Trang 11 — Mệnh đề chứa kí hiệu ∀\forall, ∃\exists

Luyện tập 5. Phát biểu bằng lời mệnh đề sau và cho biết mệnh đề đó đúng hay sai.

∀x∈R,x2+1≤0\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 \le 0.

Lời giải:

Mệnh đề trên phát biểu bằng lời là: "Với mọi số thực xx, x2+1≤0x^2 + 1 \le 0".

Ta có: ∀x∈R,x2≥0\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \ge 0 nên x2+1>0x^2 + 1 > 0.

Do đó mệnh đề trên là sai.

Kết quả: Sai

Luyện tập 6.

Trong tiết học môn Toán, Nam phát biểu: "Mọi số thực đều có bình phương khác 1". Mai phát biểu: "Có một số thực mà bình phương của nó bằng 1".

a) Hãy cho biết bạn nào phát biểu đúng.

b) Dùng kí hiệu ∀\forall, ∃\exists để viết lại các phát biểu của Nam và Mai dưới dạng mệnh đề.

Lời giải:

a) Ta có: ∃x∈R,x2=1\exists x \in \mathbb{R}, x^2 = 1 (chẳng hạn x=1x = 1 hoặc x=−1x = -1).

Do đó phát biểu của bạn Mai là đúng, phát biểu của bạn Nam là sai.

b) Phát biểu của Nam: "∀x∈R,x2≠1\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \ne 1".

Phát biểu của Mai: "∃x∈R,x2=1\exists x \in \mathbb{R}, x^2 = 1".

Kết quả: a) Mai đúng, Nam sai. b) ∀x∈R,x2≠1\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \ne 1 và ∃x∈R,x2=1\exists x \in \mathbb{R}, x^2 = 1.

Trang 12 — Mệnh đề

Bài 1.1. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?

a) Trung Quốc là nước đông dân nhất thế giới;

b) Bạn học trường nào?

c) Không được làm việc riêng trong giờ học;

d) Tôi sẽ sút bóng trúng xà ngang.

Lời giải:

  • Mệnh đề là một câu khẳng định hoặc phủ định có thể xác định được tính đúng hoặc sai.

  • Câu a) "Trung Quốc là nước đông dân nhất thế giới" là một khẳng định, có thể xác định đúng hoặc sai.

  • Câu b) "Bạn học trường nào?" là câu hỏi, không phải là mệnh đề.

  • Câu c) "Không được làm việc riêng trong giờ học" là một yêu cầu, không phải là mệnh đề.

  • Câu d) "Tôi sẽ sút bóng trúng xà ngang" là một khẳng định, nhưng tính đúng sai phụ thuộc vào hành động của người nói.

Kết quả:

  • Mệnh đề: a) và d).

Bài 1.2. Xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau:

a) π<103\pi < \frac{10}{3};

b) Phương trình 3x+7=03x + 7 = 0 có nghiệm;

c) Có ít nhất một số cộng với chính nó bằng 0;

d) 20222022 là hợp số.

Lời giải:

a) Ta có π≈3.14159\pi \approx 3.14159 và 103≈3.3333\frac{10}{3} \approx 3.3333. Do đó π<103\pi < \frac{10}{3} là đúng.

b) Phương trình 3x+7=03x + 7 = 0 có nghiệm x=−73x = -\frac{7}{3}. Do đó mệnh đề này đúng.

c) Số 0 cộng với chính nó bằng 0. Do đó mệnh đề này đúng.

d) 20222022 là hợp số vì 2022=2×10112022 = 2 \times 1011. Do đó mệnh đề này đúng.

Kết quả:

  • Đúng: a), b), c), d).

Bài 1.3. Cho hai câu sau:

PP: "Tam giác ABCABC là tam giác vuông";

QQ: "Tam giác ABCABC có một góc bằng tổng hai góc còn lại".

Hãy phát biểu mệnh đề tương đương P⇔QP \Leftrightarrow Q và xác định tính đúng sai của mệnh đề này.

Lời giải:

Mệnh đề tương đương P⇔QP \Leftrightarrow Q phát biểu là: "Tam giác ABCABC là tam giác vuông khi và chỉ khi tam giác ABCABC có một góc bằng tổng hai góc còn lại".

  • Một tam giác là tam giác vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng 90∘90^\circ.

