Trang 56 — Tích của một vectơ với một số

HĐ1. Cho vectơ AB→=a⃗\overrightarrow{AB} = \vec{a}. Hãy xác định điểm CC sao cho BC→=a⃗\overrightarrow{BC} = \vec{a}.
a) Tìm mối quan hệ giữa AB→\overrightarrow{AB} và a⃗+a⃗\vec{a} + \vec{a}.
b) Vectơ a⃗+a⃗\vec{a} + \vec{a} có mối quan hệ như thế nào về hướng và độ dài đối với vectơ a⃗\vec{a}?

Lời giải:

a) Ta có AB→=a⃗\overrightarrow{AB} = \vec{a} và BC→=a⃗\overrightarrow{BC} = \vec{a}.
Từ định nghĩa phép cộng vectơ, ta có:

AC→=AB→+BC→=a⃗+a⃗=2a⃗.\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \vec{a} + \vec{a} = 2\vec{a}.

Do đó, AB→=a⃗\overrightarrow{AB} = \vec{a} và AC→=2a⃗\overrightarrow{AC} = 2\vec{a}.

b) Vectơ a⃗+a⃗=2a⃗\vec{a} + \vec{a} = 2\vec{a}:

  • Cùng hướng với a⃗\vec{a} vì hệ số 2>02 > 0.
  • Độ dài bằng 2∣a⃗∣2|\vec{a}| vì 2∣a⃗∣=2∣a⃗∣2|\vec{a}| = 2|\vec{a}|.

Kết quả: a⃗+a⃗=2a⃗\vec{a} + \vec{a} = 2\vec{a} cùng hướng và có độ dài gấp đôi a⃗\vec{a}.

HĐ2.
Tích của một vectơ a⃗≠0⃗\vec{a} \ne \vec{0} với một số thực k>0k > 0 là một vectơ, kí hiệu là ka⃗k\vec{a}, cùng hướng với vectơ a⃗\vec{a} và có độ dài bằng k∣a⃗∣k|\vec{a}|.

Câu hỏi: 1a⃗1\vec{a} và a⃗\vec{a} có bằng nhau hay không?

Trả lời:

1a⃗=a⃗.1\vec{a} = \vec{a}.

Do đó, 1a⃗1\vec{a} và a⃗\vec{a} có bằng nhau.

Trang 57 — Tích của một vectơ với một số

Luyện tập 1. Cho đường thẳng dd đi qua hai điểm phân biệt AA và B (H4.25)B \, (\text{H}4.25). Những khẳng định nào sau đây là đúng? a) Điểm MM thuộc đường thẳng dd khi và chỉ khi có số tt để AM→=tAB→\overrightarrow{AM} = t\overrightarrow{AB}. b) Với điểm MM bất kì, ta luôn có AM→AB→=AM→overrightarrowAB\dfrac{\overrightarrow{AM}}{\overrightarrow{AB}} = \overrightarrow{AM} \\overrightarrow{AB}. c) Điểm MM thuộc tia đối của tia ABAB khi và chỉ khi tồn tại số t≤0t \le 0 để AM→=tAB→\overrightarrow{AM} = t\overrightarrow{AB}.

Lời giải:

a) Điểm MM thuộc đường thẳng dd khi và chỉ khi AM→=tAB→\overrightarrow{AM} = t\overrightarrow{AB} với t=k∈Rt = k \in \mathbb{R}.

Điều này tương đương với AM→=kAB→\overrightarrow{AM} = k\overrightarrow{AB}, với k∈Rk \in \mathbb{R}. Vậy khẳng định a) đúng.

b) Ta có AMAB=∥AM→∥∥AB→∥\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{\left\| \overrightarrow{AM} \right\|}{\left\| \overrightarrow{AB} \right\|} là một số thực.

Vì AM→AB→\overrightarrow{AM} \\ \overrightarrow{AB} khi và chỉ khi AM→=kAB→ (k∈R)\overrightarrow{AM} = k\overrightarrow{AB} \, (k \in \mathbb{R}), tức là AM→AB→=k∈R\dfrac{\overrightarrow{AM}}{\overrightarrow{AB}} = k \in \mathbb{R}.

Vậy khẳng định b) sai.

c) Điểm MM thuộc tia đối của tia ABAB khi và chỉ khi AM→=tAB→\overrightarrow{AM} = t\overrightarrow{AB} với t<0t < 0.

Vậy khẳng định c) đúng.

Kết quả: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng.

Trang 58 — Các tính chất của phép nhân vectơ với một số

HĐ3.

Với u⃗≠0⃗\vec{u} \neq \vec{0} và hai số thực k,tk, t, những khẳng định nào sau đây là đúng?
a) Hai vecto k(tu⃗)k(t\vec{u}) và (kt)u⃗(kt)\vec{u} có cùng độ dài bằng ∣kt∣∣u⃗∣|kt||\vec{u}|.
b) Nếu kt≥0kt \geq 0 thì cả hai vecto ktu⃗kt\vec{u}, (kt)u⃗(kt)\vec{u} cùng hướng với u⃗\vec{u}.
c) Nếu kt<0kt < 0 thì cả hai vecto ktu⃗kt\vec{u}, (kt)u⃗(kt)\vec{u} ngược hướng với u⃗\vec{u}.
d) Hai vecto k(tu⃗)k(t\vec{u}) và (kt)u⃗(kt)\vec{u} bằng nhau.

