Trang 31 — Bài tập cuối chương II

A - TRẮC NGHIỆM

2.7. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. x+y>3x + y > 3.

B. x2+y2≤4x^2 + y^2 \le 4.

C. (x−y)(3x+y)≥1(x - y)(3x + y) \ge 1.

D. y3−2≤0y^3 - 2 \le 0.

Lời giải:

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng ax+by>0ax + by > 0, ax+by≥0ax + by \ge 0, ax+by<0ax + by < 0 hoặc ax+by≤0ax + by \le 0, trong đó aa và bb là hai số thực không đồng thời bằng 00.

  • A. x+y>3x + y > 3 có dạng ax+by>0ax + by > 0 với a=1a = 1, b=1b = 1.
  • B. x2+y2≤4x^2 + y^2 \le 4 không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có chứa x2x^2 và y2y^2.
  • C. (x−y)(3x+y)≥1(x - y)(3x + y) \ge 1 không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có thể biến đổi thành 3x2−2xy−y2≥13x^2 - 2xy - y^2 \ge 1.
  • D. y3−2≤0y^3 - 2 \le 0 không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có chứa y3y^3.

Kết quả: A

2.8. Cho bất phương trình 2x+y>32x + y > 3. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

B. Bất phương trình đã cho vô nghiệm.

C. Bất phương trình đã cho có vô số nghiệm.

D. Bất phương trình đã cho có tập nghiệm là [3;+∞)[3; +\infty).

Lời giải:

Bất phương trình 2x+y>32x + y > 3 có thể được viết lại thành y>−2x+3y > -2x + 3.

Phương trình y=−2x+3y = -2x + 3 là một đường thẳng.

  • Ứng với mỗi giá trị của xx, ta có một giá trị tương ứng của yy thỏa mãn y>−2x+3y > -2x + 3.

Do đó, bất phương trình 2x+y>32x + y > 3 có vô số nghiệm.

Kết quả: C

2.9. Hình nào sau đây biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình x−y<3x - y < 3?

Lời giải:

Bất phương trình x−y<3x - y < 3 có thể được viết lại thành y>x−3y > x - 3.

  • Vẽ đường thẳng y=x−3y = x - 3.

  • Chọn điểm O(0;0)O(0; 0), ta có 0>0−30 > 0 - 3 là mệnh đề đúng.

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình x−y<3x - y < 3 là nửa mặt phẳng chứa điểm O(0;0)O(0; 0), không kể đường thẳng y=x−3y = x - 3.

Kết quả: A

B - TỰ LUẬN

2.10. Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. {x−y<02y≥0\left\{ \begin{aligned} & x - y < 0 \\ & 2y \ge 0 \end{aligned} \right..

B. {3x+y3<0x+y>3\left\{ \begin{aligned} & 3x + y^3 < 0 \\ & x + y > 3 \end{aligned} \right..

C. {x+2y<0y2+3<0\left\{ \begin{aligned} & x + 2y < 0 \\ & y^2 + 3 < 0 \end{aligned} \right..

D. {−x3+y<4x+2y<1\left\{ \begin{aligned} & -x^3 + y < 4 \\ & x + 2y < 1 \end{aligned} \right..

Lời giải:

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm các bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

  • A. {x−y<02y≥0\left\{ \begin{aligned} & x - y < 0 \\ & 2y \ge 0 \end{aligned} \right. có dạng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
  • B. {3x+y3<0x+y>3\left\{ \begin{aligned} & 3x + y^3 < 0 \\ & x + y > 3 \end{aligned} \right. không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có chứa y3y^3.
  • C. {x+2y<0y2+3<0\left\{ \begin{aligned} & x + 2y < 0 \\ & y^2 + 3 < 0 \end{aligned} \right. không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có chứa y2y^2.
  • D. {−x3+y<4x+2y<1\left\{ \begin{aligned} & -x^3 + y < 4 \\ & x + 2y < 1 \end{aligned} \right. không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có chứa −x3-x^3.

Kết quả: A

Trang 33 — Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 2.11. Cho hệ bất phương trình {x−y<−32y≥−4\begin{cases} x - y < -3 \\ 2y \geq -4 \end{cases}. Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ đã cho?

