Giải Toán 10 Tập 1 trang 82-85 - Kết nối tri thức

Trang 82 — Chương 5: Các số đặc trưng của mẫu số liệu không ghép nhóm

Luyện tập 3. Bảng sau đây cho biết số lần học tiếng Anh trên Internet trong một tuần của một số học sinh lớp 10:

Số lần	0	1	2	3	4	5
Số học sinh	2	4	6	12	8	3

Hãy tìm các tứ phân vị cho mẫu số liệu này.

Lời giải:

Để tìm các tứ phân vị $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$, ta thực hiện các bước sau:

1. Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần:

   • Số lần: 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5

   Mẫu số liệu sắp xếp:

$$0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5$$

2. Tính cỡ mẫu $n = 35$.

   • Ta có $n = 35$, là số lẻ.

3. Tìm $Q_2$ (Trung vị):

   • $Q_2$ là giá trị ở vị trí $\frac{35 + 1}{2} = 18.$
   • Giá trị ở vị trí thứ $18$ là $3.$
   • Do đó $Q_2 = 3.$

4. Tìm $Q_1$ (Tứ phân vị thứ nhất):

   • $Q_1$ là trung vị của nửa mẫu số liệu bên trái $Q_2,$ tức là $\left\{ 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3 \right\}.$
   • Nửa mẫu số liệu này có $17$ số, là số lẻ.
   • $Q_1$ là giá trị ở vị trí $\frac{17 + 1}{2} = 9.$
   • Giá trị ở vị trí thứ $9$ là $2.$
   • Do đó $Q_1 = 2.$

5. Tìm $Q_3$ (Tứ phân vị thứ ba):

   • $Q_3$ là trung vị của nửa mẫu số liệu bên phải $Q_2,$ tức là $\left\{ 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5 \right\}.$
   • Nửa mẫu số liệu này có $17$ số, là số lẻ.
   • $Q_3$ là giá trị ở vị trí $\frac{17 + 1}{2} = 9.$
   • Giá trị ở vị trí thứ $9$ là $4.$
   • Do đó $Q_3 = 4.$

Kết quả:

• $Q_1 = 2,$
• $Q_2 = 3,$
• $Q_3 = 4.$

---

Bài tiếp theo không có trên trang này.

Vì các nội dung còn lại trên trang chỉ là phần lý thuyết và các ví dụ, không có bài tập nào yêu cầu giải. Do đó:

---

Trang 83 —

Bài 5.7. Tìm số trung bình, trung vị, mốt và tứ phân vị của mỗi mẫu số liệu sau đây:

a) Số điểm mà năm vận động viên bóng rổ ghi được trong một trận đấu:

$$9 \quad 8 \quad 8 \quad 15 \quad 8 \quad 20$$

Lời giải:

a) Số điểm mà năm vận động viên bóng rổ ghi được trong một trận đấu

1. Số trung bình

Số trung bình được tính bằng công thức:

$$\bar{x} = \frac{\text{tổng các giá trị}}{\text{số lượng giá trị}}$$

Tính tổng các giá trị:

$$9 + 8 + 8 + 15 + 8 + 20 = 68$$

Số lượng giá trị là $6$. Do đó,

$$\bar{x} = \frac{68}{6} \approx 11.33$$

2. Trung vị

• Sắp xếp các số liệu theo thứ tự tăng dần:

$$8, \quad 8, \quad 8, \quad 9, \quad 15, \quad 20$$

• Số lượng giá trị là $6$ (chẵn), nên trung vị là giá trị trung bình của hai số ở giữa:
  • Hai số ở giữa là $8$ và $9$.

$$\text{Trung vị} = \frac{8 + 9}{2} = 8.5$$

3. Mốt

• Mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất. Trong mẫu số liệu này, số $8$ xuất hiện $3$ lần, nhiều hơn các giá trị khác.

$$\text{Mốt} = 8$$

4. Tứ phân vị

• Sắp xếp dãy số đã làm ở trên:

$$8, \quad 8, \quad 8, \quad 9, \quad 15, \quad 20$$

1. Tứ phân vị thứ nhất $Q_1$:

   • Với $n = 6$, ta có $Q_1$ là giá trị thứ $\lceil \frac{n}{4} \rceil = 2$.
   • $Q_1 = 8$.

2. Tứ phân vị thứ ba $Q_3$:

   • $Q_3$ là giá trị thứ $\lceil \frac{3n}{4} \rceil = 5$.
   • $Q_3 = 15$.

