Trang 23 — Bài 17: Dấu của tam thức bậc hai

Luyện tập 2. Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a) −3x2+x−2;-3x^2 + x - \sqrt{2};

b) x2+8x+16;x^2 + 8x + 16;

c) −2x2+7x−3.-2x^2 + 7x - 3.

Lời giải:

a) −3x2+x−2-3x^2 + x - \sqrt{2}

Tam thức f(x)=−3x2+x−2f(x) = -3x^2 + x - \sqrt{2} có hệ số a=−3<0a = -3 < 0 và Δ=12−4(−3)(−2)=1−122<0.\Delta = 1^2 - 4(-3)(-\sqrt{2}) = 1 - 12\sqrt{2} < 0.

Vì Δ<0\Delta < 0 và a<0a < 0 nên f(x)<0f(x) < 0 với mọi x∈R.x \in \mathbb{R}.

b) x2+8x+16x^2 + 8x + 16

Tam thức f(x)=x2+8x+16f(x) = x^2 + 8x + 16 có hệ số a=1>0a = 1 > 0 và Δ=82−4⋅1⋅16=64−64=0.\Delta = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 64 - 64 = 0.

Vì Δ=0\Delta = 0 và a>0a > 0 nên f(x)≥0f(x) \ge 0 với mọi x∈R.x \in \mathbb{R}.

Cụ thể, f(x)=0f(x) = 0 khi x=−4.x = -4.

c) −2x2+7x−3-2x^2 + 7x - 3

Tam thức f(x)=−2x2+7x−3f(x) = -2x^2 + 7x - 3 có hệ số a=−2<0a = -2 < 0 và Δ=72−4(−2)(−3)=49−24=25>0.\Delta = 7^2 - 4(-2)(-3) = 49 - 24 = 25 > 0.

Nghiệm của phương trình −2x2+7x−3=0-2x^2 + 7x - 3 = 0 là:

x=−7±252(−2)=−7±5−4.x = \frac{-7 \pm \sqrt{25}}{2(-2)} = \frac{-7 \pm 5}{-4}.

Do đó, x1=12x_1 = \frac{1}{2} và x2=3.x_2 = 3.

Vì Δ>0\Delta > 0 và a<0a < 0 nên:

  • f(x)>0f(x) > 0 khi 12<x<3,\frac{1}{2} < x < 3,
  • f(x)<0f(x) < 0 khi x<12x < \frac{1}{2} hoặc x>3.x > 3.

Kết quả:

  • a) f(x)<0f(x) < 0 với mọi x∈R.x \in \mathbb{R}.
  • b) f(x)≥0f(x) \ge 0 với mọi x∈R.x \in \mathbb{R}.
  • c) f(x)>0f(x) > 0 khi 12<x<3,\frac{1}{2} < x < 3, f(x)<0f(x) < 0 khi x<12x < \frac{1}{2} hoặc x>3.x > 3.

Luyện tập 3. Giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) −5x2+x−1≤0-5x^2 + x - 1 \le 0

Lời giải:

Tam thức bậc hai f(x)=−5x2+x−1f(x) = -5x^2 + x - 1 có hệ số a=−5<0a = -5 < 0 và Δ=12−4⋅(−5)⋅(−1)=1−20=−19<0\Delta = 1^2 - 4 \cdot (-5) \cdot (-1) = 1 - 20 = -19 < 0.

Vì a<0a < 0 và Δ<0\Delta < 0 nên f(x)<0f(x) < 0 với mọi x∈Rx \in \mathbb{R}.

Do đó, tập nghiệm của bất phương trình −5x2+x−1≤0-5x^2 + x - 1 \le 0 là R\mathbb{R}.

Kết quả: (−∞;+∞)(-\infty; +\infty)

b) x2−8x+16≤0x^2 - 8x + 16 \le 0

Lời giải:

Tam thức bậc hai f(x)=x2−8x+16f(x) = x^2 - 8x + 16 có hệ số a=1>0a = 1 > 0 và Δ=(−8)2−4⋅1⋅16=64−64=0\Delta = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 64 - 64 = 0.

Phương trình f(x)=0f(x) = 0 có nghiệm kép x=4x = 4.

Vì a>0a > 0 nên f(x)≥0f(x) \ge 0 với mọi x∈Rx \in \mathbb{R} và f(x)=0⇔x=4f(x) = 0 \Leftrightarrow x = 4.

Do đó, tập nghiệm của bất phương trình x2−8x+16≤0x^2 - 8x + 16 \le 0 là {4}\{4\}.

