Giải Toán 10 Tập 1 trang 28-31 - Kết nối tri thức

Trang 28 — Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài tập:

1. Luyện tập 1

Trong tình huống mở đầu, gọi $x$ và $y$ lần lượt là số máy điều hòa loại hai chiều và một chiều mà cửa hàng cần nhập. Từ HĐ1, viết hệ bất phương trình hai ẩn $x$, $y$ và chỉ ra một nghiệm của hệ này.

Lời giải:

• Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số máy điều hòa loại hai chiều và một chiều mà cửa hàng cần nhập.
• Từ HĐ1, ta có các điều kiện:
  • $x \geq 0$
  • $y \geq 0$
  • $x + y \leq 150$

Vậy hệ bất phương trình hai ẩn $x$, $y$ là: $$ \begin{cases} x \geq 0 \ y \geq 0 \ x + y \leq 150 \end{cases} $$

Một nghiệm của hệ này là $(x; y) = (0; 0)$.

2. Hoạt động 2

Cho đường thẳng $d: x + y = 150$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Đường thẳng này cắt hai trục tọa độ $Ox$ và $Oy$ tại hai điểm $A$ và $B$.

$a)$ Xác định các miền nghiệm $D_1$, $D_2$, $D_3$ của các bất phương trình tương ứng $x \geq 0$; $y \geq 0$ và $x + y \leq 150$.

Lời giải:

• Miền nghiệm $D_1$ của bất phương trình $x \geq 0$ là nửa mặt phẳng bờ $Oy$ (kể cả trục $Oy$) nằm bên phải trục $Oy$.
• Miền nghiệm $D_2$ của bất phương trình $y \geq 0$ là nửa mặt phẳng bờ $Ox$ (kể cả trục $Ox$) nằm bên trên trục $Ox$.
• Miền nghiệm $D_3$ của bất phương trình $x + y \leq 150$ là nửa mặt phẳng bờ $d: x + y = 150$ (kể cả đường thẳng $d$) nằm dưới đường thẳng $d$.

$b)$ Miền tam giác $OAB$ (H.2.5) có phải là giao của các miền $D_1$, $D_2$ và $D_3$ hay không?

Lời giải: Miền tam giác $OAB$ (kể cả các điểm trên cạnh) là giao của các miền $D_1$, $D_2$ và $D_3$.

$c)$ Lấy một điểm trong tam giác $OAB$ (chẳng hạn điểm $(1; 2)$) hoặc một điểm trên cạnh nào đó của tam giác $OAB$ (chẳng hạn điểm $(1; 149)$) và kiểm tra xem tọa độ của các điểm đó có phải là nghiệm của hệ bất phương trình sau hay không: $$ \begin{cases} x \geq 0 \ y \geq 0 \ x + y \leq 150 \end{cases} $$

Lời giải:

• Điểm $(1; 2)$:
  • $1 \geq 0$ (đúng)
  • $2 \geq 0$ (đúng)
  • $1 + 2 = 3 \leq 150$ (đúng)

Vậy điểm $(1; 2)$ là nghiệm của hệ bất phương trình.

• Điểm $(1; 149)$:
  • $1 \geq 0$ (đúng)
  • $149 \geq 0$ (đúng)
  • $1 + 149 = 150 \leq 150$ (đúng)

Vậy điểm $(1; 149)$ là nghiệm của hệ bất phương trình.

3. Ví dụ 2

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ: $$ \begin{cases} 7x + 4y \leq 2400 \ x + y \leq 100 \ x \geq 0 \end{cases} $$

Lời giải:

• Vẽ đường thẳng $d_1: 7x + 4y = 2400$.
• Vẽ đường thẳng $d_2: x + y = 100$.
• Vẽ đường thẳng $d_3: x = 0$ (trục $Oy$).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác (kể cả các điểm trên cạnh) được giới hạn bởi các đường thẳng $d_1$, $d_2$, và $d_3$.

Kết quả:

• Hệ bất phương trình: $\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + y \leq 150 \end{cases}$
• Miền nghiệm: là giao các miền $D_1$, $D_2$, $D_3$.
• Điểm $(1; 2)$ và $(1; 149)$ là nghiệm của hệ.
• Biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ: là miền tam giác giới hạn bởi $d_1$, $d_2$, $d_3$.

---

Trang 29 — Ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Luyện tập 2. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau trên mặt phẳng toạ độ:

$$\begin{cases} x \geq 0 \ y > 0 \ x + y \leq 100 \ 2x + y < 120 \end{cases}$$

Lời giải:

Bước 1: Xác định miền nghiệm của từng bất phương trình

1. Bất phương trình $x \geq 0$:

   • Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bên phải trục $Oy$, bao gồm cả trục $Oy$.

2. Bất phương trình $y > 0$:

   • Miền nghiệm là nửa mặt phẳng phía trên trục $Ox$, không bao gồm trục $Ox$.

3. Bất phương trình $x + y \leq 100$:

   • Vẽ đường thẳng $d: x + y = 100$.
   • Thử điểm $O(0; 0)$: $0 + 0 \leq 100$ (đúng), nên $O(0; 0)$ thuộc miền nghiệm.
   • Miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa $O$, bờ $d$.

4. Bất phương trình $2x + y < 120$:

   • Vẽ đường thẳng $d': 2x + y = 120$.
   • Thử điểm $O(0; 0)$: $2 \cdot 0 + 0 < 120$ (đúng), nên $O(0; 0)$ thuộc miền nghiệm.
   • Miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa $O$, bờ $d'$ (không bao gồm $d'$).

Bước 2: Biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng toạ độ

• Miền nghiệm của hệ là giao của các miền nghiệm trên.
• Miền không bị gạch là miền cần tìm.