Lời giải:

Ta có:

  • Độ dài của vecto k(tu⃗)k(t\vec{u}) là ∣k∣∣tu⃗∣=∣k∣∣t∣∣u⃗∣=∣kt∣∣u⃗∣|k||t\vec{u}| = |k||t||\vec{u}| = |kt||\vec{u}|.

  • Độ dài của vecto (kt)u⃗(kt)\vec{u} là ∣kt∣∣u⃗∣|kt||\vec{u}|.
      ⟹  \implies Độ dài của hai vecto k(tu⃗)k(t\vec{u}) và (kt)u⃗(kt)\vec{u} bằng nhau và bằng ∣kt∣∣u⃗∣|kt||\vec{u}|   ⟹  \implies a) đúng.

  • Nếu kt≥0kt \geq 0 thì kk và tt cùng dấu hoặc bằng 00. Khi đó ktu⃗kt\vec{u} và (kt)u⃗(kt)\vec{u} cùng hướng với u⃗\vec{u}   ⟹  \implies b) đúng.

  • Nếu kt<0kt < 0 thì kk và tt trái dấu. Khi đó ktu⃗kt\vec{u} và (kt)u⃗(kt)\vec{u} cùng ngược hướng với u⃗\vec{u}   ⟹  \implies c) đúng.

  • Ta có: k(tu⃗)=(kt)u⃗k(t\vec{u}) = (kt)\vec{u}   ⟹  \implies d) đúng.

Kết quả: Các khẳng định đúng: a), b), c), d).

HĐ4.

Hãy chỉ ra trên Hình 4.26 hai vecto 3(u⃗+v⃗)3(\vec{u} + \vec{v}) và 3u⃗+3v⃗3\vec{u} + 3\vec{v}.

  • Vecto 3(u⃗+v⃗)3(\vec{u} + \vec{v}) có mũi tên tại MM và đi qua điểm CC.
  • Vecto 3u⃗+3v⃗3\vec{u} + 3\vec{v} có mũi tên tại AA và đi qua điểm BB.

Hai vecto 3(u⃗+v⃗)3(\vec{u} + \vec{v}) và 3u⃗+3v⃗3\vec{u} + 3\vec{v} bằng nhau.

Lời giải:

Ta có: 3(u⃗+v⃗)=3u⃗+3v⃗.3(\vec{u} + \vec{v}) = 3\vec{u} + 3\vec{v}.

Kết quả: 3(u⃗+v⃗)=3u⃗+3v⃗3(\vec{u} + \vec{v}) = 3\vec{u} + 3\vec{v}.

Luyện tập 2.

Cho tam giác ABCABC có trọng tâm GG. Chứng minh rằng với điểm OO tùy ý, ta có OA→+OB→+OC→=3OG→\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OG}.

Lời giải:

Vì GG là trọng tâm tam giác ABCABC nên GA→+GB→+GC→=0⃗\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}.

Ta có: OA→+OB→+OC→=OG→+GA→+OG→+GB→+OG→+GC→\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OG} + \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{OG} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{OG} + \overrightarrow{GC} =3OG→+(GA→+GB→+GC→)=3OG→+0⃗=3OG→.= 3\overrightarrow{OG} + (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}) = 3\overrightarrow{OG} + \vec{0} = 3\overrightarrow{OG}.

Kết quả: OA→+OB→+OC→=3OG→\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OG}.

Luyện tập 3.

Trong Hình 4.27, hãy biểu thị mỗi vecto u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} theo hai vecto a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b}, tức là tìm các số x,y,z,tx, y, z, t để u⃗=xa⃗+yb⃗\vec{u} = x\vec{a} + y\vec{b}, v⃗=ta⃗+zb⃗\vec{v} = t\vec{a} + z\vec{b}.

Lời giải:

Từ hình vẽ ta có:

  • u⃗=2a⃗+b⃗\vec{u} = 2\vec{a} + \vec{b}
  • v⃗=−2a⃗−b⃗\vec{v} = -2\vec{a} - \vec{b}

  ⟹  \implies x=2,y=1,t=−2,z=−1x = 2, y = 1, t = -2, z = -1.

Kết quả: u⃗=2a⃗+b⃗\vec{u} = 2\vec{a} + \vec{b} và v⃗=−2a⃗−b⃗\vec{v} = -2\vec{a} - \vec{b}.

Trang 59 —

Bài 4.11. Cho hình bình hành ABCDABCD. Gọi MM là trung điểm của cạnh BCBC. Hãy biểu thị AM→\overrightarrow{AM} theo hai vecto AB→\overrightarrow{AB} và AD→\overrightarrow{AD}.

