Trang 82 — Chương 5: Các số đặc trưng của mẫu số liệu không ghép nhóm

Luyện tập 3. Bảng sau đây cho biết số lần học tiếng Anh trên Internet trong một tuần của một số học sinh lớp 10:

Số lần 0 1 2 3 4 5
Số học sinh 2 4 6 12 8 3

Hãy tìm các tứ phân vị cho mẫu số liệu này.

Lời giải:

Để tìm các tứ phân vị Q1Q_1, Q2Q_2, Q3Q_3, ta thực hiện các bước sau:

  1. Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần:

    • Số lần: 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5

    Mẫu số liệu sắp xếp: $$ 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5 $$

  2. Tính cỡ mẫu n=35n = 35.

    • Ta có n=35n = 35, là số lẻ.

  3. Tìm Q2Q_2 (Trung vị):

    • Q2Q_2 là giá trị ở vị trí 35+12=18.\frac{35 + 1}{2} = 18.
    • Giá trị ở vị trí thứ 1818 là 3.3.
    • Do đó Q2=3.Q_2 = 3.

  4. Tìm Q1Q_1 (Tứ phân vị thứ nhất):

    • Q1Q_1 là trung vị của nửa mẫu số liệu bên trái Q2,Q_2, tức là {0,0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3}.\left\{ 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3 \right\}.
    • Nửa mẫu số liệu này có 1717 số, là số lẻ.
    • Q1Q_1 là giá trị ở vị trí 17+12=9.\frac{17 + 1}{2} = 9.
    • Giá trị ở vị trí thứ 99 là 2.2.
    • Do đó Q1=2.Q_1 = 2.

  5. Tìm Q3Q_3 (Tứ phân vị thứ ba):

    • Q3Q_3 là trung vị của nửa mẫu số liệu bên phải Q2,Q_2, tức là {3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5}.\left\{ 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5 \right\}.
    • Nửa mẫu số liệu này có 1717 số, là số lẻ.
    • Q3Q_3 là giá trị ở vị trí 17+12=9.\frac{17 + 1}{2} = 9.
    • Giá trị ở vị trí thứ 99 là 4.4.
    • Do đó Q3=4.Q_3 = 4.

Kết quả:

  • Q1=2,Q_1 = 2,
  • Q2=3,Q_2 = 3,
  • Q3=4.Q_3 = 4.

Bài tiếp theo không có trên trang này.

Vì các nội dung còn lại trên trang chỉ là phần lý thuyết và các ví dụ, không có bài tập nào yêu cầu giải. Do đó:

SKIP

Trang 83 —

Bài 5.7. Tìm số trung bình, trung vị, mốt và tứ phân vị của mỗi mẫu số liệu sau đây:

a) Số điểm mà năm vận động viên bóng rổ ghi được trong một trận đấu: $$ 9 \quad 8 \quad 8 \quad 15 \quad 8 \quad 20 $$

Lời giải:

a) Số điểm mà năm vận động viên bóng rổ ghi được trong một trận đấu

1. Số trung bình

Số trung bình được tính bằng công thức: $$ \bar{x} = \frac{\text{tổng các giá trị}}{\text{số lượng giá trị}} $$

Tính tổng các giá trị: $$ 9 + 8 + 8 + 15 + 8 + 20 = 68 $$

Số lượng giá trị là 66. Do đó, $$ \bar{x} = \frac{68}{6} \approx 11.33 $$

2. Trung vị

  • Sắp xếp các số liệu theo thứ tự tăng dần:

    8,8,8,9,15,208, \quad 8, \quad 8, \quad 9, \quad 15, \quad 20

  • Số lượng giá trị là 66 (chẵn), nên trung vị là giá trị trung bình của hai số ở giữa:

    • Hai số ở giữa là 88 và 99.Trung vị=8+92=8.5\text{Trung vị} = \frac{8 + 9}{2} = 8.5

