Trang 71 — Bài tập cuối chương IV

A - TRẮC NGHIỆM

4.27. Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vecto nào sau đây có cùng phương?

  • A. u→=(2;3)\overrightarrow{u} = (2;3) và v→=(12;6)\overrightarrow{v} = \left( \frac{1}{2}; 6 \right).
  • B. a→=(2;6)\overrightarrow{a} = (\sqrt{2}; 6) và b→=(1;32)\overrightarrow{b} = (1; 3\sqrt{2}).
  • C. i→=(0;1)\overrightarrow{i} = (0;1) và j→=(1;0)\overrightarrow{j} = (1;0).
  • D. c→=(1;3)\overrightarrow{c} = (1;3) và d→=(2;−6)\overrightarrow{d} = (2;-6).

Lời giải: Hai vecto a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b} có cùng phương nếu tồn tại số thực kk sao cho a→=kb→\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{b}.

Xét đáp án A:

  • u→=(2;3)\overrightarrow{u} = (2;3),
  • v→=(12;6)=14(2;24)\overrightarrow{v} = \left( \frac{1}{2}; 6 \right) = \frac{1}{4} (2; 24).

Không tồn tại kk thỏa u→=kv→\overrightarrow{u} = k\overrightarrow{v}.

Xét đáp án B:

  • a→=(2;6)\overrightarrow{a} = (\sqrt{2}; 6),
  • b→=(1;32)\overrightarrow{b} = (1; 3\sqrt{2}).

Nếu a→=kb→\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{b} thì $\begin{cases} \sqrt{2} = k \ 6 = k3\sqrt{2} \end{cases}$ không có kk thỏa.

Xét đáp án C:

  • i→=(0;1)\overrightarrow{i} = (0;1),
  • j→=(1;0)\overrightarrow{j} = (1;0).

Không cùng phương.

Xét đáp án D:

  • c→=(1;3)\overrightarrow{c} = (1;3),
  • d→=(2;−6)=−2(1;3)\overrightarrow{d} = (2;-6) = -2(1; 3).

d→=−2c→\overrightarrow{d} = -2\overrightarrow{c}.

Kết quả: D

4.28. Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vecto nào sau đây vuông góc với nhau?

  • A. u→=(2;3)\overrightarrow{u} = (2;3) và v→=(4;6)\overrightarrow{v} = (4;6).
  • B. a→=(1;−1)\overrightarrow{a} = (1;-1) và b→=(−1;1)\overrightarrow{b} = (-1;1).
  • C. z→=(a;b)\overrightarrow{z} = (a;b) và t→=(−b;a)\overrightarrow{t} = (-b;a).
  • D. n→=(1;1)\overrightarrow{n} = (1;1) và k→=(2;0)\overrightarrow{k} = (2;0).

Lời giải: Hai vecto a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b} vuông góc nếu a→⋅b→=0\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0.

Xét đáp án A:

  • u→⋅v→=2⋅4+3⋅6=26≠0\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 2 \cdot 4 + 3 \cdot 6 = 26 \ne 0.

Xét đáp án B:

  • a→⋅b→=1⋅(−1)+(−1)⋅1=−2≠0\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 1 = -2 \ne 0.

Xét đáp án C:

  • z→⋅t→=a(−b)+b⋅a=0\overrightarrow{z} \cdot \overrightarrow{t} = a(-b) + b \cdot a = 0.

Xét đáp án D:

  • n→⋅k→=1⋅2+1⋅0=2≠0\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{k} = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 0 = 2 \ne 0.

Kết quả: C

4.29. Trong mặt phẳng tọa độ, vecto nào sau đây có độ dài bằng 1?

  • A. a→=(1;1)\overrightarrow{a} = (1;1).
  • B. b→=(1;−1)\overrightarrow{b} = (1;-1).
  • C. c→=(2;12)\overrightarrow{c} = \left( 2; \frac{1}{2} \right).
  • D. d→=(12;−12)\overrightarrow{d} = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}; -\frac{1}{\sqrt{2}} \right).

