Bài tập cuối chương V (trang 90)

Bài 5.24. Bảng sau cho biết dân số của các tỉnh/thành phố Đồng bằng Bắc Bộ năm 2018 (đơn vị: triệu người): Hà Nội 7,527{,}52; Vĩnh Phúc 1,091{,}09; Bắc Ninh 1,251{,}25; Quảng Ninh 1,271{,}27; Hải Dương 1,811{,}81; Hải Phòng 2,012{,}01; Hưng Yên 1,191{,}19; Thái Bình 1,791{,}79; Hà Nam 0,810{,}81; Nam Định 1,851{,}85; Ninh Bình 0,970{,}97.

a) Tìm số trung bình và trung vị của mẫu số liệu trên.

b) Giải thích tại sao số trung bình và trung vị lại có sự sai khác nhiều.

c) Nên sử dụng số trung bình hay trung vị để đại diện cho dân số của các tỉnh thuộc Đồng bằng Bắc Bộ?

Lời giải:

a) Mẫu có n=11n = 11 giá trị, tổng bằng 21,5621{,}56. Số trung bình:

xˉ=21,5611≈1,96 (triệu người).\bar{x} = \frac{21{,}56}{11} \approx 1{,}96 \text{ (triệu người)}.

Sắp xếp mẫu theo thứ tự không giảm:

0,81; 0,97; 1,09; 1,19; 1,25; 1,27; 1,79; 1,81; 1,85; 2,01; 7,52.0{,}81;\ 0{,}97;\ 1{,}09;\ 1{,}19;\ 1{,}25;\ 1{,}27;\ 1{,}79;\ 1{,}81;\ 1{,}85;\ 2{,}01;\ 7{,}52.

Vì n=11n = 11 lẻ nên trung vị là giá trị thứ 66: Me=1,27M_e = 1{,}27 (triệu người).

b) Số trung bình (≈1,96\approx 1{,}96) lớn hơn hẳn trung vị (1,271{,}27) vì mẫu có giá trị bất thường là dân số Hà Nội 7,527{,}52 — lớn gấp nhiều lần các tỉnh còn lại. Số trung bình bị "kéo lên" bởi giá trị này, còn trung vị không bị ảnh hưởng.

c) Nên dùng trung vị để đại diện, vì trung vị không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường nên phản ánh đúng hơn mức dân số điển hình của các tỉnh trong vùng.

Bài 5.25. Hai mẫu số liệu sau cho biết số lượng trường Trung học phổ thông ở mỗi tỉnh/thành phố thuộc Đồng bằng sông Hồng và Đồng bằng sông Cửu Long năm 2017:

  • Đồng bằng sông Hồng: 187187; 3434; 3535; 4646; 5454; 5757; 3737; 3939; 2323; 5757; 2727.
  • Đồng bằng sông Cửu Long: 3333; 3434; 3333; 2929; 2424; 3939; 4242; 2424; 2323; 1919; 2424; 1515; 2626.

a) Tính số trung bình, trung vị, các tứ phân vị, mốt, khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn cho mỗi mẫu số liệu.

b) Tại sao số trung bình của hai mẫu số liệu có sự sai khác nhiều trong khi trung vị thì không?

c) Tại sao khoảng biến thiên và độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu khác nhau nhiều trong khi khoảng tứ phân vị thì không?

Lời giải:

Mẫu Đồng bằng sông Hồng (n=11n = 11). Sắp xếp: 23; 27; 34; 35; 37; 39; 46; 54; 57; 57; 18723;\ 27;\ 34;\ 35;\ 37;\ 39;\ 46;\ 54;\ 57;\ 57;\ 187.

  • Tổng =596= 596, số trung bình xˉ=59611≈54,18\bar{x} = \dfrac{596}{11} \approx 54{,}18.
  • Trung vị (giá trị thứ 66): Me=Q2=39M_e = Q_2 = 39.
  • Q1Q_1 là trung vị nửa dưới (23; 27; 34; 35; 3723;\ 27;\ 34;\ 35;\ 37) nên Q1=34Q_1 = 34; Q3Q_3 là trung vị nửa trên (46; 54; 57; 57; 18746;\ 54;\ 57;\ 57;\ 187) nên Q3=57Q_3 = 57.
  • Mốt: Mo=57M_o = 57 (xuất hiện 22 lần).
  • Khoảng biến thiên: R=187−23=164R = 187 - 23 = 164.
  • Khoảng tứ phân vị: ΔQ=57−34=23\Delta_Q = 57 - 34 = 23.
  • Độ lệch chuẩn: s≈43,42s \approx 43{,}42.

