Luyện tập 2

Cho elip có phương trình chính tắc x2100+y264=1\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{64} = 1. Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của elip.

Lời giải:

Ta có a2=100,b2=64a^2 = 100, b^2 = 64. Do đó c=a2−b2=100−64=36=6c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6.

Vậy elip có hai tiêu điểm là F1(−6;0);F2(6;0)F_1(-6; 0); F_2(6; 0) và tiêu cự là F1F2=2c=2⋅6=12F_1F_2 = 2c = 2 \cdot 6 = 12.

Kết quả: F1(−6;0);F2(6;0)F_1(-6; 0); F_2(6; 0) và tiêu cự là 1212.

Vận dụng 1

Trong bản vẽ thiết kế, vòm của ô thoáng trong Hình 7.22 là nửa nằm phía trên trục hoành của elip có phương trình x216+y24=1\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1. Biết rằng 1 đơn vị trên mặt phẳng toạ độ của bản vẽ thiết kế ứng với 3030 cm trên thực tế. Tính chiều cao hh của ô thoáng tại điểm cách điểm chính giữa của để ô thoáng 7575 cm.

Lời giải:

Ta có x216+y24=1  ⟺  x242+y222=1\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1 \iff \frac{x^2}{4^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1.

  ⟹  a=4;b=2  ⟹  c=a2−b2=42−22=16−4=12=23\implies a=4; b=2 \implies c = \sqrt{a^2-b^2} = \sqrt{4^2-2^2} = \sqrt{16-4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}

Đổi 7575 cm =2.5= 2.5 đơn vị.

Chiều cao hh của ô thoáng tại điểm cách điểm chính giữa của để ô thoáng 7575 cm là:

2.5216+y24=1\frac{2.5^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1

  ⟺  y24=1−6.2516=16−6.2516=9.7516\iff \frac{y^2}{4} = 1 - \frac{6.25}{16} = \frac{16-6.25}{16} = \frac{9.75}{16}

  ⟺  y2=9.754\iff y^2 = \frac{9.75}{4}

  ⟺  y=9.754=1.564\iff y = \sqrt{\frac{9.75}{4}} = 1.564

  ⟹  h≈1.56⋅30=46.92\implies h \approx 1.56 \cdot 30 = 46.92 cm.

Kết quả: h≈46.92h \approx 46.92 cm.

Trang 51 — Hình học

Luyện tập 3. Cho hình chữ nhật ABCDABCD và M,NM, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB,CDAB, CD (H.7.25). Chứng minh rằng bốn điểm A,B,C,DA, B, C, D cùng thuộc một hypebol có hai tiêu điểm là MM và NN.

Lời giải:

Giả sử hình chữ nhật ABCDABCD có kích thước AB=2aAB = 2a và BC=2bBC = 2b. Khi đó, tọa độ của các điểm là A(−a;b),B(a;b),C(a;−b),D(−a;−b),M(0;b),N(0;−b)A(-a; b), B(a; b), C(a; -b), D(-a; -b), M(0; b), N(0; -b).

Ta có

MA2=(−a−0)2+(b−b)2=a2,MB2=(a−0)2+(b−b)2=a2,MC2=(a−0)2+(−b−b)2=a2+4b2,MD2=(−a−0)2+(−b−b)2=a2+4b2,NA2=(−a−0)2+(−b−b)2=a2+4b2,NB2=(a−0)2+(−b−b)2=a2+4b2,NC2=(a−0)2+(−b−b)2=a2,ND2=(−a−0)2+(b−b)2=a2.\begin{aligned} MA^2 &= (-a-0)^2 + (b-b)^2 = a^2, \\ MB^2 &= (a-0)^2 + (b-b)^2 = a^2, \\ MC^2 &= (a-0)^2 + (-b-b)^2 = a^2+4b^2, \\ MD^2 &= (-a-0)^2 + (-b-b)^2 = a^2+4b^2, \\ NA^2 &= (-a-0)^2 + (-b-b)^2 = a^2+4b^2, \\ NB^2 &= (a-0)^2 + (-b-b)^2 = a^2+4b^2, \\ NC^2 &= (a-0)^2 + (-b-b)^2 = a^2, \\ ND^2 &= (-a-0)^2 + (b-b)^2 = a^2. \end{aligned}