Lời giải: Vecto a→=(x;y)\overrightarrow{a} = (x; y) có độ dài ∣a→∣=x2+y2\left| \overrightarrow{a} \right| = \sqrt{x^2 + y^2}.

Xét đáp án A:

  • ∣a→∣=12+12=2\left| \overrightarrow{a} \right| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}.

Xét đáp án B:

  • ∣b→∣=12+(−1)2=2\left| \overrightarrow{b} \right| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}.

Xét đáp án C:

  • ∣c→∣=22+(12)2=174\left| \overrightarrow{c} \right| = \sqrt{2^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2} = \sqrt{\frac{17}{4}}.

Xét đáp án D:

  • ∣d→∣=(12)2+(−12)2=1\left| \overrightarrow{d} \right| = \sqrt{\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 + \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2} = 1.

Kết quả: D

4.30. Góc giữa vecto a→=(1;−1)\overrightarrow{a} = (1;-1) và vecto b→=(−2;0)\overrightarrow{b} = (-2;0) có số đo bằng:

  • A. 90∘90^\circ.
  • B. 0∘0^\circ.
  • C. 135∘135^\circ.
  • D. 45∘45^\circ.

Lời giải: Công thức tính góc giữa 2 vecto a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b}: cos⁡(a→,b→)=a→⋅b→∣a→∣⋅∣b→∣\cos (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} \right| \cdot \left| \overrightarrow{b} \right|}.

Ta có

  • a→⋅b→=1⋅(−2)+(−1)⋅0=−2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1 \cdot (-2) + (-1) \cdot 0 = -2,
  • ∣a→∣=2\left| \overrightarrow{a} \right| = \sqrt{2},
  • ∣b→∣=2\left| \overrightarrow{b} \right| = 2.

cos⁡(a→,b→)=−22⋅2=−22\cos (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = \frac{-2}{\sqrt{2} \cdot 2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}.

⇒(a→,b→)=135∘\Rightarrow (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = 135^\circ.

Kết quả: C

4.31. Khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A. (a→⋅b→)c→=a→(b→⋅c→)(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} (\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}).
  • B. (a→⋅b→)2=a→2⋅b→2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})^2 = \overrightarrow{a}^2 \cdot \overrightarrow{b}^2.
  • C. a→⋅b→=∣a→∣⋅∣b→∣sin⁡(a→,b→)\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} \right| \cdot \left| \overrightarrow{b} \right| \sin (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}).
  • D. a→⋅(b→−c→)=a→⋅b→−a→⋅c→\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}) = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}.

Lời giải:

  • A. Sai, vì (a→⋅b→)c→(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) \overrightarrow{c} là một vecto cùng phương với c→\overrightarrow{c}, còn a→(b→⋅c→)\overrightarrow{a} (\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}) là một vecto cùng phương với a→\overrightarrow{a}.

  • B. Sai, vì (a→⋅b→)2=∣a→∣2⋅∣b→∣2⋅cos⁡2(a→,b→)≠∣a→∣2⋅∣b→∣2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})^2 = \left| \overrightarrow{a} \right|^2 \cdot \left| \overrightarrow{b} \right|^2 \cdot \cos^2 (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) \ne \left| \overrightarrow{a} \right|^2 \cdot \left| \overrightarrow{b} \right|^2.

  • C. Sai, vì a→⋅b→=∣a→∣⋅∣b→∣cos⁡(a→,b→)\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} \right| \cdot \left| \overrightarrow{b} \right| \cos (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}).

  • D. Đúng.

Kết quả: D

4.32. Cho hình vuông ABCDABCD có cạnh aa. Khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A. (AB→,BD→)=45∘(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BD}) = 45^\circ.
  • B. (AC→,BC→)=45∘(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BC}) = 45^\circ và AC→⋅BC→=a2\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC} = a^2.
  • C. AC→⋅BD→=a22\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = a^2 \sqrt{2}.
  • D. BA→⋅BD→=−a2\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BD} = -a^2.

Lời giải:

  • A. Đúng vì ABCDABCD là hình vuông nên (AB→,BD→)=45∘(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BD}) = 45^\circ.