3. Mốt

  • Mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất. Trong mẫu số liệu này, số 88 xuất hiện 33 lần, nhiều hơn các giá trị khác.Moˆˊt=8\text{Mốt} = 8

4. Tứ phân vị

  • Sắp xếp dãy số đã làm ở trên:8,8,8,9,15,208, \quad 8, \quad 8, \quad 9, \quad 15, \quad 20

  1. Tứ phân vị thứ nhất Q1Q_1:

    • Với n=6n = 6, ta có Q1Q_1 là giá trị thứ ⌈n4⌉=2\lceil \frac{n}{4} \rceil = 2.
    • Q1=8Q_1 = 8.

  2. Tứ phân vị thứ ba Q3Q_3:

    • Q3Q_3 là giá trị thứ ⌈3n4⌉=5\lceil \frac{3n}{4} \rceil = 5.
    • Q3=15Q_3 = 15.

Kết quả:

  • xˉ≈11.33\bar{x} \approx 11.33
  • Trung vị=8.5\text{Trung vị} = 8.5
  • Moˆˊt=8\text{Mốt} = 8
  • Q1=8Q_1 = 8, Q3=15Q_3 = 15

Bài 5.7 (tiếp). Tìm số trung bình, trung vị, mốt và tứ phân vị của mỗi mẫu số liệu sau đây:

b) Giá của một số loại giày (đơn vị nghìn đồng):

$$ 350 \quad 300 \quad 650 \quad 300 \quad 450 \quad 500 \quad 300 \quad 250 $$

Lời giải:

b) Giá của một số loại giày

1. Số trung bình

Tính tổng các giá trị: $$ 350 + 300 + 650 + 300 + 450 + 500 + 300 + 250 = 3100 $$

Số lượng giá trị là 88. Do đó, $$ \bar{x} = \frac{3100}{8} = 387.5 $$

2. Trung vị

  • Sắp xếp các số liệu theo thứ tự tăng dần:

    250,300,300,300,350,450,500,650250, \quad 300, \quad 300, \quad 300, \quad 350, \quad 450, \quad 500, \quad 650

  • Số lượng giá trị là 88 (chẵn), nên trung vị là giá trị trung bình của hai số ở giữa:

    • Hai số ở giữa là 300300 và 350350.Trung vị=300+3502=325\text{Trung vị} = \frac{300 + 350}{2} = 325

3. Mốt

  • Mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất. Trong mẫu số liệu này, số 300300 xuất hiện 33 lần, nhiều hơn các giá trị khác.Moˆˊt=300\text{Mốt} = 300

4. Tứ phân vị

  • Sắp xếp dãy số đã làm ở trên:250,300,300,300,350,450,500,650250, \quad 300, \quad 300, \quad 300, \quad 350, \quad 450, \quad 500, \quad 650

  1. Tứ phân vị thứ nhất Q1Q_1:

    • Với n=8n = 8, ta có Q1Q_1 là giá trị thứ ⌈n4⌉=2\lceil \frac{n}{4} \rceil = 2.
    • Q1=300Q_1 = 300.

  2. Tứ phân vị thứ ba Q3Q_3:

    • Q3Q_3 là giá trị thứ ⌈3n4⌉=6\lceil \frac{3n}{4} \rceil = 6.
    • Q3=450Q_3 = 450.

