Giải Toán 10 Tập 2 trang 15-18 - Kết nối tri thức

Trang 15 — Chương 6: Hàm số, đồ thị và ứng dụng

Không có bài tập, câu hỏi, luyện tập hay ví dụ cần giải trên trang này. Trang này toàn lý thuyết, không có bài nào.

SKIP

---

Trang 16 — Chương 6: Hàm số, đồ thị và ứng dụng

Luyện tập 2. Vẽ parabol $y = 3x^2 - 10x + 7$. Từ đó tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 3x^2 - 10x + 7$.

Lời giải:

Hàm số $y = 3x^2 - 10x + 7$ có $a = 3 > 0$, nên parabol quay bề lõm lên trên.

• Đỉnh $I$ của parabol có tọa độ $\left( \dfrac{-(-10)}{2 \cdot 3} ; \dfrac{-(-10)^2 + 4 \cdot 3 \cdot 7}{4 \cdot 3} \right) = \left( \dfrac{5}{3} ; -\dfrac{4}{3} \right).$
• Trục đối xứng $x = \dfrac{5}{3}.$
• Giao điểm của đồ thị với trục $Oy$ là $A(0; 7).$

Để vẽ đồ thị chính xác hơn, ta có thể lấy thêm điểm đối xứng với $A$ qua trục đối xứng $x = \dfrac{5}{3}$ là $B \left( \dfrac{10}{3} ; 7 \right).$

Từ đồ thị ta thấy:

• Hàm số $y = 3x^2 - 10x + 7$ nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty; \dfrac{5}{3} \right)$, đồng biến trên khoảng $\left( \dfrac{5}{3}; +\infty \right)$.
• Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $y = -\dfrac{4}{3}$ khi $x = \dfrac{5}{3}.$

Kết quả: Hàm số $y = 3x^2 - 10x + 7$ nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty; \dfrac{5}{3} \right)$, đồng biến trên khoảng $\left( \dfrac{5}{3}; +\infty \right)$ và có giá trị nhỏ nhất là $y = -\dfrac{4}{3}$ khi $x = \dfrac{5}{3}.$

---

Vận dụng 2. Bạn Nam đứng dưới chân cầu vượt ba tầng ở nút giao ngã ba Huế, thuộc thành phố Đà Nẵng để ngắm cầu vượt (H.6.13). Biết rằng trụ cầu có dạng đường parabol, khoảng cách giữa hai chân trụ cầu khoảng 27 m, chiều cao của trụ cầu tính từ điểm trên mặt đất cách chân trụ cầu 2,26 m là 20 m. Hãy giúp bạn Nam ước lượng độ cao của đỉnh trụ cầu (so với mặt đất).

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho một chân trụ cầu đặt tại gốc tọa độ, chân còn lại đặt trên tia $Ox$. Khi đó trụ cầu là một phần của đồ thị hàm số dạng $y = ax^2 + bx.$

Vì hàm số có đồ thị đối xứng qua trục $Oy$ nên $b = 0$. Do đó hàm số có dạng $y = ax^2.$

Trụ cầu cắt đường thẳng $y = 2,26$ tại điểm có tọa độ $(-13,5; 20)$ nên ta có:

$$20 = a \cdot (-13,5)^2 \implies a = \dfrac{20}{182,25} = \dfrac{80}{729}.$$

Do đó, phương trình của parabol $y = \dfrac{80}{729} x^2.$

Độ cao của đỉnh trụ cầu so với mặt đất là:

$$y = \dfrac{80}{729} \cdot \left( \dfrac{27}{2} \right)^2 = \dfrac{80}{729} \cdot \dfrac{729}{4} = 20 \, \text{m}.$$

Kết quả: $\boxed{20}$

---

Trang 17 — Bài tập

Bài 6.7. Vẽ các đường parabol sau: a) $y = x^2 - 3x + 2;$

b) $y = -2x^2 + 2x + 3;$

c) $y = x^2 + 2x + 1;$

d) $y = -x^2 + x - 1.$

Lời giải:

Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số $y = x^2 - 3x + 2$

• Hàm số $y = x^2 - 3x + 2$ có hệ số $a = 1 > 0$, nên parabol mở lên.
• Toạ độ đỉnh $I\left( {\frac{3}{2}; - \frac{1}{4}} \right)$.
• Trục đối xứng $x = \frac{3}{2}.$
• Giao với $Oy$ tại $(0;2).$
• Giao với $Ox$ tại $(1;0)$ và $(2;0).$