  • B. Sai vì AC→⋅BC→=∣AC→∣⋅∣BC→∣cos⁡45∘=a2⋅a⋅22=a2\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC} = \left| \overrightarrow{AC} \right| \cdot \left| \overrightarrow{BC} \right| \cos 45^\circ = a\sqrt{2} \cdot a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = a^2.

  • C. Sai vì

    • AC→=(a;a)\overrightarrow{AC} = (a; a),
    • BD→=(a;−a)\overrightarrow{BD} = (a; -a).

AC→⋅BD→=a⋅a+a⋅(−a)=0\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = a \cdot a + a \cdot (-a) = 0.

  • D. Đúng vì
    • BA→=(−a;0)\overrightarrow{BA} = (-a; 0),
    • BD→=(a;−a)\overrightarrow{BD} = (a; -a).

BA→⋅BD→=(−a)⋅a+0⋅(−a)=−a2\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BD} = (-a) \cdot a + 0 \cdot (-a) = -a^2.

Kết quả: D

B - TỰ LUẬN

4.33. Trên cạnh BCBC của tam giác ABCABC lấy điểm MM sao cho MB=3MCMB = 3MC.

a) Tìm mối liên hệ giữa hai vecto MB→\overrightarrow{MB} và MC→\overrightarrow{MC}. b) Biểu thị vecto AM→\overrightarrow{AM} theo hai vecto AB→\overrightarrow{AB} và AC→\overrightarrow{AC}.

Lời giải: a) Ta có MB=3MC⇒MB→=3MC→MB = 3MC \Rightarrow \overrightarrow{MB} = 3 \overrightarrow{MC}.

b) Ta có

  • AM→=AB→+BM→=AB→−MB→\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{MB},
  • AM→=AC→+CM→=AC→−MC→\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{MC}.

Mà MB→=3MC→⇒MC→=13MB→\overrightarrow{MB} = 3 \overrightarrow{MC} \Rightarrow \overrightarrow{MC} = \frac{1}{3} \overrightarrow{MB}.

AM→=AB→−MB→=AB→−3MC→=AB→−3(AC→−AM→)\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{AB} - 3 \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{AB} - 3(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AM}),

AM→=AB→−3AC→+3AM→\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} - 3 \overrightarrow{AC} + 3 \overrightarrow{AM}.

⇒−2AM→=AB→−3AC→\Rightarrow -2 \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} - 3 \overrightarrow{AC}.

AM→=32AC→−12AB→\overrightarrow{AM} = \frac{3}{2} \overrightarrow{AC} - \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}.

Kết quả:

  • a) MB→=3MC→\overrightarrow{MB} = 3 \overrightarrow{MC}.
  • b) AM→=32AC→−12AB→\overrightarrow{AM} = \frac{3}{2} \overrightarrow{AC} - \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}.

Trang 73 — Vectơ

Bài 4.34. Cho hình bình hành ABCDABCD. Chứng minh rằng với mọi điểm MM, ta có: MA→+MC→=MB→+MD→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD}.

Lời giải: Ta có:

  • MA→+MC→=MB→+BA→+MD→+DC→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DC}
  • Vì ABCDABCD là hình bình hành nên BA→=DC→\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{DC}.
  • Do đó: MA→+MC→=MB→+BA→+MD→+DC→=MB→+MD→+BA→+DC→=MB→+MD→+BA→+BA→=MB→+MD→.\begin{aligned} \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} &= \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DC} \\ &= \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DC} \\ &= \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BA} \\ &= \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD}. \end{aligned}

Kết quả: MA→+MC→=MB→+MD→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD}.

Bài 4.35. Trong mặt phẳng tọa độ OxyOxy, cho A(2;1),B(−2;5)A(2;1), B(-2;5) và C(−5;−2)C(-5;-2).

a) Tìm tọa độ của các vecto BA→\overrightarrow{BA} và BC→\overrightarrow{BC}.