Kết quả: Miền nghiệm là tứ giác $OABC$ với các đỉnh $O(0; 0)$, $A(60; 0)$, $B(0; 100)$ và $C(20; 80)$.

---

Trang 30 —

Bài tập

Trang này có một ví dụ và không có bài tập, câu hỏi, hoặc luyện tập cần giải.

Vậy nên, chúng ta có:

SKIP

---

Trang 31 —

BÀI TẬP

2.4. Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

a) $\begin{cases} x<0 \\ y \ge 0; \end{cases}$

b) $\begin{cases} x + y^2 < 0 \\ y-x > 1; \end{cases}$

c) $\begin{cases} x + y + z < 0 \\ y < 0; \end{cases}$

d) $\begin{cases} -2x + y < 3^2 \\ 4^2x + 3y < 1. \end{cases}$

Lời giải:

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ bất phương trình gồm hai ẩn và mỗi bất phương trình trong hệ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

• a) Hệ $\begin{cases} x<0 \\ y \ge 0; \end{cases}$ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
• b) Bất phương trình $x + y^2 < 0$ không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì chứa $y^2$.
• c) Hệ $\begin{cases} x + y + z < 0 \\ y < 0; \end{cases}$ không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có ba ẩn $x, y, z$.
• d) Hệ $\begin{cases} -2x + y < 3^2 \\ 4^2x + 3y < 1. \end{cases}$ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Kết quả: a, d

2.5. Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:

a) $\begin{cases} y - x < -1 \\ x > 0 \\ y < 0; \end{cases}$

b) $\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ 2x + y \le 4; \end{cases}$

c) $\begin{cases} x \ge 0 \\ x + y > 5 \\ x - y < 0. \end{cases}$

Lời giải:

a) $\begin{cases} y - x < -1 \\ x > 0 \\ y < 0; \end{cases}$

• Vẽ đường thẳng $d_1: y - x = -1$ hay $y = x - 1$.
• Miền nghiệm của bất phương trình $y - x < -1$ là nửa mặt phẳng chứa điểm $(0;0)$ (không kể đường thẳng $d_1$).
• Miền nghiệm của $x > 0$ là nửa mặt phẳng bên phải trục $Oy$ (không kể trục $Oy$).
• Miền nghiệm của $y < 0$ là nửa mặt phẳng phía dưới trục $Ox$ (không kể trục $Ox$).

b) $\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ 2x + y \le 4; \end{cases}$

• Vẽ đường thẳng $d_1: 2x + y = 4$.
• Miền nghiệm của $x \ge 0$ là nửa mặt phẳng bên phải trục $Oy$ (kể cả trục $Oy$).
• Miền nghiệm của $y \ge 0$ là nửa mặt phẳng phía trên trục $Ox$ (kể cả trục $Ox$).
• Miền nghiệm của $2x + y \le 4$ là nửa mặt phẳng chứa điểm $(0;0)$ (kể cả đường thẳng $d_1$).

c) $\begin{cases} x \ge 0 \\ x + y > 5 \\ x - y < 0. \end{cases}$

• Vẽ đường thẳng $d_1: x + y = 5$ và $d_2: x - y = 0$.
• Miền nghiệm của $x \ge 0$ là nửa mặt phẳng bên phải trục $Oy$ (kể cả trục $Oy$).
• Miền nghiệm của $x + y > 5$ là nửa mặt phẳng chứa điểm $(0;6)$ (không kể đường thẳng $d_1$).
• Miền nghiệm của $x - y < 0$ là nửa mặt phẳng chứa điểm $(0;1)$ (không kể đường thẳng $d_2$).

2.6. Một gia đình cần ít nhất $900$ đơn vị protein và $400$ đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kilôgam thịt bò chứa $800$ đơn vị protein và $200$ đơn vị lipit. Mỗi kilôgam thịt lợn chứa $600$ đơn vị protein và $400$ đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất là $1,6$ kg thịt bò và $1,1$ kg thịt lợn; giá tiền $1$ kg thịt bò là $250$ nghìn đồng; $1$ kg thịt lợn là $160$ nghìn đồng. Giả sử gia đình đó mua $x$ kilôgam thịt bò và $y$ kilôgam thịt lợn.

a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm của hệ đó.

b) Gọi $F$ (nghìn đồng) là số tiền phải trả cho $x$ kilôgam thịt bò và $y$ kilôgam thịt lợn. Hãy biểu diễn $F$ theo $x$ và $y$.

c) Tìm số kilôgam thịt mỗi loại mà gia đình cần mua để chi phí là ít nhất.

Lời giải:

a) Hệ bất phương trình

• $x$ và $y$ là số kilôgam thịt bò và thịt lợn mà gia đình mua.
• $800x + 600y \ge 900$ (đơn vị protein).
• $200x + 400y \ge 400$ (đơn vị lipit).
• $x \le 1,6$ (điều kiện số thịt bò).
• $y \le 1,1$ (điều kiện số thịt lợn).
• $x \ge 0; y \ge 0$ (số lượng không âm).

Hệ bất phương trình: $\begin{cases} 800x + 600y \ge 900 \\ 200x + 400y \ge 400 \\ x \le 1,6 \\ y \le 1,1 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0. \end{cases}$

b) Biểu diễn $F$ theo $x$ và $y$

$F = 250x + 160y$ (nghìn đồng).

c) Tìm số kilôgam thịt mỗi loại để chi phí ít nhất

• Cần tìm giá trị nhỏ nhất của $F$ trên miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Kết quả: ... (phần này cần giải bằng phương pháp đồ thị hoặc tối ưu, không thể trình bày hết trong Markdown đơn giản)