Bước 2: Vẽ đồ thị hàm số $y = -2x^2 + 2x + 3$

• Hàm số $y = -2x^2 + 2x + 3$ có hệ số $a = -2 < 0$, nên parabol mở xuống.
• Toạ độ đỉnh $I\left( {\frac{1}{2}; \frac{7}{2}} \right).$
• Trục đối xứng $x = \frac{1}{2}.$
• Giao với $Oy$ tại $(0;3).$
• Giao với $Ox$ tại $\left( {\frac{{ - 1}}{2};0} \right)$ và $\left( {\frac{3}{2};0} \right).$

Bước 3: Vẽ đồ thị hàm số $y = x^2 + 2x + 1$

• Hàm số $y = x^2 + 2x + 1$ có hệ số $a = 1 > 0$, nên parabol mở lên.
• Toạ độ đỉnh $I\left( { - 1;0} \right).$
• Trục đối xứng $x = - 1.$
• Giao với $Oy$ tại $(0;1).$
• Giao với $Ox$ tại $(-1;0).$

Bước 4: Vẽ đồ thị hàm số $y = -x^2 + x - 1$

• Hàm số $y = - x^2 + x - 1$ có hệ số $a = - 1 < 0$, nên parabol mở xuống.
• Toạ độ đỉnh $I\left( {\frac{1}{2}; - \frac{3}{4}} \right).$
• Trục đối xứng $x = \frac{1}{2}.$
• Giao với $Oy$ tại $(0; - 1).$
• Không giao với $Ox.$

Kết quả:

• Parabol $y = x^2 - 3x + 2$ có đỉnh $I\left( {\frac{3}{2}; - \frac{1}{4}} \right)$, trục đối xứng $x = \frac{3}{2}$, giao $Oy$ $(0;2)$, giao $Ox$ $(1;0)$ và $(2;0).$
• Parabol $y = -2x^2 + 2x + 3$ có đỉnh $I\left( {\frac{1}{2}; \frac{7}{2}} \right)$, trục đối xứng $x = \frac{1}{2}$, giao $Oy$ $(0;3)$, giao $Ox$ $\left( {\frac{{ - 1}}{2};0} \right)$ và $\left( {\frac{3}{2};0} \right).$
• Parabol $y = x^2 + 2x + 1$ có đỉnh $I\left( { - 1;0} \right)$, trục đối xứng $x = - 1$, giao $Oy$ $(0;1)$, giao $Ox$ $(-1;0).$
• Parabol $y = -x^2 + x - 1$ có đỉnh $I\left( {\frac{1}{2}; - \frac{3}{4}} \right)$, trục đối xứng $x = \frac{1}{2}$, giao $Oy$ $(0; - 1).$

---

Bài 6.8. Từ các parabol đã vẽ ở Bài tập 6.7, hãy cho biết khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của mỗi hàm số bậc hai tương ứng.

Lời giải: a) Hàm số $y = x^2 - 3x + 2$ đồng biến trên $\left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)$ và nghịch biến trên $\left( { - \infty ;\frac{3}{2}} \right).$

b) Hàm số $y = -2x^2 + 2x + 3$ đồng biến trên $\left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right)$ và nghịch biến trên $\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right).$

c) Hàm số $y = x^2 + 2x + 1$ đồng biến trên $\left( { - 1; + \infty } \right)$ và nghịch biến trên $\left( { - \infty ; - 1} \right).$

d) Hàm số $y = -x^2 + x - 1$ đồng biến trên $\left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right)$ và nghịch biến trên $\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right).$

Kết quả:

• Hàm số $y = x^2 - 3x + 2$ đồng biến trên $\left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)$ và nghịch biến trên $\left( { - \infty ;\frac{3}{2}} \right).$
• Hàm số $y = -2x^2 + 2x + 3$ đồng biến trên $\left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right)$ và nghịch biến trên $\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right).$
• Hàm số $y = x^2 + 2x + 1$ đồng biến trên $\left( { - 1; + \infty } \right)$ và nghịch biến trên $\left( { - \infty ; - 1} \right).$
• Hàm số $y = -x^2 + x - 1$ đồng biến trên $\left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right)$ và nghịch biến trên $\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right).$