  • Một tam giác có một góc bằng tổng hai góc còn lại cũng có thể được biểu diễn dưới dạng:

    $$ A = B + C $$ Sử dụng tính chất tổng các góc trong tam giác: $$ A + B + C = 180^\circ $$ Thay A=B+CA = B + C: $$ 2A = 180^\circ \Rightarrow A = 90^\circ $$ Điều này chứng tỏ PP và QQ tương đương.

Kết quả:

  • Mệnh đề P⇔QP \Leftrightarrow Q đúng.

Bài 1.4. Phát biểu mệnh đề đảo của mỗi mệnh đề sau và xác định tính đúng sai của chúng.

PP: "Nếu số tự nhiên nn có chữ số tận cùng là 55 thì nn chia hết cho 55";

QQ: "Nếu tứ giác ABCDABCD là hình chữ nhật thì tứ giác ABCDABCD có hai đường chéo bằng nhau".

Lời giải:

  • Mệnh đề đảo của PP là: "Nếu số tự nhiên nn chia hết cho 55 thì nn có chữ số tận cùng là 55". Mệnh đề này sai vì nn có thể tận cùng là 00.

  • Mệnh đề đảo của QQ là: "Nếu tứ giác ABCDABCD có hai đường chéo bằng nhau thì tứ giác ABCDABCD là hình chữ nhật". Mệnh đề này sai vì tứ giác có hai đường chéo bằng nhau có thể là hình thang cân.

Kết quả:

  • Mệnh đề đảo của PP và QQ đều sai.

Bài 1.5. Với hai số thực aa và bb, xét các mệnh đề PP: "a2<b2a^2 < b^2" và QQ: "0<a<b0 < a < b".

a) Hãy phát biểu mệnh đề P⇒QP \Rightarrow Q.

b) Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề ở câu a.

c) Xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề ở câu a và câu b.

Lời giải:

a) Mệnh đề P⇒QP \Rightarrow Q phát biểu là: "Nếu a2<b2a^2 < b^2 thì 0<a<b0 < a < b".

b) Mệnh đề đảo là: "Nếu 0<a<b0 < a < b thì a2<b2a^2 < b^2".

c)

  • Mệnh đề P⇒QP \Rightarrow Q không đúng với a=−2,b=1a = -2, b = 1 vì (−2)2<12(-2)^2 < 1^2 nhưng −2<0-2 < 0.

  • Mệnh đề đảo Q⇒PQ \Rightarrow P đúng vì nếu 0<a<b0 < a < b, thì a2<b2a^2 < b^2.

Kết quả:

  • Mệnh đề P⇒QP \Rightarrow Q sai, Q⇒PQ \Rightarrow P đúng.

Bài 1.6. Xác định tính đúng sai của mệnh đề sau và tìm mệnh đề phủ định của nó.

QQ: "∃n∈N,n\exists n \in \mathbb{N}, n chia hết cho n+1n + 1".

Lời giải:

  • Mệnh đề QQ sai vì không tồn tại số tự nhiên nn nào chia hết cho n+1n + 1 (vì nn+1<1\frac{n}{n+1} < 1 với mọi nn).

  • Mệnh đề phủ định: "∀n∈N,n\forall n \in \mathbb{N}, n không chia hết cho n+1n + 1".

Kết quả:

  • Mệnh đề QQ sai.

Bài 1.7. Dùng kí hiệu ∀,∃\forall, \exists để viết các mệnh đề sau:

PP: "Mọi số tự nhiên đều có bình phương lớn hơn hoặc bằng chính nó";

QQ: "Có một số thực cộng với chính nó bằng 00".

Lời giải:

  • Mệnh đề PP: ∀n∈N,n2≥n\forall n \in \mathbb{N}, n^2 \geq n.

  • Mệnh đề QQ: ∃x∈R,x+x=0\exists x \in \mathbb{R}, x + x = 0.

Kết quả:

  • Mệnh đề PP đúng, QQ đúng với x=0x = 0.

Trang 13 — Tập hợp và các phép toán trên tập hợp

Bài 1. Trong tình huống trên, gọi AA là tập hợp những thành viên tham gia Chuyên đề 11, BB là tập hợp những thành viên tham gia Chuyên đề 22.
a) Nam có là một phần tử của tập hợp AA không? Ngân có là một phần tử của tập hợp BB không?
b) Hãy mô tả các tập hợp AA và BB bằng cách liệt kê các phần tử.