A. (0;0)(0; 0).

B. (−2;1)(-2; 1).

C. (3;−1)(3; -1).

D. (−3;1)(-3; 1).

Lời giải:

Xét hệ bất phương trình {x−y<−32y≥−4\begin{cases} x - y < -3 \\ 2y \geq -4 \end{cases}.

  • Với điểm (0;0)(0; 0), ta có:
    • 0−0=0>−30 - 0 = 0 > -3 (không thỏa mãn bất phương trình thứ nhất).
    • 2⋅0=0≥−42 \cdot 0 = 0 \geq -4 (thỏa mãn bất phương trình thứ hai).

Do đó điểm (0;0)(0; 0) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.

  • Với điểm (−2;1)(-2; 1), ta có:
    • −2−1=−3-2 - 1 = -3 (không thỏa mãn bất phương trình thứ nhất).
    • 2⋅1=2≥−42 \cdot 1 = 2 \geq -4 (thỏa mãn bất phương trình thứ hai).

Do đó điểm (−2;1)(-2; 1) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.

  • Với điểm (3;−1)(3; -1), ta có:
    • 3−(−1)=4>−33 - (-1) = 4 > -3 (không thỏa mãn bất phương trình thứ nhất).
    • 2⋅(−1)=−2≥−42 \cdot (-1) = -2 \geq -4 (thỏa mãn bất phương trình thứ hai).

Do đó điểm (3;−1)(3; -1) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.

  • Với điểm (−3;1)(-3; 1), ta có:
    • −3−1=−4<−3-3 - 1 = -4 < -3 (thỏa mãn bất phương trình thứ nhất).
    • 2⋅1=2≥−42 \cdot 1 = 2 \geq -4 (thỏa mãn bất phương trình thứ hai).

Do đó điểm (−3;1)(-3; 1) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Kết quả: D. (−3;1)(-3; 1).

Bài 2.12. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình x+y2≥2x−y+13\frac{x + y}{2} \geq \frac{2x - y + 1}{3} trên mặt phẳng tọa độ.

Lời giải:

Ta có: x+y2≥2x−y+13\frac{x + y}{2} \geq \frac{2x - y + 1}{3}

⇔3(x+y)≥2(2x−y+1)\Leftrightarrow 3(x + y) \geq 2(2x - y + 1)

⇔3x+3y≥4x−2y+2\Leftrightarrow 3x + 3y \geq 4x - 2y + 2

⇔x−5y+2≤0\Leftrightarrow x - 5y + 2 \leq 0.

Miền nghiệm của bất phương trình x−5y+2≤0x - 5y + 2 \leq 0 là:

  • Vẽ đường thẳng d:x−5y+2=0d: x - 5y + 2 = 0 đi qua hai điểm A(2;0)A(2; 0) và B(−3;−1)B(-3; -1).

  • Lấy điểm O(0;0)∈dO(0; 0) \in d.

  • Ta có: 0−5⋅0+2=2>00 - 5 \cdot 0 + 2 = 2 > 0.

  • Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ dd chứa điểm (0;0)(0; 0), kể cả đường thẳng dd.

Bài 2.13. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình {x+y<12x−y≥3\begin{cases} x + y < 1 \\ 2x - y \geq 3 \end{cases} trên mặt phẳng tọa độ.

Lời giải:

  • Vẽ đường thẳng d1:x+y−1=0d_1: x + y - 1 = 0 đi qua điểm A(1;0)A(1; 0) và B(0;1)B(0; 1).

  • Lấy điểm O(0;0)∈d1O(0; 0) \in d_1.

  • Ta có: 0+0−1=−1<00 + 0 - 1 = -1 < 0.

  • Do đó miền nghiệm của bất phương trình x+y<1x + y < 1 là nửa mặt phẳng bờ d1d_1 không chứa điểm O(0;0)O(0; 0).

  • Vẽ đường thẳng d2:2x−y−3=0d_2: 2x - y - 3 = 0 đi qua điểm C(32;0)C(\frac{3}{2}; 0) và D(0;−3)D(0; -3).

  • Lấy điểm O(0;0)∈d2O(0; 0) \in d_2.

  • Ta có: 2⋅0−0−3=−3<02 \cdot 0 - 0 - 3 = -3 < 0.

  • Do đó miền nghiệm của bất phương trình 2x−y≥32x - y \geq 3 là nửa mặt phẳng bờ d2d_2 chứa điểm O(0;0)O(0; 0), kể cả đường thẳng d2d_2.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là giao của hai miền nghiệm trên.

