Giải Toán 10 Tập 1 trang 24-27 - Kết nối tri thức

Trang 24 — Chương 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài tập 1. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

• $2x + 3y < 1;$
• $2x^2 + 3y < 1.$

Lời giải:

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax + by \leq c$ (với $ax + by < c, ax + by > c$ hoặc $ax + by \geq c$) trong đó $a, b, c$ là những số thực đã cho, $a$ và $b$ không đồng thời bằng $0, x$ và $y$ là các ẩn số.

• Bất phương trình $2x + 3y < 1$ có $a = 2, b = 3, c = 1$. Đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
• Bất phương trình $2x^2 + 3y < 1$ chứa $x^2$. Đây không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Kết quả: $2x + 3y < 1$

Bài tập 2. Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x + 2y > 5$. Cặp số nào sau đây là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên?

• a) $(x; y) = (3; 4);$
• b) $(x; y) = (0; -1).$

Lời giải:

Cặp số $(x_0; y_0)$ được gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by \leq c$ nếu bất đẳng thức $ax_0 + by_0 \leq c$ đúng.

• a) Với $(x; y) = (3; 4)$ ta có: $3 + 2 \cdot 4 = 11 > 5$. Do đó cặp số $(3; 4)$ là một nghiệm của bất phương trình đã cho.
• b) Với $(x; y) = (0; -1)$ ta có: $0 + 2 \cdot (-1) = -2 < 5$. Do đó cặp số $(0; -1)$ không phải là một nghiệm của bất phương trình đã cho.

Kết quả: a) $(3, 4)$

Luyện tập 1. Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x + 2y \geq 0$.

• a) Hãy chỉ ra ít nhất hai nghiệm của bất phương trình trên.
• b) Với $y = 0$, có bao nhiêu giá trị của $x$ thỏa mãn bất phương trình đã cho?

Lời giải:

• a) Với $(x; y) = (0; 0)$ ta có: $0 + 2 \cdot 0 = 0 \geq 0$. Do đó cặp số $(0; 0)$ là một nghiệm của bất phương trình đã cho.

Với $(x; y) = (2; -1)$ ta có: $2 + 2 \cdot (-1) = 0 \geq 0$. Do đó cặp số $(2; -1)$ là một nghiệm của bất phương trình đã cho.

• b) Với $y = 0$, bất phương trình trở thành $x \geq 0$. Có vô số giá trị của $x$ thỏa mãn bất phương trình đã cho.

Kết quả: a) $(0, 0), (2, -1)$; b) Vô số.

HĐ3. Cho đường thẳng $d: 2x - y = 4$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Đường thẳng này chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.

• a) Các điểm $O(0; 0), A(-1; 3)$ và $B(-2; -2)$ có thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $d$ không?
• b) Trả lời câu hỏi tương tự như câu a với các điểm $C(3; 1), D(4; -1)$.

Lời giải:

• a)

  • Thay tọa độ điểm $O (0;0)$ vào phương trình đường thẳng $d: 2x - y = 4$ ta có: $2.0-0=0<4$. Điểm $O(0;0)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình $2x - y <4$. Do đó các điểm $O(0; 0), A(-1; 3)$ và $B(-2; -2)$ thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $d$.

• b)

  • Thay tọa độ điểm $C(3;1)$ vào phương trình đường thẳng $d: 2x - y = 4$ ta có: $2.3-1=5>4$. Điểm $C(3;1)$ không thuộc miền nghiệm của bất phương trình $2x - y <4$.
  • Thay tọa độ điểm $D(4;-1)$ vào phương trình đường thẳng $d: 2x - y = 4$ ta có: $2.4-(-1)=9>4$. Điểm $D(4;-1)$ không thuộc miền nghiệm của bất phương trình $2x - y <4$.

  Do đó các điểm $C(3; 1), D(4; -1)$ thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $d$.

Kết quả: a) Có; b) Có.

---

Trang 25 — Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Luyện tập 2. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $2x + y < 200$ trên mặt phẳng tọa độ.

Lời giải:

• Bước 1: Vẽ đường thẳng $d$: $2x + y = 200$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$.

  • Đường thẳng này đi qua điểm $(100; 0)$ và $(0; 200)$.

• Bước 2: Lấy một điểm $M_0 (0; 0)$ không thuộc $d$ và thay $x = 0$, $y = 0$ vào biểu thức $2x + y$ ta được: $2 \cdot 0 + 0 = 0 < 200$.

• Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ $d$ chứa điểm $M_0$ (miền không bị gạch).

• Vì bất phương trình có dấu $<$ nên đường thẳng $d$ được biểu diễn bằng nét đứt.

Kết quả: Miền nghiệm là nửa mặt phẳng (không kể bờ $d$) chứa gốc tọa độ $O(0;0)$.

---

Trang 26 —

Bài 2.1. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

a) $2x + 3y > 6$;

b) $2^2 + x \le 0$;

c) $2x^2 - y \ge 1$.

Lời giải:

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax + by > 0$, $ax + by \geq 0$, $ax + by < 0$, $ax + by \leq 0$, trong đó $a$ và $b$ là các số thực không đồng thời bằng $0$, $x$ và $y$ là các ẩn số.

• Xét câu a) $2x + 3y > 6$

Đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn với $a=2$, $b=3$.

• Xét câu b) $2^2 + x \le 0$

Ta viết lại bất phương trình này dưới dạng $0x + 1y ≤ -4$ (với $y = x$), đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn với $a=0$, $b=1$.

• Xét câu c) $2x^2 - y \ge 1$

Bất phương trình này không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì nó chứa $x^2$.

Kết quả: a), b)

Bài 2.2. Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:

a) $3x + 2y \geq 300$;

b) $7x + 20y < 0$.