Kết quả: {4}\{4\}

c) x2−x+6>0x^2 - x + 6 > 0

Lời giải:

Tam thức bậc hai f(x)=x2−x+6f(x) = x^2 - x + 6 có hệ số a=1>0a = 1 > 0 và Δ=(−1)2−4⋅1⋅6=1−24=−23<0\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23 < 0.

Vì a>0a > 0 và Δ<0\Delta < 0 nên f(x)>0f(x) > 0 với mọi x∈Rx \in \mathbb{R}.

Do đó, tập nghiệm của bất phương trình x2−x+6>0x^2 - x + 6 > 0 là R\mathbb{R}.

Kết quả: (−∞;+∞)(-\infty; +\infty)

Vận dụng. Độ cao so với mặt đất của một quả bóng được ném lên theo phương thẳng đứng được mô tả bởi hàm số bậc hai h(t)=−4,9t2+20t+1h(t) = -4,9t^2 + 20t + 1, ở đó độ cao h(t)h(t) tính bằng mét và thời gian tt tính bằng giây. Trong khoảng thời điểm nào trong quá trình bay của nó, quả bóng sẽ ở độ cao trên 55 m so với mặt đất?

Lời giải:

Quả bóng ở độ cao trên 55 m so với mặt đất khi h(t)>5h(t) > 5, tức là −4,9t2+20t+1>5-4,9t^2 + 20t + 1 > 5.

−4,9t2+20t+1>5−4,9t2+20t−4>04,9t2−20t+4<0\begin{aligned} -4{,}9t^2 + 20t + 1 &> 5 \\ -4{,}9t^2 + 20t - 4 &> 0 \\ 4{,}9t^2 - 20t + 4 &< 0 \end{aligned}

Tam thức bậc hai f(t)=4,9t2−20t+4f(t) = 4,9t^2 - 20t + 4 có hệ số a=4,9>0a = 4,9 > 0 và Δ=(−20)2−4⋅4,9⋅4=400−78,4=321,6>0\Delta = (-20)^2 - 4 \cdot 4,9 \cdot 4 = 400 - 78,4 = 321,6 > 0.

Phương trình f(t)=0f(t) = 0 có hai nghiệm là t1=20−321,69,8t_1 = \frac{20 - \sqrt{321,6}}{9,8} và t2=20+321,69,8t_2 = \frac{20 + \sqrt{321,6}}{9,8}.

Vì a>0a > 0 nên f(t)<0f(t) < 0 khi 20−321,69,8<t<20+321,69,8\frac{20 - \sqrt{321,6}}{9,8} < t < \frac{20 + \sqrt{321,6}}{9,8}.

⇒0,2<t<4,1\Rightarrow 0,2 < t < 4,1 (lấy 22 chữ số thập phân).

Vậy trong khoảng thời gian từ 0,20,2 giây đến 4,14,1 giây thì quả bóng ở độ cao trên 55 m so với mặt đất.

Kết quả: (0,2;4,1)(0,2; 4,1)

Trang 25 — Bài tập

Bài 6.15. Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a) 3x2−4x+1;3x^2 - 4x + 1;

b) x2+2x+1;x^2 + 2x + 1;

c) −x2+3x−2;-x^2 + 3x - 2;

d) −x2+x−1.-x^2 + x - 1.

Lời giải:

Tam thức bậc hai f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c có Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac

  • Nếu Δ<0\Delta < 0 thì f(x)f(x) cùng dấu với aa với mọi x∈R.x \in \mathbb{R}.

  • Nếu Δ=0\Delta = 0 thì f(x)f(x) cùng dấu với aa với mọi x≠−b2a.x \neq -\frac{b}{2a}.

  • Nếu Δ>0\Delta > 0 thì f(x)f(x) có hai nghiệm phân biệt x1,x2x_1, x_2 và f(x)f(x) đổi dấu tại các nghiệm.

a) Xét f(x)=3x2−4x+1f(x) = 3x^2 - 4x + 1

Ta có: a=3>0,Δ=(−4)2−4⋅3⋅1=16−12=4>0a = 3 > 0, \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4 > 0

Nghiệm của f(x)=0f(x) = 0 là: x1,2=4±42⋅3=2±13⇒[x1=1x2=13x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm 1}{3} \Rightarrow \left[ \begin{aligned} &x_1 = 1 \\ &x_2 = \frac{1}{3} \end{aligned} \right.

f(x)>0f(x) > 0 khi x<13x < \frac{1}{3} hoặc x>1x > 1

f(x)<0f(x) < 0 khi 13<x<1\frac{1}{3} < x < 1

b) Xét f(x)=x2+2x+1f(x) = x^2 + 2x + 1

Ta có: a=1>0,Δ=22−4⋅1⋅1=4−4=0a = 1 > 0, \Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 - 4 = 0

