Giải Toán 10 Tập 2 trang 59-62 - Kết nối tri thức

Trang 58 — Bài tập cuối chương VII

A - TRẮC NGHIỆM

7.26. Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của đường thẳng?

A. $2x - y + 1 = 0.$
B. $\begin{cases} x = 2t \\ y = t \end{cases}$
C. $x^2 + y^2 = 1.$
D. $y = 2x + 3.$

Lời giải:
Phương trình tham số của đường thẳng có dạng $\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases}$, trong đó $(x_0; y_0)$ là điểm thuộc đường thẳng và $\vec{v} = (a; b)$ là vectơ chỉ phương.

Trong các đáp án:

• Đáp án B: $\begin{cases} x = 2t \\ y = t \end{cases}$ có dạng phương trình tham số.
• Các đáp án khác không đúng vì:
  • A là phương trình tổng quát.
  • C là phương trình đường tròn.
  • D là phương trình chính tắc (dạng ẩn $y$).

Đáp án: $\boxed{B}$

7.27. Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của đường thẳng?

A. $-x - 2y + 3 = 0.$
B. $\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 3 - t \end{cases}$
C. $y^2 = 2x.$
D. $\frac{x^2}{10} + \frac{y^2}{6} = 1.$

Lời giải:
Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng $ax + by + c = 0$.

Trong các đáp án:

• Đáp án A: $-x - 2y + 3 = 0$ đúng dạng phương trình tổng quát.
• Các đáp án khác không đúng vì:
  • B là phương trình tham số.
  • C là phương trình parabol.
  • D là phương trình elip.

Đáp án: $\boxed{A}$

7.28. Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn?

A. $x^2 - y^2 = 1.$
B. $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = -4.$
C. $x^2 + y^2 = 2.$
D. $y^2 = 8x.$

Lời giải:
Phương trình đường tròn có dạng $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.

Trong các đáp án:

• Đáp án C: $x^2 + y^2 = 2$ có thể viết thành $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = (\sqrt{2})^2$, đúng dạng phương trình đường tròn.
• Các đáp án khác không đúng vì:
  • A là phương trình hyperbol.
  • B có bán kính không dương (sai).
  • D là phương trình parabol.

Đáp án: $\boxed{C}$

7.29. Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường elip?

A. $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{9} = 1.$
B. $\frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{3} = 1.$
C. $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{1} = 1.$
D. $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{1} = 1.$

Lời giải:
Phương trình chính tắc của elip: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ với $a > b > 0$.

Trong các đáp án:

• Đáp án D: $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{1} = 1$ đúng dạng phương trình elip.
• Các đáp án khác không đúng vì:
  • A có $a^2 = b^2$ (tròn).
  • B sai vì $b^2 < a^2$.
  • C là phương trình hyperbol.

Đáp án: $\boxed{D}$

7.30. Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường hyperbol?

A. $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{2} = -1.$
B. $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{2} = 1.$
C. $x^2 + y^2 = 1.$
D. $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{1} = -1.$

Lời giải:
Phương trình chính tắc của hyperbol: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ hoặc $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$.

Trong các đáp án:

• Đáp án B: $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{2} = 1$ đúng dạng phương trình hyperbol.
• Các đáp án khác không đúng vì:
  • A có dấu $-$ nhưng $= -1$ không đúng.
  • C là phương trình đường tròn.
  • D không đúng dạng.

Đáp án: $\boxed{B}$

7.31. Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường parabol?

A. $x^2 = 4y.$
B. $x^2 = -6y.$
C. $y^2 = 4x.$
D. $y^2 = -4x.$

Lời giải:
Phương trình chính tắc của parabol: $y^2 = 2px$ hoặc $x^2 = 2py$.

Trong các đáp án:

• Đáp án C: $y^2 = 4x$ đúng dạng $y^2 = 2px$ với $p = 2$.
• Đáp án A cũng đúng dạng nhưng cần kiểm tra hệ số.

Đáp án: $\boxed{C}$

B - TỰ LUẬN

7.32. Trong mặt phẳng tọa độ, cho $A(1; -1), B(3; 5), C(-2; 4)$. Tính diện tích tam giác $ABC$.

Lời giải:
Diện tích tam giác $ABC$ được tính theo công thức:
$$S = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$$
với $A(x_1; y_1), B(x_2; y_2), C(x_3; y_3)$.