Kết quả:

• $\bar{x} \approx 11.33$
• $\text{Trung vị} = 8.5$
• $\text{Mốt} = 8$
• $Q_1 = 8$, $Q_3 = 15$

Bài 5.7 (tiếp). Tìm số trung bình, trung vị, mốt và tứ phân vị của mỗi mẫu số liệu sau đây:

b) Giá của một số loại giày (đơn vị nghìn đồng):

$$350 \quad 300 \quad 650 \quad 300 \quad 450 \quad 500 \quad 300 \quad 250$$

Lời giải:

b) Giá của một số loại giày

1. Số trung bình

Tính tổng các giá trị:

$$350 + 300 + 650 + 300 + 450 + 500 + 300 + 250 = 3100$$

Số lượng giá trị là $8$. Do đó,

$$\bar{x} = \frac{3100}{8} = 387.5$$

2. Trung vị

• Sắp xếp các số liệu theo thứ tự tăng dần:

$$250, \quad 300, \quad 300, \quad 300, \quad 350, \quad 450, \quad 500, \quad 650$$

• Số lượng giá trị là $8$ (chẵn), nên trung vị là giá trị trung bình của hai số ở giữa:
  • Hai số ở giữa là $300$ và $350$.

$$\text{Trung vị} = \frac{300 + 350}{2} = 325$$

3. Mốt

• Mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất. Trong mẫu số liệu này, số $300$ xuất hiện $3$ lần, nhiều hơn các giá trị khác.

$$\text{Mốt} = 300$$

4. Tứ phân vị

• Sắp xếp dãy số đã làm ở trên:

$$250, \quad 300, \quad 300, \quad 300, \quad 350, \quad 450, \quad 500, \quad 650$$

1. Tứ phân vị thứ nhất $Q_1$:

   • Với $n = 8$, ta có $Q_1$ là giá trị thứ $\lceil \frac{n}{4} \rceil = 2$.
   • $Q_1 = 300$.

2. Tứ phân vị thứ ba $Q_3$:

   • $Q_3$ là giá trị thứ $\lceil \frac{3n}{4} \rceil = 6$.
   • $Q_3 = 450$.

Kết quả:

• $\bar{x} = 387.5$
• $\text{Trung vị} = 325$
• $\text{Mốt} = 300$
• $Q_1 = 300$, $Q_3 = 450$

Bài 5.7 (tiếp). Tìm số trung bình, trung vị, mốt và tứ phân vị của mỗi mẫu số liệu sau đây:

c) Số kênh được chiếu của một số hãng truyền hình cáp:

$$36 \quad 38 \quad 33 \quad 34 \quad 32 \quad 30 \quad 34 \quad 35$$

Lời giải:

c) Số kênh được chiếu của một số hãng truyền hình cáp

1. Số trung bình

Tính tổng các giá trị:

$$36 + 38 + 33 + 34 + 32 + 30 + 34 + 35 = 272$$

Số lượng giá trị là $8$. Do đó,

$$\bar{x} = \frac{272}{8} = 34$$

2. Trung vị

• Sắp xếp các số liệu theo thứ tự tăng dần:

$$30, \quad 32, \quad 33, \quad 34, \quad 34, \quad 35, \quad 36, \quad 38$$

• Số lượng giá trị là $8$ (chẵn), nên trung vị là giá trị trung bình của hai số ở giữa:
  • Hai số ở giữa là $34$ và $34$.

$$\text{Trung vị} = \frac{34 + 34}{2} = 34$$

3. Mốt

• Mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất. Trong mẫu số liệu này, số $34$ xuất hiện $2$ lần, nhiều hơn các giá trị khác.

$$\text{Mốt} = 34$$

4. Tứ phân vị

• Sắp xếp dãy số đã làm ở trên:

$$30, \quad 32, \quad 33, \quad 34, \quad 34, \quad 35, \quad 36, \quad 38$$

1. Tứ phân vị thứ nhất $Q_1$:

   • Với $n = 8$, ta có $Q_1$ là giá trị thứ $\lceil \frac{n}{4} \rceil = 2$.
   • $Q_1 = 32$.

2. Tứ phân vị thứ ba $Q_3$:

   • $Q_3$ là giá trị thứ $\lceil \frac{3n}{4} \rceil = 6$.
   • $Q_3 = 35$.