Nghiệm của f(x)=0f(x) = 0 là: x0=−1x_0 = -1

f(x)>0f(x) > 0 với mọi x≠−1x \neq -1

c) Xét f(x)=−x2+3x−2f(x) = -x^2 + 3x - 2

Ta có: a=−1<0,Δ=32−4⋅(−1)⋅(−2)=9−8=1>0a = -1 < 0, \Delta = 3^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-2) = 9 - 8 = 1 > 0

Nghiệm của f(x)=0f(x) = 0 là: x1,2=−3±12⋅(−1)=−3±1−2⇒[x1=1x2=2x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot (-1)} = \frac{-3 \pm 1}{-2} \Rightarrow \left[ \begin{aligned} &x_1 = 1 \\ &x_2 = 2 \end{aligned} \right.

f(x)>0f(x) > 0 khi 1<x<21 < x < 2

f(x)<0f(x) < 0 khi x<1x < 1 hoặc x>2x > 2

d) Xét f(x)=−x2+x−1f(x) = -x^2 + x - 1

Ta có: a=−1<0,Δ=12−4⋅(−1)⋅(−1)=1−4=−3<0a = -1 < 0, \Delta = 1^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-1) = 1 - 4 = -3 < 0

⇒f(x)<0\Rightarrow f(x) < 0 với mọi x∈R.x \in \mathbb{R}.

Bài 6.16. Giải các bất phương trình bậc hai:

a) x2−1≥0;x^2 - 1 \ge 0;

b) x2−2x−1<0;x^2 - 2x - 1 < 0;

c) −3x2+12x+1≤0;-3x^2 + 12x + 1 \le 0;

d) 5x2+x+1≥0.5x^2 + x + 1 \ge 0.

Lời giải:

a) x2−1≥0⇔x2≥1⇔[x≤−1x≥1x^2 - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x^2 \ge 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x \le -1 \\ &x \ge 1 \end{aligned} \right.

b) x2−2x−1<0x^2 - 2x - 1 < 0

Xét f(x)=x2−2x−1f(x) = x^2 - 2x - 1 có a=1>0,Δ=(−2)2−4⋅1⋅(−1)=8>0a = 1 > 0, \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 8 > 0

Nghiệm của f(x)=0f(x) = 0 là: x1,2=2±82=1±2x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}

⇒f(x)<0\Rightarrow f(x) < 0 khi 1−2<x<1+21 - \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2}

c) −3x2+12x+1≤0-3x^2 + 12x + 1 \le 0

Xét f(x)=−3x2+12x+1f(x) = -3x^2 + 12x + 1 có a=−3<0,Δ=122−4⋅(−3)⋅1=144+12=156>0a = -3 < 0, \Delta = 12^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 1 = 144 + 12 = 156 > 0

Nghiệm của f(x)=0f(x) = 0 là: x1,2=−12±1562⋅(−3)=−6±39−3=2±393x_{1,2} = \frac{-12 \pm \sqrt{156}}{2 \cdot (-3)} = \frac{-6 \pm \sqrt{39}}{-3} = 2 \pm \frac{\sqrt{39}}{3}

⇒f(x)≤0\Rightarrow f(x) \le 0 khi x≤2−393x \le 2 - \frac{\sqrt{39}}{3} hoặc x≥2+393x \ge 2 + \frac{\sqrt{39}}{3}

d) 5x2+x+1≥05x^2 + x + 1 \ge 0

Xét f(x)=5x2+x+1f(x) = 5x^2 + x + 1 có a=5>0,Δ=12−4⋅5⋅1=1−20=−19<0a = 5 > 0, \Delta = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 1 - 20 = -19 < 0

⇒f(x)>0\Rightarrow f(x) > 0 với mọi x∈R.x \in \mathbb{R}.

Bài 6.17. Tìm các giá trị của tham số mm để tam thức bậc hai sau dương với mọi x∈Rx \in \mathbb{R}:

x2+(m+1)x+2m+3.x^2 + (m + 1)x + 2m + 3.

Lời giải:

Xét f(x)=x2+(m+1)x+2m+3f(x) = x^2 + (m + 1)x + 2m + 3 có a=1>0a = 1 > 0

⇒f(x)>0\Rightarrow f(x) > 0 với mọi x∈R⇔Δ<0x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \Delta < 0

⇔(m+1)2−4⋅1⋅(2m+3)<0\Leftrightarrow (m + 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2m + 3) < 0

⇔m2+2m+1−8m−12<0\Leftrightarrow m^2 + 2m + 1 - 8m - 12 < 0

⇔m2−6m−11<0\Leftrightarrow m^2 - 6m - 11 < 0

⇔(m−3)2<20\Leftrightarrow (m - 3)^2 < 20

⇔3−20<m<3+20\Leftrightarrow 3 - \sqrt{20} < m < 3 + \sqrt{20}

⇔3−25<m<3+25.\Leftrightarrow 3 - 2\sqrt{5} < m < 3 + 2\sqrt{5}.

