Giải Toán 10 Tập 2 trang 47-50 - Kết nối tri thức

Trang 47 — Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Bài 7.13. Tìm tâm và tính bán kính của đường tròn $(x+3)^2 + (y-3)^2 = 36$.

Lời giải:

Đường tròn có phương trình dạng $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, với tâm $I(a; b)$ và bán kính $R$.

So sánh với phương trình đã cho: $(x+3)^2 + (y-3)^2 = 36$, ta có $a = -3$, $b = 3$, $R^2 = 36$.

Do đó, tâm của đường tròn là $I(-3; 3)$ và bán kính $R = \sqrt{36} = 6$.

Kết quả: Tâm $I(-3; 3)$, bán kính $R = 6$.

Bài 7.14. Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình của một đường tròn và tìm tâm, bán kính của đường tròn tương ứng.

a) $x^2 + y^2 + xy + 4x - 2 = 0$;

b) $x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 = 0$;

c) $x^2 + y^2 + 6x - 8y + 1 = 0$.

Lời giải:

a) $x^2 + y^2 + xy + 4x - 2 = 0$

Phương trình đã cho không có dạng chuẩn $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, do có thêm hạng tử $xy$.

Vậy phương trình này không phải là phương trình của đường tròn.

b) $x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 = 0$

Ta hoàn thành hình vuông:

$$\begin{aligned} x^2 - 2x + y^2 - 4y &= -5 \\ (x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) &= -5 + 1 + 4 \\ (x-1)^2 + (y-2)^2 &= 0. \end{aligned}$$

Phương trình $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 0$ chỉ có một nghiệm $(x; y) = (1; 2)$.

Vậy phương trình này không phải là phương trình của đường tròn (đường tròn có bán kính bằng 0).

c) $x^2 + y^2 + 6x - 8y + 1 = 0$

Ta hoàn thành hình vuông:

$$\begin{aligned} x^2 + 6x + y^2 - 8y &= -1 \\ (x^2 + 6x + 9) + (y^2 - 8y + 16) &= -1 + 9 + 16 \\ (x+3)^2 + (y-4)^2 &= 24. \end{aligned}$$

Do đó, đây là phương trình đường tròn với tâm $I(-3; 4)$ và bán kính $R = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.

Kết quả:
a) Không phải phương trình đường tròn.
b) Không phải phương trình đường tròn.
c) Đường tròn tâm $I(-3; 4)$, bán kính $R = 2\sqrt{6}$.

---

Trang 48 — Đường tròn

Bài 7.15. Viết phương trình của đường tròn $(C)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) Có tâm $I(-2; 5)$ và bán kính $R = 7$;

b) Có tâm $I(1; -2)$ và đi qua điểm $A(-2; 2)$;

c) Có đường kính $AB$, với $A(-1; -3), B(-3; 5)$;

d) Có tâm $I(1; 3)$ và tiếp xúc với đường thẳng $x + 2y + 3 = 0$.

Lời giải:

a) Phương trình đường tròn có tâm $I(-2; 5)$ và bán kính $R = 7$ là:

$$(x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 7^2$$ $$\Leftrightarrow (x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 49$$

Kết quả: $(x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 49$

b) Bán kính $R = IA = \sqrt{(-2 - 1)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Phương trình đường tròn có tâm $I(1; -2)$ và bán kính $R = 5$ là:

$$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 5^2$$ $$\Leftrightarrow (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 25$$

Kết quả: $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 25$

c) Tâm $I$ là trung điểm của $AB$, nên tọa độ của $I$ là:

$$I\left(\frac{-1 + (-3)}{2}; \frac{-3 + 5}{2}\right) = I(-2; 1)$$

Bán kính $R = IA = \sqrt{(-1 - (-2))^2 + (-3 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$.

Phương trình đường tròn có tâm $I(-2; 1)$ và bán kính $R = \sqrt{17}$ là:

$$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = (\sqrt{17})^2$$ $$\Leftrightarrow (x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 17$$

Kết quả: $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 17$

d) Bán kính $R = d(I, \Delta) = \frac{|1 + 2\cdot 3 + 3|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{8}{\sqrt{5}} = \frac{8\sqrt{5}}{5}$.

Phương trình đường tròn có tâm $I(1; 3)$ và bán kính $R = \frac{8\sqrt{5}}{5}$ là:

$$(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = \left(\frac{8\sqrt{5}}{5}\right)^2$$ $$\Leftrightarrow (x - 1)^2 + (y - 3)^2 = \frac{64}{5}$$

Kết quả: $(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = \frac{64}{5}$

Bài 7.16. Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác $ABC$, với $A(6; -2), B(4; 2), C(5; -5)$. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Lời giải:

Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Ta có: $IA = IB = IC$.

Gọi tọa độ của $I$ là $(a; b)$.