---

Bài 6.9. Xác định parabol $y = ax^2 + bx + 1,$ trong mỗi trường hợp sau: a) Đi qua hai điểm $A(1; 0)$ và $B(2; 4);$

b) Đi qua điểm $A(1; 0)$ và có trục đối xứng $x = 1;$

c) Có đỉnh $I(1; 2);$

d) Đi qua điểm $A(-1; 6)$ và có tung độ đỉnh $-0,25.$

Lời giải: a) Parabol $y = ax^2 + bx + 1$ đi qua $A(1;0)$ và $B(2;4)$ nên ta có: $$ \begin{aligned} &\begin{cases} a + b + 1 = 0 \ 4a + 2b + 1 = 4 \end{cases} \ \iff &\begin{cases} a + b = - 1 \ 4a + 2b = 3 \end{cases} \ \iff &\begin{cases} a = \frac{5}{2} \ b = - \frac{7}{2} \end{cases} \end{aligned} $$ Vậy parabol cần tìm là $y = \frac{5}{2}x^2 - \frac{7}{2}x + 1.$

b) Parabol $y = ax^2 + bx + 1$ đi qua $A(1; 0)$ và có trục đối xứng $x = 1$ $\implies$ $-\frac{b}{2a} = 1$ nên ta có: $$ \begin{aligned} &\begin{cases} a + b + 1 = 0 \

• \frac{b}{{2a}} = 1 \end{cases} \ \iff &\begin{cases} a + b = - 1 \ b = - 2a \end{cases} \ \iff &\begin{cases} a = 1 \ b = - 2 \end{cases} \end{aligned} $$ Vậy parabol cần tìm là $y = x^2 - 2x + 1.$

c) Parabol $y = ax^2 + bx + 1$ có đỉnh $I(1;2)$ nên ta có: $$ \begin{aligned} &\begin{cases}

• \frac{b}{{2a}} = 1 \ a + b + 1 = 2 \end{cases} \ \iff &\begin{cases} b = - 2a \ a + b = 1 \end{cases} \ \iff &\begin{cases} a = - 1 \ b = 2 \end{cases} \end{aligned} $$ Vậy parabol cần tìm là $y = - x^2 + 2x + 1.$

d) Parabol $y = ax^2 + bx + 1$ đi qua $A(-1; 6)$ và có tung độ đỉnh $-0,25$ $\implies$ $\left{ {\begin{array}{*{20}{l}} {a - b + 1 = 6 \ { - \frac{\Delta }{{4a}} = - 0,25} \end{array}} \right.$ $$ \begin{aligned} \iff &\begin{cases} a - b = 5 \ b^2 - 4a = a \end{cases} \ \iff &\begin{cases} a - b = 5 \ b^2 - 5a = 0 \end{cases} \ \iff &\begin{cases} a = 5 \ b = 0 \end{cases} \end{aligned} $$ hoặc $$ \begin{aligned} &\begin{cases} a - b = 5 \ b^2 - 5a = 0 \end{cases} \ \iff &\begin{cases} a = \frac{25}{4} \ b = \frac{5}{2} \end{cases} \end{aligned} $$ Vậy parabol cần tìm là $y = 5x^2 + 1$ hoặc $y = \frac{25}{4}x^2 + \frac{5}{2}x + 1.$

Kết quả:

• $y = \frac{5}{2}x^2 - \frac{7}{2}x + 1.$
• $y = x^2 - 2x + 1.$
• $y = - x^2 + 2x + 1.$
• $y = 5x^2 + 1$ hoặc $y = \frac{25}{4}x^2 + \frac{5}{2}x + 1.$

---

Bài 6.10. Xác định parabol $y = ax^2 + bx + c,$ biết rằng parabol đó đi qua điểm $A(8; 0)$ và có đỉnh $I(6; - 12).$

Lời giải: Parabol $y = ax^2 + bx + c$ đi qua điểm $A(8;0)$ và có đỉnh $I(6; - 12)$ nên ta có: $$ \begin{aligned} &\begin{cases} 64a + 8b + c = 0 \

• \frac{b}{{2a}} = 6 \ 36a + 6b + c = - 12 \end{cases} \ \iff &\begin{cases} 64a + 8b + c = 0 \ b = - 12a \ 36a + 6b + c = - 12 \end{cases} \ \iff &\begin{cases}
• 32a + c = 12 \ b = - 12a \end{cases} \end{aligned} $$ Giải hệ phương trình trên, ta có $a = \frac{3}{4};$ $b = - 9;$ $c = 0.$

Vậy parabol cần tìm là $y = \frac{3}{4}x^2 - 9x.$

Kết quả: $y = \frac{3}{4}x^2 - 9x.$

---

Bài 6.11. Gọi $(P)$ là đồ thị hàm số bậc hai $y = ax^2 + bx + c.$ Hãy xác định dấu của hệ số $a$ và biệt thức $\Delta,$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $(P)$ nằm hoàn toàn phía trên trục hoành;

b) $(P)$ nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành;

c) $(P)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và có đỉnh nằm phía dưới trục hoành;

d) $(P)$ tiếp xúc với trục hoành và nằm phía trên trục hoành.

