h. Tính vận tốc tổng hợp của tàu AA và hướng đi thực tế.

Lời giải:

Vận tốc thực = vận tốc tàu + vận tốc dòng nước:

v⃗=vA⃗+vn⃗.\vec{v} = \vec{v_A} + \vec{v_n}.

vA⃗\vec{v_A} hướng Đông, vn⃗\vec{v_n} hướng Nam → hai vectơ vuông góc nhau.

∣v⃗∣=302+102=900+100=1000=1010≈31,6 km/h.|\vec{v}| = \sqrt{30^2 + 10^2} = \sqrt{900+100} = \sqrt{1000} = 10\sqrt{10} \approx \mathbf{31{,}6 \text{ km/h}}.

Góc lệch về phía Nam so với hướng Đông:

tan⁡θ=∣vn⃗∣∣vA⃗∣=1030=13  ⇒  θ=arctan⁡13≈18,4°.\tan\theta = \frac{|\vec{v_n}|}{|\vec{v_A}|} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3} \;\Rightarrow\; \theta = \arctan\frac{1}{3} \approx 18{,}4°.

Kết quả: Tàu AA đi với tốc độ ≈31,6\approx 31{,}6 km/h, lệch ≈18,4°\approx 18{,}4° về phía Nam Đông.