Lời giải: Ta có:

AM→=AB→+BM→=AB→+12BC→=AB→+12AD→=AB→+12AD→.\begin{aligned} \overrightarrow{AM} &= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} \\ &= \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} \\ &= \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} \\ &= \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}. \end{aligned}

Kết quả: AM→=AB→+12AD→\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}.

Bài 4.12. Cho tứ giác ABCDABCD. Gọi M,NM, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB,CDAB, CD. Chứng minh rằng BC→+AD→=2MN→=AC→+BD→\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}.

Lời giải: Ta có:

BC→+AD→=BM→+MC→+AN→+ND→=BM→+AN→+MC→+ND→=0→+MC→+ND→=MC→+ND→=MN→+NC→+MN→+MD→=2MN→+NC→+MD→=2MN→\begin{aligned} \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} &= \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{AN} + \overrightarrow{ND} \\ &= \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{AN} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{ND} \\ &= \overrightarrow{0} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{ND} \\ &= \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{ND} \\ &= \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NC} + \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{MD} \\ &= 2\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NC} + \overrightarrow{MD} \\ &= 2\overrightarrow{MN} \end{aligned}

và

AC→+BD→=AM→+MC→+BN→+ND→=MC→+ND→=2MN→.\begin{aligned} \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} &= \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{BN} + \overrightarrow{ND} \\ &= \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{ND} \\ &= 2\overrightarrow{MN}. \end{aligned}

Kết quả: BC→+AD→=2MN→=AC→+BD→\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}.

Bài 4.13. Cho hai điểm phân biệt AA và BB.

a) Hãy xác định điểm KK sao cho KA→+2KB→=0→\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB} = \overrightarrow{0}.

Lời giải: Ta có:

KA→+2KB→=0→⇔KA→=−2KB→⇔AK→=2BK→⇔AK→=2(AK→−AB→)⇔AK→=2AK→−2AB→⇔AK→=2AB→.\begin{aligned} \overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB} &= \overrightarrow{0} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow{KA} &= -2\overrightarrow{KB} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow{AK} &= 2\overrightarrow{BK} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow{AK} &= 2(\overrightarrow{AK} - \overrightarrow{AB}) \\ \Leftrightarrow \overrightarrow{AK} &= 2\overrightarrow{AK} - 2\overrightarrow{AB} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow{AK} &= 2\overrightarrow{AB}. \end{aligned}

Vậy KK là điểm nằm trên đường thẳng ABAB sao cho AK=2ABAK = 2AB.

Kết quả: Điểm KK nằm trên đường thẳng ABAB sao cho AK=2ABAK = 2AB.

b) Chứng minh rằng với mọi điểm OO, ta có OK→=13OA→+23OB→\overrightarrow{OK} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB}.

Lời giải: Ta có:

OK→=OA→+AK→=OA→+23AB→=OA→+23(OB→−OA→)=13OA→+23OB→.\begin{aligned} \overrightarrow{OK} &= \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AK} \\ &= \overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} \\ &= \overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) \\ &= \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB}. \end{aligned}

Kết quả: OK→=13OA→+23OB→\overrightarrow{OK} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB}.

Bài 4.14. Cho tam giác ABCABC.

a) Hãy xác định điểm MM để MA→+MB→+2MC→=0→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}.

Lời giải: Ta có:

MA→+MB→+2MC→=0→⇔MA→+MB→+2(MA→+AC→)=0→⇔3MA→+MB→+2AC→=0→⇔3MA→+(MA→+AB→)+2AC→=0→⇔4MA→+AB→+2AC→=0→⇔4AM→=AB→+2AC→⇔AM→=14AB→+12AC→.\begin{aligned} \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} &= \overrightarrow{0} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AC}) &= \overrightarrow{0} \\ \Leftrightarrow 3\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{AC} &= \overrightarrow{0} \\ \Leftrightarrow 3\overrightarrow{MA} + (\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB}) + 2\overrightarrow{AC} &= \overrightarrow{0} \\ \Leftrightarrow 4\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC} &= \overrightarrow{0} \\ \Leftrightarrow 4\overrightarrow{AM} &= \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow{AM} &= \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}. \end{aligned}

Vậy MM là điểm nằm trên cạnh ACAC sao cho AM=14AB+12ACAM = \frac{1}{4}AB + \frac{1}{2}AC.

Kết quả: Điểm MM nằm trên cạnh ACAC sao cho AM=14AB+12ACAM = \frac{1}{4}AB + \frac{1}{2}AC.

b) Chứng minh rằng với mọi điểm OO, ta có OA→+OB→+2OC→=4OM→\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OC} = 4\overrightarrow{OM}.

Lời giải: Ta có:

OA→+OB→+2OC→=OM→+MA→+OM→+MB→+2(OM→+MC→)=4OM→+(MA→+MB→+2MC→)=4OM→+0→=4OM→.\begin{aligned} \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OC} &= \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MB} + 2(\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MC}) \\ &= 4\overrightarrow{OM} + (\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}) \\ &= 4\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{0} \\ &= 4\overrightarrow{OM}. \end{aligned}

Kết quả: OA→+OB→+2OC→=4OM→\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OC} = 4\overrightarrow{OM}.