Kết quả:

• $\bar{x} = 34$
• $\text{Trung vị} = 34$
• $\text{Mốt} = 34$
• $Q_1 = 32$, $Q_3 = 35$

---

Bài 5.9

Bài 5.9. Số lượng học sinh giỏi Quốc gia năm học $2018-2019$ của $10$ trường Trung học phổ thông được cho như sau:

$$0\space 0\space 4\space 0\space 0\space 0\space 1\space 0\space 0\space 6$$

a) Tính số trung bình, mốt, các tứ phân vị của mẫu số liệu trên.

b) Giải thích tại sao tứ phân vị thứ nhất và trung vị trùng nhau.

Lời giải:

a) Số trung bình

Số trung bình của mẫu số liệu trên là

$$\begin{aligned} \overline{x}&=\frac{0+0+4+0+0+0+1+0+0+6}{10}\\ &=\frac{11}{10}\\ &= 1.1 \end{aligned}$$

Mốt

Trong dãy số liệu, giá trị $0$ xuất hiện nhiều nhất, do đó mốt của mẫu số liệu là $\text{Mo} = 0\,.$

Các tứ phân vị

Ta sắp xếp các số liệu theo thứ tự tăng dần, mẫu số liệu trở thành

$$0\space 0\space 0\space 0\space 0\space 0\space 1\space 4\space 6$$

• Vì $n=10$ nên $\frac{n}{2} = 5$. Do đó, trung vị là

$$\begin{aligned} M_e&=\frac{0+0}{2}\\ &=0\,. \end{aligned}$$

• Tứ phân vị thứ nhất là số thứ $\frac{n}{4} = 2.5$ nên ta lấy giá trị ở vị trí thứ $3$ là $0\,.$

• Tứ phân vị thứ ba là số thứ $\frac{3n}{4} = 7.5$ nên ta lấy giá trị ở vị trí thứ $8$ là $0\,.$

b) Vì sao tứ phân vị thứ nhất và trung vị trùng nhau

Tứ phân vị thứ nhất và trung vị trùng nhau vì số liệu nhỏ hơn trung vị là $0$ chiếm phần lớn trong mẫu số liệu.

Kết quả: $\overline{x}=1.1;\,\,\text{Mo}=0;\,\,\,Q_1=0;\,\,\,M_e=0;\,\,\,Q_3=0\,.$

Bài 5.10

Bài 5.10. Bảng sau đây cho biết số chỗ ngồi của một số sân vận động được sử dụng trong Giải Bóng đá Vô địch Quốc gia Việt Nam năm $2018$ (số liệu gần đúng).

Sân vận động	Cẩm Phả	Thiên Trường	Hàng Đẫy	Thanh Hóa	Mỹ Đình
Số chỗ ngồi	$20\space 120$	$21\space315$	$23\space405$	$20\space120$	$37\space546$

Các giá trị số trung bình, trung vị, mốt bị ảnh hưởng thế nào nếu bỏ đi số liệu chỗ ngồi của Sân vận động Quốc gia Mỹ Đình?

Lời giải:

Số liệu ban đầu

• Số chỗ ngồi của một số sân vận động được sử dụng trong Giải Bóng đá Vô địch Quốc gia Việt Nam năm $2018$ là

$$20\space 120;\,\, 21\space 315;\,\, 23\space 405;\,\, 20\space 120;\,\, 37\space 546\,.$$

Các giá trị

Trung bình

Số trung bình của mẫu số liệu ban đầu là

$$\begin{aligned} \overline{x} &=\frac{20\space 120 + 21\space 315 + 23\space 405 + 20\space 120 + 37\space546}{5}\\ &=\frac{122\space 506}{5}\\ &= 24\space 501.2 \end{aligned}$$

Trung vị

• Ta sắp xếp các số liệu theo thứ tự tăng dần, mẫu số liệu trở thành

$$20\space 120;\,\, 20\space 120;\,\, 21\space 315;\,\, 23\space 405;\,\, 37\space546\,.$$

• Vì $n=5$ nên $\frac{n}{2} = 2.5$ . Do đó, trung vị là

$$\begin{aligned} M_e&=\frac{20\space 120 + 21\space 315}{2}\\ &=20\space 717.5\,. \end{aligned}$$

Mốt

Trong dãy số liệu, giá trị $20\space 120$ xuất hiện nhiều nhất, do đó mốt của mẫu số liệu là $\text{Mo} = 20\space 120\,.$