Bài 6.18. Một vật được ném theo phương thẳng đứng xuống dưới từ độ cao 320 m320\ \text{m} với vận tốc ban đầu v0=20 m/s.v_0 = 20\ \text{m/s}. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu giây, vật đó cách mặt đất không quá 100 m100\ \text{m}? Giả thiết rằng sức cản của không khí là không đáng kể.

Lời giải:

Gọi h(t)h(t) là độ cao của vật tại thời điểm tt (giây)

Ta có: h(t)=320−20t−12gt2=320−20t−5t2h(t) = 320 - 20t - \frac{1}{2}gt^2 = 320 - 20t - 5t^2 (với g=10 m/s2g = 10\ \text{m/s}^2)

Vật cách mặt đất không quá 100 m100\ \text{m} ⇒h(t)≤100\Rightarrow h(t) \le 100

⇔320−20t−5t2≤100\Leftrightarrow 320 - 20t - 5t^2 \le 100

⇔5t2+20t−220≥0\Leftrightarrow 5t^2 + 20t - 220 \ge 0

⇔t2+4t−44≥0\Leftrightarrow t^2 + 4t - 44 \ge 0

Xét f(t)=t2+4t−44f(t) = t^2 + 4t - 44 có a=1>0,Δ=42−4⋅1⋅(−44)=16+176=192>0a = 1 > 0, \Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-44) = 16 + 176 = 192 > 0

Nghiệm của f(t)=0f(t) = 0 là: t1,2=−4±1922=−2±43t_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{192}}{2} = -2 \pm 4\sqrt{3}

⇒f(t)≥0\Rightarrow f(t) \ge 0 khi t≤−2−43t \le -2 - 4\sqrt{3} hoặc t≥−2+43t \ge -2 + 4\sqrt{3}

Mà t≥0t \ge 0 nên t≥−2+43≈4.93t \ge -2 + 4\sqrt{3} \approx 4.93

Vậy sau ít nhất 55 giây thì vật đó cách mặt đất không quá 100 m.100\ \text{m}.

Bài 6.19. Xét đường tròn đường kính AB=4AB = 4 và một điểm MM di chuyển trên đoạn AB,AB, đặt AM=xAM = x (H.6.19). Xét hai đường tròn đường kính AMAM và MB.MB. Kí hiệu S(x)S(x) là diện tích phần hình phẳng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ. Xác định các giá trị của xx để diện tích S(x)S(x) không vượt quá một nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ.

Lời giải:

Bán kính đường tròn lớn: R=2R = 2

Bán kính đường tròn nhỏ: r1=x2,r2=4−x2r_1 = \frac{x}{2}, r_2 = \frac{4 - x}{2}

Tổng diện tích hai hình tròn nhỏ: Snhỏ=π(x2)2+π(4−x2)2=π4(x2+(4−x)2)S_{\text{nhỏ}} = \pi \left( \frac{x}{2} \right)^2 + \pi \left( \frac{4 - x}{2} \right)^2 = \frac{\pi}{4} \left( x^2 + (4 - x)^2 \right)

Một nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ: Snhỏ2=π8(x2+(4−x)2)\frac{S_{\text{nhỏ}}}{2} = \frac{\pi}{8} \left( x^2 + (4 - x)^2 \right)

Diện tích hình tròn lớn: Slớn=π⋅22=4πS_{\text{lớn}} = \pi \cdot 2^2 = 4\pi

Diện tích S(x)=Slớn−Snhỏ=4π−π4(x2+(4−x)2)S(x) = S_{\text{lớn}} - S_{\text{nhỏ}} = 4\pi - \frac{\pi}{4} \left( x^2 + (4 - x)^2 \right)

⇒S(x)≤Snhỏ2\Rightarrow S(x) \le \frac{S_{\text{nhỏ}}}{2}

⇔4π−π4(x2+(4−x)2)≤π8(x2+(4−x)2)\Leftrightarrow 4\pi - \frac{\pi}{4} \left( x^2 + (4 - x)^2 \right) \le \frac{\pi}{8} \left( x^2 + (4 - x)^2 \right)