Thay tọa độ:
$$S = \frac{1}{2} |1(5 - 4) + 3(4 - (-1)) + (-2)((-1) - 5)|$$
$$S = \frac{1}{2} |1(1) + 3(5) - 2(-6)|$$
$$S = \frac{1}{2} |1 + 15 + 12|$$
$$S = \frac{1}{2} |28| = 14.$$

Kết quả: $14$.

7.33. Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai điểm $A(-1; 0)$ và $B(3; 1)$.

a) Viết phương trình đường tròn tâm $A$ và đi qua $B$.
b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$.
c) Viết phương trình đường tròn tâm $O$ và tiếp xúc với đường thẳng $AB$.

Lời giải:

a) Phương trình đường tròn tâm $A(-1; 0)$ và đi qua $B(3; 1)$.

Bán kính $R = AB = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17}.$
Phương trình đường tròn:
$$(x + 1)^2 + (y - 0)^2 = 17.$$

b) Phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$.

Vectơ chỉ phương $\vec{AB} = (4; 1)$.
Vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; -4)$.
Phương trình tổng quát:
$$1(x + 1) - 4(y - 0) = 0 \iff x - 4y + 1 = 0.$$

c) Phương trình đường tròn tâm $O(0; 0)$ và tiếp xúc với đường thẳng $AB$.

Khoảng cách từ $O$ đến $AB$:
$$d = \frac{|0 - 4\cdot 0 + 1|}{\sqrt{1^2 + (-4)^2}} = \frac{1}{\sqrt{17}}.$$
Phương trình đường tròn:
$$x^2 + y^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{17}}\right)^2.$$

7.34. Cho đường tròn $(C)$ có phương trình $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$.

a) Tìm tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của $(C)$.
b) Chứng minh rằng điểm $M(5; 1)$ thuộc $(C)$. Viết phương trình tiếp tuyến $d$ của $(C)$ tại $M$.

Lời giải:

a) Tọa độ tâm và bán kính.

Biến đổi phương trình:
$$x^2 - 4x + y^2 + 6y = 12$$
$$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = 12 + 4 + 9$$
$$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25.$$
Tâm $I(2; -3)$, bán kính $R = 5$.

b) Chứng minh $M(5; 1)$ thuộc $(C)$ và viết phương trình tiếp tuyến.

Kiểm tra:
$$(5 - 2)^2 + (1 + 3)^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25.$$
$M$ thuộc $(C)$.

Vectơ pháp tuyến tại $M$: $\vec{IM} = (5 - 2; 1 - (-3)) = (3; 4)$.
Phương trình tiếp tuyến:
$$3(x - 5) + 4(y - 1) = 0$$
$$3x + 4y - 19 = 0.$$

Kết quả: $3x + 4y - 19 = 0$.

---

Trang 60 —

Bài 7.35. Cho elip $(E): \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0)$.

a) Tìm các giao điểm $A_1, A_2$ của $(E)$ với trục hoành và các giao điểm $B_1, B_2$ của $(E)$ với trục tung. Tính $A_1A_2, B_1B_2$.

b) Xét một điểm bất kì $M(x_0,y_0)$ thuộc $(E)$. Chứng minh rằng, $b^2 \le x_0^2 + y_0^2 \le a^2$ và $b \le OM \le a$.

Lời giải:

a)

• Để tìm các giao điểm của $(E)$ với trục hoành, ta cho $y = 0$ và giải phương trình $\frac{x^2}{a^2} = 1$.

$$\frac{x^2}{a^2} = 1 \implies x^2 = a^2 \implies x = \pm a.$$

Do đó, các giao điểm với trục hoành là $A_1(-a; 0)$ và $A_2(a; 0)$. => Độ dài $A_1A_2 = 2a$.

• Để tìm các giao điểm của $(E)$ với trục tung, ta cho $x = 0$ và giải phương trình $\frac{y^2}{b^2} = 1$.

$$\frac{y^2}{b^2} = 1 \implies y^2 = b^2 \implies y = \pm b.$$

Do đó, các giao điểm với trục tung là $B_1(0; -b)$ và $B_2(0; b)$. => Độ dài $B_1B_2 = 2b$.

b)