Lời giải:

a) $3x + 2y \geq 300$

• Vẽ đường thẳng $d: 3x + 2y = 300$.

• Ta lấy gốc toạ độ $O(0; 0)$ và tính $3 . 0 + 2 . 0 = 0 < 300$.

Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không chứa gốc toạ độ và không kể đường thẳng $d$.

• Vẽ đường thẳng $d: 7x + 20y = 0$.

• Ta lấy điểm $M(20; 0)$ và tính $7 . 20 + 20 . 0 = 140 > 0$.

Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không chứa điểm $M$ và không kể đường thẳng $d$.

Kết quả:

• Câu a) Miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa gốc toạ độ và không kể đường thẳng $d: 3x + 2y = 300$.
• Câu b) Miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa điểm $M(20; 0)$ và không kể đường thẳng $d: 7x + 20y = 0$.

Bài 2.3. Ông An muốn thuê một chiếc ô tô (có lái xe) trong một tuần. Giá thuê xe được cho như bảng sau:

Từ thứ Hai đến thứ Sáu	Phi cố định (nghìn đồng/ngày)	Phi tính theo quãng đường di chuyển (nghìn đồng/kilômét)
	$900$	$8$
Thứ Bảy và Chủ nhật
	$1500$	$10$

a) Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số kilômét ông An đi trong các ngày từ thứ Hai đến thứ Sáu và trong hai ngày cuối tuần. Viết bất phương trình biểu thị mối liên hệ giữa $x$ và $y$ sao cho tổng số tiền ông An phải trả không quá 14 triệu đồng.

b) Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình ở câu a trên mặt phẳng toạ độ.

Lời giải:

a) Số tiền ông An phải trả cho các ngày từ thứ Hai đến thứ Sáu là

$900 . 5 + 8x = 4500 + 8x$ (nghìn đồng).

Số tiền ông An phải trả cho hai ngày cuối tuần là

$1500 . 2 + 10y = 3000 + 10y$ (nghìn đồng).

Tổng số tiền ông An phải trả là

$4500 + 8x + 3000 + 10y = 7500 + 8x + 10y$ (nghìn đồng).

Ông An muốn tổng số tiền phải trả không quá 14 triệu đồng, ta có bất phương trình:

$7500 + 8x + 10y \leq 14000$

$\iff 8x + 10y \leq 6500$.

b) - Vẽ đường thẳng $d: 8x + 10y = 6500$.

• Ta lấy gốc toạ độ $O(0; 0)$ và tính $8 . 0 + 10 . 0 = 0 < 6500$.

Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa gốc toạ độ và có kể đường thẳng $d$.

Kết quả:

• Câu a) $8x + 10y \leq 6500$.
• Câu b) Miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa gốc toạ độ và có kể đường thẳng $d: 8x + 10y = 6500$.

---

Trang 27 — Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 4. Trong năm nay, một cửa hàng điện lạnh dự định kinh doanh hai loại máy điều hòa: điều hòa hai chiều và điều hòa một chiều với số vốn ban đầu không vượt quá $1.2$ tỉ đồng.

Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu của thị trường sẽ không vượt quá $100$ máy cả hai loại. Nếu là chủ cửa hàng thì em cần đầu tư kinh doanh mỗi loại bao nhiêu máy để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

1. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

HĐ1. Trong tình huống mở đầu, gọi $x$ và $y$ lần lượt là số máy điều hòa loại hai chiều và một chiều mà cửa hàng cần nhập. Tính số tiền vốn mà cửa hàng phải bỏ ra để nhập hai loại máy điều hòa theo $x$ và $y$.

a) Do như cầu của thị trường không quá $100$ máy nên $x$ và $y$ cần thỏa mãn điều kiện gì?

b) Vì số vốn mà chủ cửa hàng có thể đầu tư không vượt quá $1.2$ tỉ đồng nên $x$ và $y$ phải thỏa mãn điều kiện gì?

c) Tính số tiền lãi mà cửa hàng dự kiến thu được theo $x$ và $y$.

Lời giải:

1. Số tiền vốn mà cửa hàng phải bỏ ra

• Giá mua vào của máy điều hòa hai chiều là $20$ triệu đồng/$1$ máy.
• Giá mua vào của máy điều hòa một chiều là $10$ triệu đồng/$1$ máy.

Số tiền vốn mà cửa hàng phải bỏ ra để nhập $x$ máy điều hòa hai chiều và $y$ máy điều hòa một chiều là: $$20x + 10y \quad (\text{triệu đồng}).$$

a) Điều kiện do nhu cầu thị trường

Tổng nhu cầu của thị trường không vượt quá $100$ máy, nên ta có: $$x + y \leq 100.$$

b) Điều kiện về số vốn đầu tư

Số vốn không vượt quá $1.2$ tỉ đồng $= 1200$ triệu đồng, nên ta có: $$20x + 10y \leq 1200 \quad \text{hay} \quad 2x + y \leq 120.$$

c) Số tiền lãi mà cửa hàng dự kiến thu được

• Lợi nhuận dự kiến của máy điều hòa hai chiều là $3.5$ triệu đồng/$1$ máy.
• Lợi nhuận dự kiến của máy điều hòa một chiều là $2$ triệu đồng/$1$ máy.

Số tiền lãi mà cửa hàng dự kiến thu được theo $x$ và $y$ là: $$3.5x + 2y \quad (\text{triệu đồng}).$$

Kết quả:

• Điều kiện: $x + y \leq 100$ và $2x + y \leq 120$.
• Số tiền vốn: $20x + 10y$ triệu đồng.
• Số tiền lãi: $3.5x + 2y$ triệu đồng.