Giải Toán 10 Tập 1 trang 89 - Kết nối tri thức

Trang 89 —

Bài 5.11. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?

$(1)$ Nếu các giá trị của mẫu số liệu càng tập trung quanh giá trị trung bình thì độ lệch chuẩn càng lớn.

$(2)$ Khoảng biến thiên chỉ sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất và bé nhất, bỏ qua thông tin của các giá trị còn lại.

$(3)$ Khoảng tứ phân vị có sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất.

$(4)$ Khoảng tứ phân vị chính là khoảng biến thiên của nửa dưới mẫu số liệu đã sắp xếp.

$(5)$ Các số đo độ phân tán đều không âm.

Lời giải:

$(1)$ Sai, vì nếu các giá trị của mẫu số liệu càng tập trung quanh giá trị trung bình thì độ lệch chuẩn càng nhỏ.

$(2)$ Đúng, vì khoảng biến thiên được tính bằng hiệu của giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất.

$(3)$ Sai, vì khoảng tứ phân vị được tính bằng hiệu của tứ phân vị thứ ba $Q_3$ và tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ , không sử dụng giá trị lớn nhất và bé nhất.

$(4)$ Sai, vì khoảng tứ phân vị là khoảng từ $Q_1$ đến $Q_3$ , không phải là khoảng biến thiên của nửa dưới mẫu số liệu.

$(5)$ Đúng, vì các số đo độ phân tán như độ lệch chuẩn, phương sai, khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị đều không âm.

Bài 5.12. Cho hai biểu đồ chấm điểm biểu diễn hai mẫu số liệu $\rm A$ , $\rm B$ như sau:

Không tính toán, hãy cho biết:

$a)$ Hai mẫu số liệu này có cùng khoảng biến thiên và số trung bình không?

$b)$ Mẫu số liệu nào có phương sai lớn hơn?

Lời giải:

$a)$

Hai mẫu số liệu có cùng khoảng biến thiên vì khoảng cách từ giá trị nhỏ nhất đến giá trị lớn nhất trong cả hai mẫu là như nhau.
Hai mẫu số liệu có thể có cùng số trung bình nếu các giá trị được phân bố đều quanh giá trị trung bình.

$b)$

Mẫu số liệu $\rm B$ có phương sai lớn hơn vì các giá trị phân tán rộng hơn so với mẫu $\rm A$ .

Bài 5.13. Cho mẫu số liệu gồm $10$ số dương không hoàn toàn giống nhau. Các số đo độ phân tán (khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn) sẽ thay đổi như thế nào nếu:

$a)$ Nhân mỗi giá trị của mẫu số liệu với $2$ .

$b)$ Cộng mỗi giá trị của mẫu số liệu với $2$ .

Lời giải:

$a)$

Khoảng biến thiên: Nếu nhân mỗi giá trị với $2$ , khoảng biến thiên sẽ tăng lên $2$ lần.
Khoảng tứ phân vị: Tương tự, khoảng tứ phân vị cũng tăng lên $2$ lần.
Độ lệch chuẩn: Độ lệch chuẩn cũng tăng lên $2$ lần.

$b)$

Khoảng biến thiên: Nếu cộng mỗi giá trị với $2$ , khoảng biến thiên không thay đổi.
Khoảng tứ phân vị: Khoảng tứ phân vị không thay đổi.
Độ lệch chuẩn: Độ lệch chuẩn không thay đổi.

Bài 5.14. Từ mẫu số liệu về thuế thuốc lá của $51$ thành phố tại một quốc gia, người ta tính được:

Giá trị nhỏ nhất bằng $2,5$ ; $Q_1 = 36$ ; $Q_2 = 60$ ; $Q_3 = 100$ ; giá trị lớn nhất bằng $205$ .

$a)$ Tỉ lệ thành phố có thuế thuốc lá lớn hơn $36$ là bao nhiêu?

$b)$ Chỉ ra hai giá trị sao cho có $50\%$ giá trị của mẫu số liệu nằm giữa hai giá trị này.

$c)$ Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu.

Lời giải:

$a)$

Vì $Q_1 = 36$ , nên $25\%$ số thành phố có thuế thuốc lá nhỏ hơn hoặc bằng $36$ .
Do đó, tỉ lệ thành phố có thuế thuốc lá lớn hơn $36$ là $100\% - 25\% = 75\%$ .

$b)$

Hai giá trị cần tìm là $Q_1 = 36$ và $Q_3 = 100$ , vì có $50\%$ giá trị của mẫu số liệu nằm giữa hai giá trị này.