Ta có:

$$\begin{aligned} IA &= IB \\ \Leftrightarrow \sqrt{(6 - a)^2 + (-2 - b)^2} &= \sqrt{(4 - a)^2 + (2 - b)^2} \\ \Leftrightarrow (6 - a)^2 + (-2 - b)^2 &= (4 - a)^2 + (2 - b)^2 \\ \Leftrightarrow 36 - 12a + a^2 + 4 + 4b + b^2 &= 16 - 8a + a^2 + 4 - 4b + b^2 \\ \Leftrightarrow 36 - 12a + 4 + 4b &= 16 - 8a + 4 - 4b \\ \Leftrightarrow -4a + 8b &= -20 \\ \Leftrightarrow -a + 2b &= -5 \quad (1) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} IA &= IC \\ \Leftrightarrow \sqrt{(6 - a)^2 + (-2 - b)^2} &= \sqrt{(5 - a)^2 + (-5 - b)^2} \\ \Leftrightarrow (6 - a)^2 + (-2 - b)^2 &= (5 - a)^2 + (-5 - b)^2 \\ \Leftrightarrow 36 - 12a + a^2 + 4 + 4b + b^2 &= 25 - 10a + a^2 + 25 + 10b + b^2 \\ \Leftrightarrow 36 - 12a + 4 + 4b &= 25 - 10a + 25 + 10b \\ \Leftrightarrow -2a - 6b &= 10 \\ \Leftrightarrow -a - 3b &= 5 \quad (2) \end{aligned}$$

Từ $(1), (2)$ ta có hệ phương trình:

$$\begin{cases} -a + 2b = -5 \\ -a - 3b = 5 \end{cases}$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} 5b = -10 \\ -a + 2b = -5 \end{cases}$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} b = -2 \\ a = 1 \end{cases}$$

$\Rightarrow I(1; -2)$.

Bán kính $R = IA = \sqrt{(6 - 1)^2 + (-2 - (-2))^2} = \sqrt{5^2} = 5$.

Phương trình đường tròn có tâm $I(1; -2)$ và bán kính $R = 5$ là:

$$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 5^2$$ $$\Leftrightarrow (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 25$$

Kết quả: $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 25$

Bài 7.17. Cho đường tròn $(C): x^2 + y^2 + 2x - 4y + 4 = 0$. Viết phương trình tiếp tuyến $d$ của $(C)$ tại điểm $M(0; 2)$.

Lời giải:

Ta có: $x^2 + y^2 + 2x - 4y + 4 = 0$

$\Leftrightarrow (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 1$.

$\Rightarrow$ Đường tròn $(C)$ có tâm $I(-1; 2)$ và bán kính $R = 1$.

Ta có: $\overrightarrow{IM} = (0 - (-1); 2 - 2) = (1; 0)$.

Phương trình tiếp tuyến $d$ của $(C)$ tại điểm $M(0; 2)$ là:

$$1(x - 0) + 0(y - 2) = 0$$ $$\Leftrightarrow x = 0$$

Kết quả: $x = 0$

Bài 7.18. Chuyển động của một vật thể trong khoảng thời gian $180$ phút được thể hiện trong mặt phẳng tọa độ. Theo đó, tại thời điểm $t$ ($0 \le t \le 180$) vật thể ở vị trí có tọa độ $(2 + \sin t^\circ; 4 + \cos t^\circ)$.

a) Tìm vị trí ban đầu và vị trí kết thúc của vật thể.

b) Tìm quỹ đạo chuyển động của vật thể.

Lời giải:

a) Vị trí ban đầu của vật thể $(t = 0)$ là: $(2 + \sin 0^\circ; 4 + \cos 0^\circ) = (2; 5)$.

Vị trí kết thúc của vật thể $(t = 180)$ là: $(2 + \sin 180^\circ; 4 + \cos 180^\circ) = (2; 3)$.

b) Gọi $x = 2 + \sin t^\circ, y = 4 + \cos t^\circ$.

$\Rightarrow x - 2 = \sin t^\circ, y - 4 = \cos t^\circ$.

Ta có: $\sin^2 t^\circ + \cos^2 t^\circ = 1$.

$\Rightarrow (x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 1$.

Vậy quỹ đạo chuyển động của vật thể là đường tròn có phương trình $(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 1$.

Kết quả: $(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 1$

---

Trang 49 — Ba đường conic

Bài tập 1. Định hai đầu của một sợi dây không đàn hồi vào hai vị trí cố định $F_1, F_2$ trên một mặt bàn (độ dài sợi dây lớn hơn khoảng cách giữa hai điểm $F_1, F_2$). Kéo căng sợi dây tại một điểm $M$ bởi một đầu bút dạ (hoặc phấn). Di chuyển đầu bút dạ để nó vẽ trên mặt bàn một đường khép kín (H.7.18).

a) Đường vừa nhận được có liên hệ với hình ảnh nào ở Hình 7.17?

b) Trong quá trình đầu bút di chuyển để vẽ nên đường nói trên, tổng các khoảng cách từ nó tới các vị trí $F_1, F_2$ có thay đổi không? Vì sao?

Lời giải:

1. Đường vừa nhận được có liên hệ với hình ảnh nào ở Hình 7.17?