Lời giải:

  • BA→=(2−(−2);1−5)=(4;−4)\overrightarrow{BA} = (2 - (-2); 1 - 5) = (4; -4)
  • BC→=(−5−(−2);−2−5)=(−3;−7)\overrightarrow{BC} = (-5 - (-2); -2 - 5) = (-3; -7)

Kết quả: BA→=(4;−4),BC→=(−3;−7)\overrightarrow{BA} = (4; -4), \overrightarrow{BC} = (-3; -7).

b) Chứng minh rằng A,B,CA, B, C là ba đỉnh của một tam giác vuông. Tính diện tích và chu vi của tam giác đó.

Lời giải:

  • AB→=(−2−2;5−1)=(−4;4)\overrightarrow{AB} = (-2 - 2; 5 - 1) = (-4; 4)
  • AC→=(−5−2;−2−1)=(−7;−3)\overrightarrow{AC} = (-5 - 2; -2 - 1) = (-7; -3)
  • BC→=(−3;−7)\overrightarrow{BC} = (-3; -7) (tính ở câu a)

Ta có:

  • AB→⋅BC→=(−4)⋅(−3)+4⋅(−7)=12−28=−16\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (-4) \cdot (-3) + 4 \cdot (-7) = 12 - 28 = -16
  • BC→⋅AC→=(−3)⋅(−7)+(−7)⋅(−3)=21+21=42\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AC} = (-3) \cdot (-7) + (-7) \cdot (-3) = 21 + 21 = 42
  • AB→⋅AC→=(−4)⋅(−7)+4⋅(−3)=28−12=16\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-4) \cdot (-7) + 4 \cdot (-3) = 28 - 12 = 16

Vì AB→⋅BC→+BC→⋅AC→=−16+42=26≠0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AC} = -16 + 42 = 26 \neq 0 và AB→⋅AC→=16≠0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 16 \neq 0 nên A,B,CA, B, C là ba đỉnh của một tam giác.

Tính độ dài các cạnh:

  • AB=(−4)2+42=16+16=32=42AB = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}
  • BC=(−3)2+(−7)2=9+49=58BC = \sqrt{(-3)^2 + (-7)^2} = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58}
  • AC=(−7)2+(−3)2=49+9=58AC = \sqrt{(-7)^2 + (-3)^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58}

Diện tích tam giác ABCABC: $$ \begin{aligned} S &= \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| \ &= \frac{1}{2}|(-4) \cdot (-3) - 4 \cdot (-7)| \ &= \frac{1}{2}|12 + 28| \ &= \frac{1}{2} \cdot 40 \ &= 20. \end{aligned} $$

Chu vi tam giác ABCABC: $$ \begin{aligned} P &= AB + BC + AC \ &= 4\sqrt{2} + \sqrt{58} + \sqrt{58} \ &= 4\sqrt{2} + 2\sqrt{58}. \end{aligned} $$

Kết quả:

  • Tam giác ABCABC vuông tại BB.
  • Diện tích: 2020.
  • Chu vi: 42+2584\sqrt{2} + 2\sqrt{58}.

c) Tìm tọa độ trọng tâm GG của tam giác ABCABC.

Lời giải: Tọa độ trọng tâm GG: $$ \begin{aligned} G &= \left(\frac{2 + (-2) + (-5)}{3}; \frac{1 + 5 + (-2)}{3}\right) \ &= \left(\frac{-5}{3}; \frac{4}{3}\right). \end{aligned} $$

Kết quả: G(−53;43)G\left(\frac{-5}{3}; \frac{4}{3}\right).

d) Tìm tọa độ của điểm DD sao cho tứ giác BCADBCAD là một hình bình hành.

Lời giải: Vì BCADBCAD là hình bình hành nên CA→=DB→\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{DB}.

Ta có:

  • CA→=(2−(−5);1−(−2))=(7;3)\overrightarrow{CA} = (2 - (-5); 1 - (-2)) = (7; 3)

Gọi D(x;y)D(x; y):

  • DB→=(−2−x;5−y)\overrightarrow{DB} = (-2 - x; 5 - y)

Từ CA→=DB→\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{DB}: $$ \begin{aligned} -2 - x &= 7 \ 5 - y &= 3 \end{aligned} $$

Giải hệ: $$ \begin{aligned} x &= -9 \ y &= 2 \end{aligned} $$

Kết quả: D(−9;2)D(-9; 2).