Nếu bỏ đi số liệu chỗ ngồi của Sân vận động Quốc gia Mỹ Đình

• Số liệu mới trở thành

$$20\space 120;\,\, 20\space 120;\,\, 21\space 315;\,\, 23\space 405$$

Các giá trị mới

Trung bình

Số trung bình của mẫu số liệu mới là

$$\begin{aligned} \overline{x} &=\frac{20\space 120 + 20\space 120 + 21\space 315 + 23\space 405}{4}\\ &=\frac{85\space 960}{4}\\ &= 21\space 490 \end{aligned}$$

Trung vị

• Ta sắp xếp các số liệu theo thứ tự tăng dần (không đổi), mẫu số liệu trở thành

$$20\space 120;\,\, 20\space 120;\,\, 21\space 315;\,\, 23\space 405$$

• Vì $n=4$ nên $\frac{n}{2} = 2$. Do đó, trung vị là

$$\begin{aligned} M_e&=\frac{20\space 120 + 21\space 315}{2}\\ &=20\space 717.5\,. \end{aligned}$$

Mốt

Trong dãy số liệu, giá trị $20\space 120$ xuất hiện nhiều nhất, do đó mốt của mẫu số liệu là $\text{Mo} = 20\space 120\,.$

So sánh

• Số trung bình: giảm từ $24\space 501.2$ xuống $21\space 490$ do số lớn nhất $37\space 546$ bị loại bỏ.

• Trung vị: vẫn giữ nguyên ở mức $20\space 717.5$ vì giá trị lớn nhất bị loại bỏ không ảnh hưởng đến hai giá trị ở giữa.

• Mốt: vẫn là $20\space 120$ vì tần suất xuất hiện không đổi.

Kết quả: Bỏ số liệu của Sân vận động Quốc gia Mỹ Đình làm giảm số trung bình, không ảnh hưởng đến trung vị và mốt.

---

Trang 85 — Các số đặc trưng đo độ phân tán

Bài 1. Một cổ động viên của câu lạc bộ Everton, Anh đã thống kê điểm số mà hai Câu lạc bộ Leicester City và Everton đạt được trong năm mùa giải Ngoại hạng Anh gần đây, từ mùa giải $2014 - 2015$ đến mùa giải $2018 - 2019$ như sau:

Leicester City: $41 \quad 81 \quad 44 \quad 47 \quad 52.$

Everton: $47 \quad 47 \quad 61 \quad 49 \quad 54.$

Cổ động viên đó cho rằng, Everton thi đấu ổn định hơn Leicester City. Em có đồng ý với nhận định này không? Vì sao?

Lời giải:

Để so sánh độ ổn định trong thành tích của hai câu lạc bộ, ta sẽ tính khoảng biến thiên của điểm số trong $5$ mùa giải của mỗi câu lạc bộ.

Đối với Leicester City, điểm thấp nhất là $41$ và điểm cao nhất là $81.$

Khoảng biến thiên của điểm số Leicester City là:

$$R = 81 - 41 = 40\,.$$

Đối với Everton, điểm thấp nhất là $47$ và điểm cao nhất là $61.$

Khoảng biến thiên của điểm số Everton là:

$$R = 61 - 47 = 14\,.$$

Vì khoảng biến thiên của điểm số Everton ($14$) nhỏ hơn khoảng biến thiên của điểm số Leicester City ($40$), nên thành tích của Everton ổn định hơn.

Do đó, cổ động viên đó đồng ý với nhận định Everton thi đấu ổn định hơn Leicester City.

Kết quả: Đồng ý

Bài 2.
Ví dụ 1. Điểm kiểm tra học kì môn Toán của các bạn Tổ $1$, Tổ $2$ lớp $10A$ được cho như sau:

Tổ $1$: $7 \quad 8 \quad 8 \quad 9 \quad 8 \quad 8 \quad 8.$

Tổ $2$: $10 \quad 6 \quad 8 \quad 9 \quad 9 \quad 7 \quad 8 \quad 7 \quad 8.$

Lời giải:

Tổ $1$:

• Điểm thấp nhất là $7$ và điểm cao nhất là $9.$

Khoảng biến thiên của điểm số Tổ $1$ là:

$$R = 9 - 7 = 2\,.$$

Tổ $2$:

• Điểm thấp nhất là $6$ và điểm cao nhất là $10.$

Khoảng biến thiên của điểm số Tổ $2$ là:

$$R = 10 - 6 = 4\,.$$

Kết quả: $\text{Khoảng biến thiên Tổ }1: 2;\ \text{Khoảng biến thiên Tổ }2: 4.$