Đường vừa nhận được là một đường elip. Hình ảnh tương ứng ở Hình 7.17 là a), mô tả vòi phun nước hình elip.

2. Tổng các khoảng cách từ điểm $M$ tới các vị trí $F_1, F_2$ có thay đổi không?

Theo định nghĩa của elip, elip là tập hợp tất cả các điểm $M$ sao cho tổng khoảng cách từ $M$ tới hai điểm cố định $F_1$ và $F_2$ là không đổi.

Do đó, trong quá trình đầu bút di chuyển để vẽ nên đường elip, tổng các khoảng cách từ nó tới các vị trí $F_1, F_2$ không thay đổi.

Kết quả:

• a) Đường vừa nhận được có liên hệ với hình ảnh a), vòi phun nước.
• b) Tổng khoảng cách không thay đổi.

---

Trang này có BÀI TẬP / CÂU HỎI / LUYỆN TẬP / VÍ DỤ cần giải không?

Trang này có các phần như:

• Ví dụ 1: Cho lục giác đều $ABCDEF$. Chứng minh rằng bốn điểm $B, C, E, F$ cùng thuộc một elip có hai tiêu điểm là $A$ và $D$.
• Luyện tập 1: Trên bàn bida hình elip có một lỗ thu bi tại một tiêu điểm (H.7.20). Nếu gậy chơi tác động đủ mạnh vào một bi đặt tại tiêu điểm còn lại của bàn, bi sẽ bật lại và chạy về lỗ thu (bỏ qua các tác động phụ). Hỏi độ dài quãng đường bi lăn từ điểm xuất phát tới lỗ thu có phụ thuộc vào đường đi của bi hay không? Vì sao?
• HĐ2: Xét một elip $(E)$ với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ có gốc $O$ là trung điểm của $F_1F_2$, tia $Ox$ trùng tia $\overrightarrow{OF_2}$ (H.7.21). a) Nêu tọa độ của các tiêu điểm $F_1, F_2$. b) Giải thích vì sao điểm $M(x; y)$ thuộc elip khi và chỉ khi $\sqrt{(x + c)^2 + y^2} + \sqrt{(x - c)^2 + y^2} = 2a.$

Bài 1.

Bài tập: Ví dụ 1. Cho lục giác đều $ABCDEF$. Chứng minh rằng bốn điểm $B, C, E, F$ cùng thuộc một elip có hai tiêu điểm là $A$ và $D$.

Lời giải: Lục giác đều $ABCDEF$ có các cạnh bằng nhau và các góc đều có số đo là $120^\circ$ (H.7.19). Do đó, các tam giác $ABC, BCD, DEF, EFA$ bằng nhau (c.g.c). Suy ra $AC = BD = DF = AE$. Từ đó, ta có $BA + BD = CA + CD = EA + ED = FA + FD > AD$. Vậy $B, C, E, F$ cùng thuộc một elip có hai tiêu điểm là $A$ và $D$.

Bài 2.

Luyện tập 1. Trên bàn bida hình elip có một lỗ thu bi tại một tiêu điểm (H.7.20). Nếu gậy chơi tác động đủ mạnh vào một bi đặt tại tiêu điểm còn lại của bàn, bi sẽ bật lại và chạy về lỗ thu (bỏ qua các tác động phụ). Hỏi độ dài quãng đường bi lăn từ điểm xuất phát tới lỗ thu có phụ thuộc vào đường đi của bi hay không? Vì sao?

Lời giải: Bàn bida hình elip có lỗ thu bi tại một tiêu điểm. Nếu gậy chơi tác động đủ mạnh vào một bi đặt tại tiêu điểm còn lại của bàn, bi sẽ bật lại và chạy về lỗ thu. Theo định nghĩa elip, tổng khoảng cách từ điểm xuất phát (đặt tại tiêu điểm còn lại) tới hai tiêu điểm luôn bằng $2a$ (bằng độ dài trục lớn của elip). Vì vậy, độ dài quãng đường bi lăn từ điểm xuất phát tới lỗ thu không phụ thuộc vào đường đi của bi.

Bài 3.

HĐ2. Xét một elip $(E)$ với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ có gốc $O$ là trung điểm của $F_1F_2$, tia $Ox$ trùng tia $\overrightarrow{OF_2}$ (H.7.21). a) Nêu tọa độ của các tiêu điểm $F_1, F_2$.

Lời giải: a) Elip $(E)$ có hai tiêu điểm $F_1(-c; 0)$ và $F_2(c; 0)$.

b) Giải thích vì sao điểm $M(x; y)$ thuộc elip khi và chỉ khi $\sqrt{(x + c)^2 + y^2} + \sqrt{(x - c)^2 + y^2} = 2a.$

Lời giải: b) Ta có $M(x; y)$ thuộc elip $(E)$ khi và chỉ khi $MF_1 + MF_2 = 2a$. $\iff \sqrt{(x + c)^2 + y^2} + \sqrt{(x - c)^2 + y^2} = 2a.$

Kết quả: $\boxed{\text{Không phụ thuộc vào đường đi của bi}}$