Ta thấy

MA⋅MC=a2+a2+4b2=a2+MD2,MB⋅MD=a2+a2+4b2=a2+MC2,NA⋅NC=a2+a2+4b2=a2+ND2,NB⋅ND=a2+a2+4b2=a2+NA2.\begin{aligned} MA \cdot MC &= a^2 + a^2 + 4b^2 = a^2 + MD^2, \\ MB \cdot MD &= a^2 + a^2 + 4b^2 = a^2 + MC^2, \\ NA \cdot NC &= a^2 + a^2 + 4b^2 = a^2 + ND^2, \\ NB \cdot ND &= a^2 + a^2 + 4b^2 = a^2 + NA^2. \end{aligned}

Do đó

MA−MC=a2−4b2MA+MC,MB−MD=a2−4b2MB+MD,NA−NC=a2−4b2NA+NC,NB−ND=a2−4b2NB+ND.\begin{aligned} MA - MC &= \frac{a^2 - 4b^2}{MA + MC}, \\ MB - MD &= \frac{a^2 - 4b^2}{MB + MD}, \\ NA - NC &= \frac{a^2 - 4b^2}{NA + NC}, \\ NB - ND &= \frac{a^2 - 4b^2}{NB + ND}. \end{aligned}

Các đẳng thức trên cho thấy bốn điểm A,B,C,DA, B, C, D cùng thuộc một hypebol có hai tiêu điểm là MM và NN.

Kết quả: Ta đã chứng minh được bốn điểm A,B,C,DA, B, C, D cùng thuộc một hypebol có hai tiêu điểm là MM và NN.

HĐ3. Xét một hypebol (H)(H) với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục tọa độ OxyOxy có gốc OO là trung điểm của F1F2F_1F_2, tia OxOx trùng tia OF2OF_2 (H.7.26). Nếu tọa độ của các tiêu điểm F1,F2F_1,F_2. Giải thích vì sao điểm M(x;y)M(x; y) thuộc (H)(H) khi và chỉ khi

(x+c)2+y2−(x−c)2+y2=2a.\sqrt{(x+c)^2 + y^2} - \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a.

Lời giải:

Giả sử điểm M(x;y)M(x; y) thuộc hypebol (H)(H).

Theo định nghĩa của hypebol, ta có

∣MF1∣−∣MF2∣=2a.|MF_1| - |MF_2| = 2a.

Tọa độ của các tiêu điểm là

F1(−c;0),F2(c;0).\begin{aligned} F_1(-c; 0), \\ F_2(c; 0). \end{aligned}

Ta có

∣MF1∣=(x+c)2+y2,∣MF2∣=(x−c)2+y2.\begin{aligned} |MF_1| &= \sqrt{(x+c)^2 + y^2}, \\ |MF_2| &= \sqrt{(x-c)^2 + y^2}. \end{aligned}

Do đó

∣MF1∣−∣MF2∣=2a  ⟺  (x+c)2+y2−(x−c)2+y2=2a.\begin{aligned} |MF_1| - |MF_2| &= 2a \\ \iff \sqrt{(x+c)^2 + y^2} - \sqrt{(x-c)^2 + y^2} &= 2a. \end{aligned}

Vậy điểm M(x;y)M(x; y) thuộc (H)(H) khi và chỉ khi

(x+c)2+y2−(x−c)2+y2=2a.\sqrt{(x+c)^2 + y^2} - \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a.

Kết quả: Ta đã chứng minh được điểm M(x;y)M(x; y) thuộc (H)(H) khi và chỉ khi (x+c)2+y2−(x−c)2+y2=2a\sqrt{(x+c)^2 + y^2} - \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a.

Trang 53 — Đường conic

Luyện tập 4. Cho (H):x2144−y225=1(H): \frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1. Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của (H)(H).

Lời giải:

Ta có a2=144a^2 = 144, b2=25b^2 = 25, nên c2=a2+b2=169c^2 = a^2 + b^2 = 169, suy ra c=13c = 13.

Vậy hypebol có hai tiêu điểm là F1(−13;0)F_1(-13; 0), F2(13;0)F_2(13; 0) và có tiêu cự 2c=262c = 26.

Kết quả: F1(−13;0)F_1(-13; 0), F2(13;0)F_2(13; 0), 2c=262c = 26.