Bài 4.36. Trong mặt phẳng tọa độ OxyOxy, cho A(1;2),B(3;4),C(−1;−2)A(1;2), B(3;4), C(-1;-2) và D(6;5)D(6;5).

a) Tìm tọa độ của các vecto AB→\overrightarrow{AB} và CD→\overrightarrow{CD}.

Lời giải:

  • AB→=(3−1;4−2)=(2;2)\overrightarrow{AB} = (3 - 1; 4 - 2) = (2; 2)
  • CD→=(6−(−1);5−(−2))=(7;7)\overrightarrow{CD} = (6 - (-1); 5 - (-2)) = (7; 7)

Kết quả: AB→=(2;2),CD→=(7;7)\overrightarrow{AB} = (2; 2), \overrightarrow{CD} = (7; 7).

b) Hãy giải thích tại sao các vecto AB→\overrightarrow{AB} và CD→\overrightarrow{CD} cùng phương.

Lời giải: Ta có: CD→=72AB→\overrightarrow{CD} = \frac{7}{2} \overrightarrow{AB}.

Vậy AB→\overrightarrow{AB} và CD→\overrightarrow{CD} cùng phương.

Kết quả: AB→\overrightarrow{AB} và CD→\overrightarrow{CD} cùng phương.

c) Giả sử EE là điểm có tọa độ (a;1)(a;1). Tìm aa để các vecto AC→\overrightarrow{AC} và BE→\overrightarrow{BE} cùng phương.

Lời giải:

  • AC→=(−1−1;−2−2)=(−2;−4)\overrightarrow{AC} = (-1 - 1; -2 - 2) = (-2; -4)
  • BE→=(a−3;1−4)=(a−3;−3)\overrightarrow{BE} = (a - 3; 1 - 4) = (a - 3; -3)

Để AC→\overrightarrow{AC} và BE→\overrightarrow{BE} cùng phương: $$ \begin{aligned} \frac{a - 3}{-2} &= \frac{-3}{-4} \ 4a - 12 &= 6 \ 4a &= 18 \ a &= \frac{9}{2}. \end{aligned} $$

Kết quả: a=92a = \frac{9}{2}.

d) Với aa tìm được, hãy biểu thị vecto AE→\overrightarrow{AE} theo các vecto AB→\overrightarrow{AB} và AC→\overrightarrow{AC}.

Lời giải:

  • AE→=(92−1;1−2)=(72;−1)\overrightarrow{AE} = \left(\frac{9}{2} - 1; 1 - 2\right) = \left(\frac{7}{2}; -1\right)

Ta có:

  • AB→=(2;2)\overrightarrow{AB} = (2; 2)
  • AC→=(−2;−4)\overrightarrow{AC} = (-2; -4)

Giả sử AE→=mAB→+nAC→\overrightarrow{AE} = m\overrightarrow{AB} + n\overrightarrow{AC}: $$ \begin{aligned} \left(\frac{7}{2}; -1\right) &= m(2; 2) + n(-2; -4) \ &= (2m - 2n; 2m - 4n). \end{aligned} $$

Từ đó: $$ \begin{aligned} 2m - 2n &= \frac{7}{2} \ 2m - 4n &= -1 \end{aligned} $$

Giải hệ: $$ \begin{aligned} m - n &= \frac{7}{4} \ m - 2n &= -\frac{1}{2}. \end{aligned} $$

n=74−mm−2(74−m)=−12m−72+2m=−123m=3m=1n=34.\begin{aligned} n &= \frac{7}{4} - m \\ m - 2(\frac{7}{4} - m) &= -\frac{1}{2} \\ m - \frac{7}{2} + 2m &= -\frac{1}{2} \\ 3m &= 3 \\ m &= 1 \\ n &= \frac{3}{4}. \end{aligned}

Vậy AE→=AB→+34AC→\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AC}.

Kết quả: AE→=AB→+34AC→\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AC}.

Trang 73 — CHƯƠNG V CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA MẪU SỐ LIỆU KHÔNG GHÉP NHÓM

Không có bài tập, chỉ có lý thuyết về số gần đúng và sai số.