Mẫu Đồng bằng sông Cửu Long (n=13n = 13). Sắp xếp: 15; 19; 23; 24; 24; 24; 26; 29; 33; 33; 34; 39; 4215;\ 19;\ 23;\ 24;\ 24;\ 24;\ 26;\ 29;\ 33;\ 33;\ 34;\ 39;\ 42.

  • Tổng =365= 365, số trung bình xˉ=36513≈28,08\bar{x} = \dfrac{365}{13} \approx 28{,}08.
  • Trung vị (giá trị thứ 77): Me=Q2=26M_e = Q_2 = 26.
  • Q1Q_1 là trung vị nửa dưới (15; 19; 23; 24; 24; 2415;\ 19;\ 23;\ 24;\ 24;\ 24) nên Q1=23,5Q_1 = 23{,}5; Q3Q_3 là trung vị nửa trên (29; 33; 33; 34; 39; 4229;\ 33;\ 33;\ 34;\ 39;\ 42) nên Q3=33,5Q_3 = 33{,}5.
  • Mốt: Mo=24M_o = 24 (xuất hiện 33 lần).
  • Khoảng biến thiên: R=42−15=27R = 42 - 15 = 27.
  • Khoảng tứ phân vị: ΔQ=33,5−23,5=10\Delta_Q = 33{,}5 - 23{,}5 = 10.
  • Độ lệch chuẩn: s≈7,50s \approx 7{,}50.

b) Mẫu Đồng bằng sông Hồng có giá trị bất thường 187187 (Hà Nội) làm số trung bình tăng vọt lên ≈54,18\approx 54{,}18, trong khi mẫu còn lại chỉ ≈28,08\approx 28{,}08. Trung vị không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường nên hai trung vị (3939 và 2626) không chênh lệch nhiều.

c) Khoảng biến thiên và độ lệch chuẩn đều phụ thuộc vào giá trị bất thường 187187, nên chúng chênh nhau rất nhiều (164164 so với 2727; 43,4243{,}42 so với 7,507{,}50). Còn khoảng tứ phân vị chỉ dựa vào Q1Q_1, Q3Q_3 (phần giữa của mẫu), không chịu ảnh hưởng của giá trị bất thường nên hai giá trị (2323 và 1010) sai khác ít hơn hẳn.

Bài 5.26. Tỉ lệ trẻ em suy dinh dưỡng (tính theo cân nặng ứng với độ tuổi) của 1010 tỉnh thuộc Đồng bằng sông Hồng như sau:

5,5; 13,8; 10,2; 12,2; 11,0; 7,4; 11,4; 13,1; 12,5; 13,4.5{,}5;\ 13{,}8;\ 10{,}2;\ 12{,}2;\ 11{,}0;\ 7{,}4;\ 11{,}4;\ 13{,}1;\ 12{,}5;\ 13{,}4.

a) Tính số trung bình, trung vị, khoảng biến thiên và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.

b) Thực hiện làm tròn đến hàng đơn vị cho các giá trị trong mẫu số liệu. Sai số tuyệt đối của phép làm tròn này không vượt quá bao nhiêu?

Lời giải:

a) Tổng các giá trị bằng 110,5110{,}5, nên số trung bình:

xˉ=110,510=11,05.\bar{x} = \frac{110{,}5}{10} = 11{,}05.

Sắp xếp: 5,5; 7,4; 10,2; 11,0; 11,4; 12,2; 12,5; 13,1; 13,4; 13,85{,}5;\ 7{,}4;\ 10{,}2;\ 11{,}0;\ 11{,}4;\ 12{,}2;\ 12{,}5;\ 13{,}1;\ 13{,}4;\ 13{,}8.

Vì n=10n = 10 chẵn nên trung vị là trung bình cộng hai giá trị giữa (thứ 55 và thứ 66):

Me=11,4+12,22=11,8.M_e = \frac{11{,}4 + 12{,}2}{2} = 11{,}8.

