Giải Toán 10 Tập 2 trang 55-58 - Kết nối tri thức

Trang 55 — Một số ứng dụng của ba đường conic

Trang này không có bài tập, câu hỏi, luyện tập hoặc ví dụ cần giải. Toàn bộ nội dung trên trang là lý thuyết về tính chất quang học của các đường conic.

Kết luận

SKIP

---

Trang 56 — Một số ứng dụng

Trang này không có BÀI TẬP / CÂU HỎI / LUYỆN TẬP / VÍ DỤ cần giải.

SKIP

---

Trang 57 — Chương 7: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Bài 7.19. Cho elip có phương trình: $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{9} = 1$. Tìm tiêu điểm và tiêu cự của elip.

Lời giải:

Elip có phương trình $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{9} = 1$ có dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ với $a^2 = 36$ và $b^2 = 9$.

Do đó, $a = 6$ và $b = 3$.

Ta có $c^2 = a^2 - b^2 = 36 - 9 = 27$, nên $c = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$.

Vậy tiêu điểm của elip là $F_1(-3\sqrt{3}; 0)$ và $F_2(3\sqrt{3}; 0)$.

Tiêu cự của elip là $2c = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$.

Kết quả: Tiêu điểm $(-3\sqrt{3}; 0)$ và $(3\sqrt{3}; 0)$, tiêu cự $6\sqrt{3}$.

Bài 7.20. Cho hypebol có phương trình: $\frac{x^2}{7} - \frac{y^2}{9} = 1$. Tìm tiêu điểm và tiêu cự của hypebol.

Lời giải:

Hypebol có phương trình $\frac{x^2}{7} - \frac{y^2}{9} = 1$ có dạng $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ với $a^2 = 7$ và $b^2 = 9$.

Do đó, $a = \sqrt{7}$ và $b = 3$.

Ta có $c^2 = a^2 + b^2 = 7 + 9 = 16$, nên $c = \sqrt{16} = 4$.

Vậy tiêu điểm của hypebol là $F_1(-4; 0)$ và $F_2(4; 0)$.

Tiêu cự của hypebol là $2c = 2 \cdot 4 = 8$.

Kết quả: Tiêu điểm $(-4; 0)$ và $(4; 0)$, tiêu cự $8$.

Bài 7.21. Cho parabol có phương trình: $y^2 = 8x$. Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol.

Lời giải:

Parabol có phương trình $y^2 = 8x$ có dạng $y^2 = 2px$ với $2p = 8$, nên $p = 4$.

Do đó, tiêu điểm của parabol là $F(2; 0)$.

Đường chuẩn của parabol là $\Delta: x = -\frac{p}{2} = -2$.

Kết quả: Tiêu điểm $(2; 0)$, đường chuẩn $x = -2$.

Bài 7.22. Lập phương trình chính tắc của elip đi qua điểm $A(5; 0)$ và có một tiêu điểm là $F_2(3; 0)$.

Lời giải:

Elip đi qua điểm $A(5; 0)$ nên $a = 5$.

Tiêu điểm $F_2(3; 0)$ nên $c = 3$.

Ta có $b^2 = a^2 - c^2 = 25 - 9 = 16$.

Vậy phương trình chính tắc của elip là $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$.

Kết quả: $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$.

Bài 7.23. Lập phương trình chính tắc của parabol đi qua điểm $M(2; 4)$.

Lời giải:

Parabol đi qua điểm $M(2; 4)$ nên $4^2 = 2p \cdot 2$, suy ra $p = 4$.

Vậy phương trình chính tắc của parabol là $y^2 = 8x$.

Kết quả: $y^2 = 8x$.

Bài 7.24. Có hai trạm phát tín hiệu vô tuyến đặt tại hai vị trí $A$, $B$ cách nhau $300$ km. Tại cùng một thời điểm, hai trạm cùng phát tín hiệu với vận tốc $292 000$ km/s để một tàu thủy thu và đo độ lệch thời gian. Tín hiệu từ $A$ đến sớm hơn tín hiệu từ $B$ là $0,0005$ s. Từ thông tin trên, ta có thể xác định được tàu thủy thuộc đường hypebol nào? Viết phương trình chính tắc của hypebol đó theo đơn vị kilômét.

Lời giải:

Hiệu khoảng cách từ tàu thủy đến hai trạm phát tín hiệu là:

$\Delta d = 292 000 \cdot 0.0005 = 146$ km.

Khoảng cách giữa hai tiêu điểm là $AB = 300$ km.

Ta có $2a = 146$, nên $a = 73$.

$c = \frac{300}{2} = 150$.

$b^2 = c^2 - a^2 = 150^2 - 73^2 = 22500 - 5329 = 17171$.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol là $\frac{x^2}{5329} - \frac{y^2}{17171} = 1$.

Kết quả: $\frac{x^2}{5329} - \frac{y^2}{17171} = 1$.

Bài 7.25. Khúc cua của một con đường có dạng hình parabol, điểm đầu vào khúc cua là $A$, điểm cuối là $B$, khoảng cách $AB = 400$ m. Đỉnh parabol $(P)$ của khúc cua cách đường thẳng $AB$ một khoảng $20$ m và cách đều $A$, $B$ (H.7.34).

$a)$ Lập phương trình chính tắc của $(P)$, với $1$ đơn vị đo trong mặt phẳng tọa độ tương ứng $1$ m trên thực tế.

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ sao cho $A$ nằm trên trục $Ox$.

Vì $A$, $B$ đối xứng qua trục $Oy$ và cách đều $O$ nên $A(-200; 0)$ và $B(200; 0)$.

Đỉnh của parabol là $O(0; -20)$.

Phương trình của parabol là $x^2 = 2py$, với $p > 0$.

Thay tọa độ điểm $A$ vào phương trình trên, ta có:

$(-200)^2 = 2p \cdot (-20) \Rightarrow 40000 = -40p \Rightarrow p = -1000$.

Do đó, phương trình chính tắc của parabol là $x^2 = -2000y$.

Kết quả: $x^2 = -2000y$.

$b)$ Lập phương trình chính tắc của $(P)$, với $1$ đơn vị đo trong mặt phẳng tọa độ tương ứng $1$ km trên thực tế.

Lời giải:

Chuyển đổi đơn vị đo từ mét sang kilômét:

$x^2 = -2000y \Rightarrow \left(\frac{x}{1000}\right)^2 = -2y$.

Vậy phương trình chính tắc của parabol là $x^2 = -2000y$.

Kết quả: $x^2 = -2y$.

---

Trang 57 —

Không có BÀI TẬP / CÂU HỎI / LUYỆN TẬP / VÍ DỤ cần giải trên trang này.

Kết quả: SKIP