$c)$

Khoảng tứ phân vị là: $Q_3 - Q_1 = 100 - 36 = 64$ .

Bài 5.15. Mẫu số liệu sau đây cho biết cân nặng của $10$ trẻ sơ sinh (đơn vị kg):

$2,977 \quad 3,155 \quad 3,920 \quad 3,412 \quad 4,236$

$2,593 \quad 3,270 \quad 3,813 \quad 4,042 \quad 3,387.$

Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu này.

Lời giải:

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần:

$2,593 \quad 2,977 \quad 3,155 \quad 3,270 \quad 3,387 \quad 3,412 \quad 3,813 \quad 3,920 \quad 4,042 \quad 4,236$

Khoảng biến thiên:

$$ \text{Khoảng biến thiên} = 4,236 - 2,593 = 1,643 , \text{kg}. $$

Khoảng tứ phân vị:
$Q_1$ là trung vị của nửa dữ liệu dưới: $2,593; 2,977; 3,155; 3,270; 3,387$ .

$$ Q_1 = 3,155 , \text{kg}. $$

$Q_3$ là trung vị của nửa dữ liệu trên: $3,412; 3,813; 3,920; 4,042; 4,236$ .

$$ Q_3 = 3,920 , \text{kg}. $$

$$ \text{Khoảng tứ phân vị} = Q_3 - Q_1 = 3,920 - 3,155 = 0,765 , \text{kg}. $$

Độ lệch chuẩn:

Bước 2: Tìm số trung bình $\bar{x}$ :

$$ \bar{x} = \frac{2,593 + 2,977 + 3,155 + 3,270 + 3,387 + 3,412 + 3,813 + 3,920 + 4,042 + 4,236}{10} $$

$$ \bar{x} \approx 3,510. $$

Bước 3: Tính phương sai mẫu:

$$ s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}. $$

Tính từng giá trị:

$(2,593 - 3,510)^2 \approx 0,878$
$(2,977 - 3,510)^2 \approx 0,538$
$(3,155 - 3,510)^2 \approx 0,127$
$(3,270 - 3,510)^2 \approx 0,054$
$(3,387 - 3,510)^2 \approx 0,010$
$(3,412 - 3,510)^2 \approx 0,009$
$(3,813 - 3,510)^2 \approx 0,085$
$(3,920 - 3,510)^2 \approx 0,164$
$(4,042 - 3,510)^2 \approx 0,280$
$(4,236 - 3,510)^2 \approx 0,527$

Tổng: $\approx 3,272$ .

$$ s^2 = \frac{3,272}{9} \approx 0,3636. $$

$$ s = \sqrt{0,3636} \approx 0,603 , \text{kg}. $$

Kết quả:

Khoảng biến thiên: $1,643 \, \text{kg}$ .
Khoảng tứ phân vị: $0,765 \, \text{kg}$ .
Độ lệch chuẩn: $0,603 \, \text{kg}$ .

Bài 5.16. Tỉ lệ thất nghiệp ở một số quốc gia vào năm $2007$ (đơn vị $\%$ ) được cho như sau:

$7,8 \quad 3,2 \quad 7,7 \quad 8,7 \quad 8,6 \quad 8,4 \quad 7,2 \quad 3,6$

$5,0 \quad 4,4 \quad 6,7 \quad 7,0 \quad 4,5 \quad 6,0 \quad 5,4.$

Hãy tìm các giá trị bất thường (nếu có) của mẫu số liệu trên.

Lời giải:

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần:

$3,2 \quad 3,6 \quad 4,4 \quad 4,5 \quad 5,0 \quad 5,4 \quad 6,0 \quad 6,7 \quad 7,0 \quad 7,2 \quad 7,7 \quad 7,8 \quad 8,4 \quad 8,6 \quad 8,7.$

Bước 2: Tính $Q_1$ và $Q_3$ :
$Q_1$ là trung vị của $7$ số đầu:

$$ Q_1 = 4,4. $$

$Q_3$ là trung vị của $7$ số cuối:

$$ Q_3 = 7,7. $$

Bước 3: Tính khoảng tứ phân vị:

$$ \text{Khoảng tứ phân vị} = Q_3 - Q_1 = 7,7 - 4,4 = 3,3. $$

Bước 4: Tìm giá trị bất thường:
Giá trị nhỏ bất thường: $< Q_1 - 1,5 \cdot 3,3 = 4,4 - 4,95 = -0,55$ .
Giá trị lớn bất thường: $> Q_3 + 1,5 \cdot 3,3 = 7,7 + 4,95 = 12,65$ .

Kết quả:

Giá trị bất thường: $3,2$ .