Lời giải:

a)

  • Nam là một thành viên tham gia Chuyên đề 11, do đó Nam là một phần tử của tập hợp AA.
  • Ngân là một thành viên nhưng không tham gia Chuyên đề 22, do đó Ngân không là một phần tử của tập hợp BB.

b)

  • Tập hợp AA có các phần tử: Nam, Tú, Khánh, Hương, Bình, Chi, Ngân.

  • Tập hợp BB có các phần tử: Hương, Chi, Tú, Khánh, Hiền, Bình, Lam, Hàn.

Kết quả:

  • a) Nam là một phần tử của tập hợp AA, Ngân không là một phần tử của tập hợp BB.
  • b) A=A = {Nam, Tú, Khánh, Hương, Bình, Chi, Ngân}, B=B = {Hương, Chi, Tú, Khánh, Hiền, Bình, Lam, Hàn}.

Trang 14 — Tập hợp

Bài tập / Câu hỏi / Luyện tập cần giải

Trang này có các bài tập, câu hỏi và luyện tập cần giải.

Bài HĐ2.

Cho tập hợp: C={C = \{Châu Á; Châu Âu; Châu Đại Dương; Châu Mỹ; Châu Nam Cực; Châu Phi}\}

a) Hãy chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp CC.

b) Tập hợp CC có bao nhiêu phần tử?

Lời giải:

a) Tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp CC là các châu lục trên thế giới.

b) Tập hợp CC có 66 phần tử.

Kết quả: 6

Bài Ví dụ 1.

Cho D={n∈N∣nD = \{ n \in \mathbb{N} | n là số nguyên tố, 5<n<20}5 < n < 20 \}.

a) Dùng kí hiệu ∈,∉\in, \notin để viết câu trả lời cho câu hỏi sau: Trong các số 5;12;17;185; 12; 17; 18, số nào thuộc tập DD, số nào không thuộc tập DD?

b) Viết tập hợp DD bằng cách liệt kê các phần tử. Tập hợp DD có bao nhiêu phần tử?

Lời giải:

a)

  • 5∉D5 \notin D vì 55 không phải là số nguyên tố và 5<55 < 5 (không thỏa mãn điều kiện 5<n5 < n).
  • 12∉D12 \notin D vì 1212 không phải là số nguyên tố.
  • 17∈D17 \in D vì 1717 là số nguyên tố và 5<17<205 < 17 < 20.
  • 18∉D18 \notin D vì 1818 không phải là số nguyên tố.

b) D={7;11;13;17;19}D = \{7; 11; 13; 17; 19\} Tập hợp DD có 55 phần tử.

Kết quả: 55

Luyện tập 1.

Gọi XX là tập nghiệm của phương trình x2−24x+143=0x^2 - 24x + 143 = 0.

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) 13∈X13 \in X;

b) 11∈X11 \in X;

c) n(X)=2n(X) = 2.

Lời giải:

Giải phương trình x2−24x+143=0x^2 - 24x + 143 = 0:

x=−(−24)±(−24)2−4⋅1⋅1432⋅1x = \frac{-(-24) \pm \sqrt{(-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 143}}{2 \cdot 1}

x=24±576−5722x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 572}}{2}

x=24±42x = \frac{24 \pm \sqrt{4}}{2}

x=24±22x = \frac{24 \pm 2}{2}

x1=11;x2=13x_1 = 11; x_2 = 13

a) 13∈X13 \in X: Đúng

b) 11∈X11 \in X: Đúng

c) n(X)=2n(X) = 2: Đúng

Bài HĐ3.

Gọi HH là tập hợp các bạn tham gia Chuyên đề 22 trong tình huống mở đầu có tên bắt đầu bằng chữ HH. Các phần tử của tập hợp HH có là phần tử của tập hợp BB trong HĐ1 không?

Không có thông tin cụ thể về tập hợp BB trong HĐ1, do đó không thể xác định chính xác mối quan hệ giữa HH và BB.

Tuy nhiên, dựa trên thông tin có sẵn, nếu tập BB bao gồm các bạn có tên bắt đầu bằng chữ BB, thì:

  • Tập HH có các phần tử là các bạn có tên bắt đầu bằng chữ HH.
  • Tập BB có các phần tử là các bạn có tên bắt đầu bằng chữ BB.

Do đó, các phần tử của HH không là phần tử của BB nếu hai tập hợp này có điều kiện phần tử khác nhau.