Kết quả:

  • xˉ=387.5\bar{x} = 387.5
  • Trung vị=325\text{Trung vị} = 325
  • Moˆˊt=300\text{Mốt} = 300
  • Q1=300Q_1 = 300, Q3=450Q_3 = 450

Bài 5.7 (tiếp). Tìm số trung bình, trung vị, mốt và tứ phân vị của mỗi mẫu số liệu sau đây:

c) Số kênh được chiếu của một số hãng truyền hình cáp:

$$ 36 \quad 38 \quad 33 \quad 34 \quad 32 \quad 30 \quad 34 \quad 35 $$

Lời giải:

c) Số kênh được chiếu của một số hãng truyền hình cáp

1. Số trung bình

Tính tổng các giá trị: $$ 36 + 38 + 33 + 34 + 32 + 30 + 34 + 35 = 272 $$

Số lượng giá trị là 88. Do đó, $$ \bar{x} = \frac{272}{8} = 34 $$

2. Trung vị

  • Sắp xếp các số liệu theo thứ tự tăng dần:

    30,32,33,34,34,35,36,3830, \quad 32, \quad 33, \quad 34, \quad 34, \quad 35, \quad 36, \quad 38

  • Số lượng giá trị là 88 (chẵn), nên trung vị là giá trị trung bình của hai số ở giữa:

    • Hai số ở giữa là 3434 và 3434.Trung vị=34+342=34\text{Trung vị} = \frac{34 + 34}{2} = 34

3. Mốt

  • Mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất. Trong mẫu số liệu này, số 3434 xuất hiện 22 lần, nhiều hơn các giá trị khác.Moˆˊt=34\text{Mốt} = 34

4. Tứ phân vị

  • Sắp xếp dãy số đã làm ở trên:30,32,33,34,34,35,36,3830, \quad 32, \quad 33, \quad 34, \quad 34, \quad 35, \quad 36, \quad 38

  1. Tứ phân vị thứ nhất Q1Q_1:

    • Với n=8n = 8, ta có Q1Q_1 là giá trị thứ ⌈n4⌉=2\lceil \frac{n}{4} \rceil = 2.
    • Q1=32Q_1 = 32.

  2. Tứ phân vị thứ ba Q3Q_3:

    • Q3Q_3 là giá trị thứ ⌈3n4⌉=6\lceil \frac{3n}{4} \rceil = 6.
    • Q3=35Q_3 = 35.

Kết quả:

  • xˉ=34\bar{x} = 34
  • Trung vị=34\text{Trung vị} = 34
  • Moˆˊt=34\text{Mốt} = 34
  • Q1=32Q_1 = 32, Q3=35Q_3 = 35

Trang 84 —

Bài 5.9

Bài 5.9. Số lượng học sinh giỏi Quốc gia năm học 2018−20192018-2019 của 1010 trường Trung học phổ thông được cho như sau:

$$ 0\space 0\space 4\space 0\space 0\space 0\space 1\space 0\space 0\space 6 $$

a) Tính số trung bình, mốt, các tứ phân vị của mẫu số liệu trên.

b) Giải thích tại sao tứ phân vị thứ nhất và trung vị trùng nhau.

Lời giải:

a) Số trung bình

Số trung bình của mẫu số liệu trên là $$ \begin{aligned} \overline{x}&=\frac{0+0+4+0+0+0+1+0+0+6}{10}\ &=\frac{11}{10}\ &= 1.1 \end{aligned} $$

Mốt

Trong dãy số liệu, giá trị 00 xuất hiện nhiều nhất, do đó mốt của mẫu số liệu là Mo=0 .\text{Mo} = 0\,.

Các tứ phân vị

Ta sắp xếp các số liệu theo thứ tự tăng dần, mẫu số liệu trở thành $$ 0\space 0\space 0\space 0\space 0\space 0\space 1\space 4\space 6 $$

  • Vì n=10n=10 nên n2=5\frac{n}{2} = 5. Do đó, trung vị là

    Me=0+02=0 .\begin{aligned} M_e&=\frac{0+0}{2}\\ &=0\,. \end{aligned}

  • Tứ phân vị thứ nhất là số thứ n4=2.5\frac{n}{4} = 2.5 nên ta lấy giá trị ở vị trí thứ 33 là 0 .0\,.