Trang 74 — CHƯƠNG V CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA MẪU SỐ LIỆU KHÔNG GHÉP NHÓM

Bài 12. Không có bài tập, chỉ có lý thuyết về số gần đúng và sai số.

SKIP

Trang 75 — Số gần đúng và sai số

Bài 1. Ngày 8−12−20208-12-2020, Trung Quốc và Nepal ra thông cáo chung khẳng định chiều cao mới đo được của đỉnh núi cao nhất thế giới Everest là 8848,868 848,86 m.

Trong các số được đưa ra ở tình huống mở đầu, số nào gần nhất với số được công bố ở trên?

Lời giải:

Các số được đưa ra ở tình huống mở đầu là 8848,858 848,85 m và 8848,98 848,9 m.

Ta có:

  • 8848,85−8848,86=−0,018 848,85 - 8 848,86 = -0,01
  • 8848,9−8848,86=0,048 848,9 - 8 848,86 = 0,04

Do ∣−0,01∣<∣0,04∣\left| -0,01 \right| < \left| 0,04 \right| nên trong hai số 8848,858 848,85 và 8848,98 848,9, số 8848,858 848,85 gần với số 8848,868 848,86 hơn.

Kết quả: 8848,858 848,85 m.

Bài 2. Trang và Hòa thực hiện đo thể tích một cốc nước bằng hai ống đong có vạch chia được kết quả như Hình 5.15.1.

Hãy cho biết số đo thể tích trên mỗi ống.

Lời giải:

Quan sát Hình 5.15.1, ta thấy:

  • Ống đong thứ nhất có vạch chia 1313 và 1414, mức nước đang ở vạch 1313. Do đó, số đo thể tích trên ống đong thứ nhất là 1313 cm3^3.

  • Ống đong thứ hai có vạch chia 1313 và 13,113,1, mức nước đang ở vạch 13,113,1. Do đó, số đo thể tích trên ống đong thứ hai là 13,113,1 cm3^3.

Kết quả: 1313 cm3^3 và 13,113,1 cm3^3.

Ví dụ 1. Gọi dd là độ dài đường chéo của hình vuông cạnh bằng 11. Trong hai số 2\sqrt{2} và 1,411,41, số nào là số đúng, số nào là số gần đúng của dd?

Lời giải:

Hình vuông có cạnh bằng 11 có độ dài đường chéo là d=12+12=2d = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}.

Vậy 2\sqrt{2} là số đúng; 1,411,41 là số gần đúng của dd.

Kết quả: 2\sqrt{2} là số đúng; 1,411,41 là số gần đúng.

Luyện tập 1. Gọi PP là chu vi đường tròn bán kính 11 cm. Hãy tìm một giá trị gần đúng của PP.

Lời giải:

Ta có: P=2πr=2π⋅1=2πP = 2\pi r = 2\pi \cdot 1 = 2\pi cm.

Dùng máy tính cầm tay, ta tính được 2π≈6,282\pi \approx 6,28.

Kết quả: 6,286,28 cm.

2. Sai số tuyệt đối và sai số tương đối

a. Sai số tuyệt đối

HĐ3. Trong HĐ2, Hòa dùng kinh lúp để quan sát mực nước trên ống đo thứ hai được hình ảnh như Hình 5.25.2. Kí hiệu a~\tilde{a} (cm3^3) là số đo thể tích của nước.

Quan sát hình vẽ để so sánh ∣13−a~∣\left| 13 - \tilde{a} \right| và ∣13,1−a~∣\left| 13,1 - \tilde{a} \right| rồi cho biết trong hai số đo thể tích 1313 cm3^3 và 13,113,1 cm3^3, số đo nào gần với thể tích của cốc nước hơn.

Lời giải:

Quan sát Hình 5.25.2, ta thấy:

  • Mức nước đang ở gần vạch 13,113,1 hơn vạch 1313.

Do đó, ∣13,1−a~∣<∣13−a~∣\left| 13,1 - \tilde{a} \right| < \left| 13 - \tilde{a} \right|.

Vậy số đo thể tích 13,113,1 cm3^3 gần với thể tích của cốc nước hơn.

Kết quả: 13,113,1 cm3^3.