Khoảng biến thiên: R=13,8−5,5=8,3R = 13{,}8 - 5{,}5 = 8{,}3.

Phương sai s2≈6,55s^2 \approx 6{,}55, suy ra độ lệch chuẩn s≈2,56s \approx 2{,}56.

b) Khi làm tròn đến hàng đơn vị, sai số tuyệt đối của mỗi giá trị không vượt quá 0,50{,}5 (nửa đơn vị làm tròn).

Hoạt động thực hành trải nghiệm — Tìm hiểu một số kiến thức về tài chính (trang 91–93)

Công thức lãi kép: Gửi AA đồng vào ngân hàng với lãi suất r%r\%/năm, sau nn năm số tiền nhận được là:

T=A⋅(1+r%)n.T = A \cdot (1 + r\%)^n.

HĐ1. Tháng 1 năm 2018, mẹ Việt gửi tiết kiệm 2 000 000 0002\,000\,000\,000 đồng kì hạn 3636 tháng ở ngân hàng với lãi suất 7%7\%/năm. Đến tháng 1 năm 2021, mẹ Việt rút tiền tiết kiệm nêu trên để mua một căn hộ chung cư với giá 30 626 07530\,626\,075 đồng/mét vuông.

a) Hỏi tổng số tiền tiết kiệm mẹ Việt rút ra được vào tháng 1 năm 2021 là bao nhiêu?

b) Với số tiền nêu trên, mẹ Việt mua được căn hộ chung cư với diện tích bao nhiêu mét vuông?

Lời giải:

a) Từ tháng 1/2018 đến tháng 1/2021 là n=3n = 3 năm, với A=2 000 000 000A = 2\,000\,000\,000 đồng và r%=7%r\% = 7\%:

T=2 000 000 000⋅(1+0,07)3=2 450 086 000 (đoˆˋng).T = 2\,000\,000\,000 \cdot (1 + 0{,}07)^3 = 2\,450\,086\,000 \text{ (đồng)}.

Vậy mẹ Việt rút được 2 450 086 0002\,450\,086\,000 đồng.

b) Diện tích căn hộ mua được:

S=2 450 086 00030 626 075=80 (m2).S = \frac{2\,450\,086\,000}{30\,626\,075} = 80 \text{ (m}^2\text{)}.

Trao đổi. Để mua được căn hộ 100100 mét vuông ở thời điểm tháng 1 năm 2021, mẹ Việt cần phải gửi tiết kiệm từ tháng 1 năm 2018 bao nhiêu tiền?

Lời giải:

Số tiền cần có vào tháng 1/2021 để mua 100100 m²:

T=100⋅30 626 075=3 062 607 500 (đoˆˋng).T = 100 \cdot 30\,626\,075 = 3\,062\,607\,500 \text{ (đồng)}.

Từ công thức T=A(1+r%)nT = A(1 + r\%)^n suy ra số tiền cần gửi ban đầu:

A=3 062 607 500(1+0,07)3=2 500 000 000 (đoˆˋng).A = \frac{3\,062\,607\,500}{(1 + 0{,}07)^3} = 2\,500\,000\,000 \text{ (đồng)}.

Vậy mẹ Việt cần gửi tiết kiệm 2 500 000 0002\,500\,000\,000 đồng (2,5 tỉ đồng) từ tháng 1/2018.

HĐ2. Cô Lan có 511 000 000511\,000\,000 đồng và dự định đầu tư vào chứng khoán của công ty A. Biểu đồ giá chứng khoán của công ty A được cho trong Hình T.1 với những thời điểm khác nhau.

Hướng dẫn: Phần này yêu cầu đọc số liệu trực tiếp từ các biểu đồ giá chứng khoán (Hình T.1a – T.1d) tại từng thời điểm mua và bán. Với mỗi phương án, em quan sát biểu đồ trong sách giáo khoa để lấy giá cổ phiếu tại thời điểm mua và thời điểm bán, sau đó tính:

  • Số cổ phiếu mua được == số tiền đầu tư ÷\div giá mua;
  • Số tiền thu về == số cổ phiếu ×\times giá bán.

So sánh số tiền thu về giữa các thời điểm để thấy hiệu quả đầu tư phụ thuộc rất nhiều vào thời điểm mua và bán.