  • Tứ phân vị thứ ba là số thứ 3n4=7.5\frac{3n}{4} = 7.5 nên ta lấy giá trị ở vị trí thứ 88 là 0 .0\,.

b) Vì sao tứ phân vị thứ nhất và trung vị trùng nhau

Tứ phân vị thứ nhất và trung vị trùng nhau vì số liệu nhỏ hơn trung vị là 00 chiếm phần lớn trong mẫu số liệu.

Kết quả: x‾=1.1;  Mo=0;   Q1=0;   Me=0;   Q3=0 .\overline{x}=1.1;\,\,\text{Mo}=0;\,\,\,Q_1=0;\,\,\,M_e=0;\,\,\,Q_3=0\,.

Bài 5.10

Bài 5.10. Bảng sau đây cho biết số chỗ ngồi của một số sân vận động được sử dụng trong Giải Bóng đá Vô địch Quốc gia Việt Nam năm 20182018 (số liệu gần đúng).

Sân vận động Cẩm Phả Thiên Trường Hàng Đẫy Thanh Hóa Mỹ Đình
Số chỗ ngồi 20 12020\space 120 21 31521\space315 23 40523\space405 20 12020\space120 37 54637\space546

Các giá trị số trung bình, trung vị, mốt bị ảnh hưởng thế nào nếu bỏ đi số liệu chỗ ngồi của Sân vận động Quốc gia Mỹ Đình?

Lời giải:

Số liệu ban đầu

  • Số chỗ ngồi của một số sân vận động được sử dụng trong Giải Bóng đá Vô địch Quốc gia Việt Nam năm 20182018 là20 120;  21 315;  23 405;  20 120;  37 546 .20\space 120;\,\, 21\space 315;\,\, 23\space 405;\,\, 20\space 120;\,\, 37\space 546\,.

Các giá trị

Trung bình

Số trung bình của mẫu số liệu ban đầu là $$ \begin{aligned} \overline{x} &=\frac{20\space 120 + 21\space 315 + 23\space 405 + 20\space 120 + 37\space546}{5}\ &=\frac{122\space 506}{5}\ &= 24\space 501.2 \end{aligned} $$

Trung vị

  • Ta sắp xếp các số liệu theo thứ tự tăng dần, mẫu số liệu trở thành 20 120;  20 120;  21 315;  23 405;  37 546 .20\space 120;\,\, 20\space 120;\,\, 21\space 315;\,\, 23\space 405;\,\, 37\space546\,.
  • Vì n=5n=5 nên n2=2.5\frac{n}{2} = 2.5 . Do đó, trung vị là Me=20 120+21 3152=20 717.5 .\begin{aligned} M_e&=\frac{20\space 120 + 21\space 315}{2}\\ &=20\space 717.5\,. \end{aligned}

Mốt

Trong dãy số liệu, giá trị 20 12020\space 120 xuất hiện nhiều nhất, do đó mốt của mẫu số liệu là Mo=20 120 .\text{Mo} = 20\space 120\,.

Nếu bỏ đi số liệu chỗ ngồi của Sân vận động Quốc gia Mỹ Đình

  • Số liệu mới trở thành 20 120;  20 120;  21 315;  23 40520\space 120;\,\, 20\space 120;\,\, 21\space 315;\,\, 23\space 405

Các giá trị mới

Trung bình

Số trung bình của mẫu số liệu mới là $$ \begin{aligned} \overline{x} &=\frac{20\space 120 + 20\space 120 + 21\space 315 + 23\space 405}{4}\ &=\frac{85\space 960}{4}\ &= 21\space 490 \end{aligned} $$

Trung vị

  • Ta sắp xếp các số liệu theo thứ tự tăng dần (không đổi), mẫu số liệu trở thành 20 120;  20 120;  21 315;  23 40520\space 120;\,\, 20\space 120;\,\, 21\space 315;\,\, 23\space 405
  • Vì n=4n=4 nên n2=2\frac{n}{2} = 2. Do đó, trung vị là Me=20 120+21 3152=20 717.5 .\begin{aligned} M_e&=\frac{20\space 120 + 21\space 315}{2}\\ &=20\space 717.5\,. \end{aligned}

Mốt

Trong dãy số liệu, giá trị 20 12020\space 120 xuất hiện nhiều nhất, do đó mốt của mẫu số liệu là Mo=20 120 .\text{Mo} = 20\space 120\,.