Lời giải: a) $(P)$ nằm hoàn toàn phía trên trục hoành $\iff a > 0$ và $\Delta < 0.$

b) $(P)$ nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành $\iff a < 0$ và $\Delta < 0.$

c) $(P)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và có đỉnh nằm phía dưới trục hoành $\iff a < 0$ và $\Delta > 0.$

d) $(P)$ tiếp xúc với trục hoành và nằm phía trên trục hoành $\iff a > 0$ và $\Delta = 0.$

Kết quả:

• $(P)$ nằm hoàn toàn phía trên trục hoành $\iff a > 0$ và $\Delta < 0.$
• $(P)$ nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành $\iff a < 0$ và $\Delta < 0.$
• $(P)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và có đỉnh nằm phía dưới trục hoành $\iff a < 0$ và $\Delta > 0.$
• $(P)$ tiếp xúc với trục hoành và nằm phía trên trục hoành $\iff a > 0$ và $\Delta = 0.$

---

Bài 6.12. Hai bạn An và Bình trao đổi với nhau.

An nói: Tớ đọc được một tài liệu thấy nói rằng cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội (H.6.14) có dạng một parabol, khoảng cách giữa hai chân cổng là $8$ m và chiều cao của cổng tính từ một điểm trên mặt đất cách chân cổng $0,5$ m là $2,93$ m. Từ đó tớ tính ra được chiều cao của cổng parabol đó là $12$ m.

Sau một hồi suy nghĩ, Bình nói: Nếu dữ kiện như bạn nói, thì chiều cao của cổng parabol mà bạn tính ra trên là không chính xác.

Dựa vào thông tin mà An đọc được, em hãy tính chiều cao của cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội để xem kết quả bạn An tính được có chính xác không nhé!

Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội có dạng đồ thị của hàm số $y = a{x^2} + bx + c,$ với $a < 0$ (hình vẽ).

Parabol này đi qua các điểm $(0; 0);$ $(4; 0);$ $\left( {\frac{7}{2};\frac{{59}}{{20}}} \right).$

$\implies c = 0; 16a + 4b = 0;$ $\frac{{49}}{4}a + \frac{7}{2}b = \frac{{59}}{{20}}$ $\iff a = - \frac{3}{{50}}; b = \frac{{12}}{{25}}.$

$\implies$ phương trình của parabol $y = - \frac{3}{{50}}{x^2} + \frac{{12}}{{25}}x.$

Chiều cao của cổng là $y = - \frac{3}{{50}}{x^2} + \frac{{12}}{{25}}x = - \frac{3}{{50}}{\left( {x - 4} \right)^2} + \frac{{24}}{25} \le \frac{{24}}{25} = 9,6$ $(m).$

Do đó kết quả của bạn An là không chính xác.

Kết quả: $9,6$ $(m).$

---

Bài 6.13. Bác Hùng dùng $40$ $m$ lưới thép gai rào thành một mảnh vườn hình chữ nhật để trồng rau.

a) Tính diện tích mảnh vườn hình chữ nhật rào được theo chiều rộng $x$ (mét) của nó.

b) Tìm kích thước của mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích lớn nhất mà bác Hùng có thể rào được.

Lời giải: a) Chiều dài của mảnh vườn là: $\frac{{40}}{2} - x = 20 - x.$

$\implies$ Diện tích $S = x(20 - x) = - {x^2} + 20x.$

b) Ta có $S = - {x^2} + 20x = - {(x - 10)^2} + 100 \le 100.$

Dấu $“=”$ xảy ra khi và chỉ khi $x = 10.$

$\implies$ Kích thước của mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích lớn nhất mà bác Hùng có thể rào được là $10$ $m$ $\times$ $10$ $m.$

Kết quả:

• $S = - {x^2} + 20x.$
• $10$ $m$ $\times$ $10$ $m.$

---

Bài 6.14. Quỹ đạo của một vật được ném lên từ gốc $O$ (được chọn là điểm ném) trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ là một parabol có phương trình $y = - \frac{3}{{1000}}{x^2} + x,$ trong đó $x$ (mét) là khoảng cách từ điểm ném đến chân của bức tường thẳng đứng và $y$ (mét) là độ cao của vật.

a) Tính chiều cao lớn nhất của vật.

b) Nếu vật được ném ở độ cao $1$ m thì chiều cao lớn nhất là $5$ $m.$ Hãy tính khoảng cách từ điểm ném đến bức tường.

Lời giải: a) Chiều cao lớn nhất của vật là $y_{max} = - \frac{3

---

Trang 18 —

Trang này có nội dung lý thuyết và không có bài tập, câu hỏi, luyện tập hay ví dụ cần giải.

Trả lời: SKIP