⇔32π−π(x2+(4−x)2)≤π2(x2+(4−x)2)\Leftrightarrow 32\pi - \pi \left( x^2 + (4 - x)^2 \right) \le \frac{\pi}{2} \left( x^2 + (4 - x)^2 \right)

⇔32π≤3π2(x2+(4−x)2)\Leftrightarrow 32\pi \le \frac{3\pi}{2} \left( x^2 + (4 - x)^2 \right)

⇔643≤x2+(4−x)2\Leftrightarrow \frac{64}{3} \le x^2 + (4 - x)^2

⇔643≤2x2−8x+16\Leftrightarrow \frac{64}{3} \le 2x^2 - 8x + 16

⇔2x2−8x+163≤0\Leftrightarrow 2x^2 - 8x + \frac{16}{3} \le 0

⇔3x2−12x+8≤0\Leftrightarrow 3x^2 - 12x + 8 \le 0

Xét f(x)=3x2−12x+8f(x) = 3x^2 - 12x + 8 có a=3>0,Δ=(−12)2−4⋅3⋅8=144−96=48>0a = 3 > 0, \Delta = (-12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 144 - 96 = 48 > 0

Nghiệm của f(x)=0f(x) = 0 là: x1,2=12±482⋅3=6±233=2±233x_{1,2} = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 3} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{3} = 2 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}

⇒f(x)≤0\Rightarrow f(x) \le 0 khi 2−233≤x≤2+2332 - \frac{2\sqrt{3}}{3} \le x \le 2 + \frac{2\sqrt{3}}{3}

⇔0.54≤x≤3.46\Leftrightarrow 0.54 \le x \le 3.46 (thoả mãn 0≤x≤40 \le x \le 4)

Trang 26 — Phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài H91. Cho phương trình x2−3x+2=−x2−2x+2\sqrt{x^2 - 3x + 2} = \sqrt{-x^2 - 2x + 2}.

a) Bình phương hai vế và giải phương trình nhận được.

b) Thử lại các giá trị xx tìm được ở câu a có thoả mãn phương trình đã cho hay không.

Lời giải:

a) Bình phương hai vế của phương trình, ta được

x2−3x+2=−x2−2x+2x^2 - 3x + 2 = -x^2 - 2x + 2

Sau khi thu gọn ta được 2x2−x=02x^2 - x = 0. Từ đó x=0x = 0 hoặc x=12x = \frac{1}{2}.

b) Thay lần lượt hai giá trị này của xx vào phương trình đã cho, ta thấy không có giá trị nào thoả mãn.

Kết quả: S=∅S = \emptyset

Luyện tập 1. Giải các phương trình sau:

a) 3x2−6x+1=−2x2−9x+1\sqrt{3x^2 - 6x + 1} = \sqrt{-2x^2 - 9x + 1}

Lời giải:

Bình phương hai vế của phương trình, ta được

3x2−6x+1=−2x2−9x+13x^2 - 6x + 1 = -2x^2 - 9x + 1

Sau khi thu gọn ta được 5x2+3x=05x^2 + 3x = 0. Từ đó x=0x = 0 hoặc x=−35x = -\frac{3}{5}.

Thay lần lượt hai giá trị này của xx vào phương trình đã cho, ta thấy x=0x = 0 thoả mãn.

Kết quả: S={0}S = \{0\}

b) 2x2−3x−5=x2−7\sqrt{2x^2 - 3x - 5} = \sqrt{x^2 - 7}

Lời giải:

Bình phương hai vế của phương trình, ta được

2x2−3x−5=x2−72x^2 - 3x - 5 = x^2 - 7

Sau khi thu gọn ta được x2−3x+2=0x^2 - 3x + 2 = 0. Từ đó x=1x = 1 hoặc x=2x = 2.

Thay lần lượt hai giá trị này của xx vào phương trình đã cho, ta thấy không có giá trị nào thoả mãn.

Kết quả: S=∅S = \emptyset

Bài H92. Cho phương trình 26x2−63x+38=5x−6\sqrt{26x^2 - 63x + 38} = 5x - 6.

a) Bình phương hai vế và giải phương trình nhận được.

b) Thử lại các giá trị xx tìm được ở câu a có thoả mãn phương trình đã cho hay không.

Lời giải:

a) Bình phương hai vế của phương trình, ta được

26x2−63x+38=25x2−60x+3626x^2 - 63x + 38 = 25x^2 - 60x + 36

Sau khi thu gọn ta được x2−3x+2=0x^2 - 3x + 2 = 0. Từ đó x=1x = 1 hoặc x=2x = 2.

b) Thay lần lượt hai giá trị này của xx vào phương trình đã cho, ta thấy x=2x = 2 thoả mãn.

Kết quả: S={2}S = \{2\}