So sánh

  • Số trung bình: giảm từ 24 501.224\space 501.2 xuống 21 49021\space 490 do số lớn nhất 37 54637\space 546 bị loại bỏ.

  • Trung vị: vẫn giữ nguyên ở mức 20 717.520\space 717.5 vì giá trị lớn nhất bị loại bỏ không ảnh hưởng đến hai giá trị ở giữa.

  • Mốt: vẫn là 20 12020\space 120 vì tần suất xuất hiện không đổi.

Kết quả: Bỏ số liệu của Sân vận động Quốc gia Mỹ Đình làm giảm số trung bình, không ảnh hưởng đến trung vị và mốt.

Trang 85 — Các số đặc trưng đo độ phân tán

Bài 1. Một cổ động viên của câu lạc bộ Everton, Anh đã thống kê điểm số mà hai Câu lạc bộ Leicester City và Everton đạt được trong năm mùa giải Ngoại hạng Anh gần đây, từ mùa giải 2014−20152014 - 2015 đến mùa giải 2018−20192018 - 2019 như sau:

Leicester City: 4181444752.41 \quad 81 \quad 44 \quad 47 \quad 52.

Everton: 4747614954.47 \quad 47 \quad 61 \quad 49 \quad 54.

Cổ động viên đó cho rằng, Everton thi đấu ổn định hơn Leicester City. Em có đồng ý với nhận định này không? Vì sao?

Lời giải:

Để so sánh độ ổn định trong thành tích của hai câu lạc bộ, ta sẽ tính khoảng biến thiên của điểm số trong 55 mùa giải của mỗi câu lạc bộ.

Đối với Leicester City, điểm thấp nhất là 4141 và điểm cao nhất là 81.81.

Khoảng biến thiên của điểm số Leicester City là: $$ R = 81 - 41 = 40,. $$

Đối với Everton, điểm thấp nhất là 4747 và điểm cao nhất là 61.61.

Khoảng biến thiên của điểm số Everton là: $$ R = 61 - 47 = 14,. $$

Vì khoảng biến thiên của điểm số Everton (1414) nhỏ hơn khoảng biến thiên của điểm số Leicester City (4040), nên thành tích của Everton ổn định hơn.

Do đó, cổ động viên đó đồng ý với nhận định Everton thi đấu ổn định hơn Leicester City.

Kết quả: Đồng ý

Bài 2.
Ví dụ 1. Điểm kiểm tra học kì môn Toán của các bạn Tổ 11, Tổ 22 lớp 10A10A được cho như sau:

Tổ 11: 7889888.7 \quad 8 \quad 8 \quad 9 \quad 8 \quad 8 \quad 8.

Tổ 22: 1068997878.10 \quad 6 \quad 8 \quad 9 \quad 9 \quad 7 \quad 8 \quad 7 \quad 8.

Lời giải:

Tổ 11:

  • Điểm thấp nhất là 77 và điểm cao nhất là 9.9.

Khoảng biến thiên của điểm số Tổ 11 là: $$ R = 9 - 7 = 2,. $$

Tổ 22:

  • Điểm thấp nhất là 66 và điểm cao nhất là 10.10.

Khoảng biến thiên của điểm số Tổ 22 là: $$ R = 10 - 6 = 4,. $$

Kết quả: Khoảng bieˆˊn thieˆn Tổ 1:2; Khoảng bieˆˊn thieˆn Tổ 2:4.\text{Khoảng biến thiên Tổ }1: 2;\ \text{Khoảng biến thiên Tổ }2: 4.