Bài 2.14. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình {y−2x≤2y≤4x≤5x+y≥−1\begin{cases} y - 2x \leq 2 \\ y \leq 4 \\ x \leq 5 \\ x + y \geq -1 \end{cases} trên mặt phẳng tọa độ.

Từ đó tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x;y)=−x−yF(x; y) = -x - y với (x;y)(x; y) thỏa mãn hệ trên.

Lời giải:

  • Vẽ đường thẳng d1:y−2x−2=0d_1: y - 2x - 2 = 0 đi qua điểm A(0;2)A(0; 2) và B(1;4)B(1; 4).

  • Lấy điểm O(0;0)∈d1O(0; 0) \in d_1.

  • Ta có: 0−2⋅0−2=−2<00 - 2 \cdot 0 - 2 = -2 < 0.

  • Do đó miền nghiệm của bất phương trình y−2x≤2y - 2x \leq 2 là nửa mặt phẳng bờ d1d_1 chứa điểm O(0;0)O(0; 0), kể cả đường thẳng d1d_1.

  • Vẽ đường thẳng d2:y−4=0d_2: y - 4 = 0 đi qua điểm (0;4)(0; 4) và (1;4)(1; 4).

  • Lấy điểm O(0;0)∈d2O(0; 0) \in d_2.

  • Ta có: 0−4=−4<00 - 4 = -4 < 0.

  • Do đó miền nghiệm của bất phương trình y≤4y \leq 4 là nửa mặt phẳng bờ d2d_2 không chứa điểm O(0;0)O(0; 0), kể cả đường thẳng d2d_2.

  • Vẽ đường thẳng d3:x−5=0d_3: x - 5 = 0 đi qua điểm (5;0)(5; 0) và (5;1)(5; 1).

  • Lấy điểm O(0;0)∈d3O(0; 0) \in d_3.

  • Ta có: 0−5=−5<00 - 5 = -5 < 0.

  • Do đó miền nghiệm của bất phương trình x≤5x \leq 5 là nửa mặt phẳng bờ d3d_3 không chứa điểm O(0;0)O(0; 0), kể cả đường thẳng d3d_3.

  • Vẽ đường thẳng d4:x+y+1=0d_4: x + y + 1 = 0 đi qua điểm (−1;0)(-1; 0) và (0;−1)(0; -1).

  • Lấy điểm O(0;0)∈d4O(0; 0) \in d_4.

  • Ta có: 0+0+1=1>00 + 0 + 1 = 1 > 0.

  • Do đó miền nghiệm của bất phương trình x+y≥−1x + y \geq -1 là nửa mặt phẳng bờ d4d_4 chứa điểm O(0;0)O(0; 0), kể cả đường thẳng d4d_4.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là giao của bốn miền nghiệm trên.

Biểu thức F(x;y)=−x−yF(x; y) = -x - y có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên miền nghiệm khi (x;y)(x; y) là một trong các đỉnh của miền nghiệm.

Các đỉnh của miền nghiệm là: (−1;0),(5;4),(5;−4),(3;−2)(-1; 0), (5; 4), (5; -4), (3; -2).

  • Tại (−1;0)(-1; 0): F(−1;0)=−(−1)−0=1F(-1; 0) = -(-1) - 0 = 1.

  • Tại (5;4)(5; 4): F(5;4)=−5−4=−9F(5; 4) = -5 - 4 = -9.

  • Tại (5;−4)(5; -4): F(5;−4)=−5+4=−1F(5; -4) = -5 + 4 = -1.

  • Tại (3;−2)(3; -2): F(3;−2)=−3+2=−1F(3; -2) = -3 + 2 = -1.

Giá trị lớn nhất của F(x;y)F(x; y) là 11 tại (−1;0)(-1; 0).

Giá trị nhỏ nhất của F(x;y)F(x; y) là −9-9 tại (5;4)(5; 4).

Trang 33 — CHƯƠNG III - HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

Trang 34 — GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỪ 0∘0^\circ ĐẾN 180∘180^\circ

Không có bài tập, chỉ có lý thuyết.

Kết luận:

SKIP

Trang 35 — Giá trị lượng giác của một góc

Trang này chỉ chứa lý thuyết và bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt mà không có bài tập, câu hỏi, luyện tập hay ví dụ cần giải.

Trả lời: SKIP