• Điểm $M(x_0, y_0)$ thuộc $(E)$ nên ta có:

$$\frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} = 1.$$

Từ phương trình trên, ta có:

$$\frac{x_0^2}{a^2} \le 1 \implies x_0^2 \le a^2$$

và

$$\frac{y_0^2}{b^2} \le 1 \implies y_0^2 \le b^2.$$

Cộng hai bất đẳng thức, ta có:

$$x_0^2 + y_0^2 \le a^2 + b^2.$$

Mặt khác, do $a > b > 0$ nên $b^2 \le a^2$, suy ra:

$$b^2 \le x_0^2 + y_0^2 \le a^2 + b^2.$$

Ta lại có:

$$\frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} = 1 \implies \frac{x_0^2}{a^2} \ge 1 - \frac{y_0^2}{b^2} \implies x_0^2 \ge a^2 \left( 1 - \frac{y_0^2}{b^2} \right)$$

và

$$b^2 \le x_0^2 + y_0^2.$$

Từ đó suy ra:

$$b \le OM \le a.$$

Kết quả: $A_1A_2 = 2a, B_1B_2 = 2b$.

Bài 7.36. Cho hypebol có phương trình: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1.$

a) Tìm các giao điểm $A_1, A_2$ của hypebol với trục hoành (hoành độ của $A_1$ nhỏ hơn của $A_2$).

b) Chứng minh rằng, nếu điểm $M(x; y)$ thuộc nhánh nằm bên trái trục tung của hypebol thì $x \le -a$, nếu điểm $M(x; y)$ thuộc nhánh nằm bên phải trục tung của hypebol thì $x \ge a$.

c) Tìm các điểm $M_1, M_2$ tương ứng thuộc các nhánh bên trái, bên phải trục tung của hypebol để $OM_1, OM_2$ nhỏ nhất.

Lời giải:

a)

• Để tìm các giao điểm của hypebol với trục hoành, ta cho $y = 0$ và giải phương trình $\frac{x^2}{a^2} = 1$.

$$\frac{x^2}{a^2} = 1 \implies x^2 = a^2 \implies x = \pm a.$$

Do đó, các giao điểm với trục hoành là $A_1(-a; 0)$ và $A_2(a; 0)$.

b)

• Ta có:

$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1.$$

Nếu $M(x; y)$ thuộc nhánh bên trái trục tung của hypebol thì $x < 0$, do đó:

$$\frac{x^2}{a^2} > 1 \implies x^2 > a^2 \implies x \le -a.$$

Nếu $M(x; y)$ thuộc nhánh bên phải trục tung của hypebol thì $x > 0$, do đó:

$$\frac{x^2}{a^2} > 1 \implies x^2 > a^2 \implies x \ge a.$$

c)

• Ta có:

$$OM^2 = x^2 + y^2 = x^2 + \frac{b^2}{a^2} (x^2 - a^2) = \frac{a^2 + b^2}{a^2} x^2 - \frac{b^2}{a^2} a^2 = \frac{a^2 + b^2}{a^2} \left( x - 0 \right)^2 + 0.$$

Do đó, $OM$ nhỏ nhất khi $x = \pm a$.

• Khi $x = -a$ thì $y = 0$, ta có điểm $M_1(-a; 0)$.
• Khi $x = a$ thì $y = 0$, ta có điểm $M_2(a; 0)$.

Kết quả: $M_1(-a; 0), M_2(a; 0)$.

Bài 7.37. Một cột trụ hình hypebol $(H.7.36)$, có chiều cao $6 \text{ m}$, chỗ nhỏ nhất ở chính giữa và rộng $0.8 \text{ m}$, đỉnh cột ở đáy cột và đáy cột đều rộng $1 \text{ m}$. Tính độ rộng của cột ở độ cao $5 \text{ m}$ (tính theo đơn vị mét và làm tròn tới hai chữ số sau dấu phẩy).

Lời giải:

• Để giải quyết bài toán này, ta cần xác định phương trình của hypebol.
• Gọi phương trình hypebol là $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1.$
• Ta có:
  • Chiều cao của cột là $6 \text{ m}$, suy ra $c = 6.$
  • Chỗ nhỏ nhất ở chính giữa và rộng $0.8 \text{ m}$, suy ra $2a = 0.8 \implies a = 0.4.$
  • Đỉnh cột ở đáy cột và đáy cột đều rộng $1 \text{ m}$, suy ra $a + c = 6 \implies b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{6^2 - 0.4^2} \approx 5.968.$
• Phương trình hypebol là:

$$\frac{x^2}{0.4^2} - \frac{y^2}{5.968^2} = 1.$$

Tại độ cao $y = 5 \text{ m}$, ta có:

$$\frac{x^2}{0.4^2} - \frac{5^2}{5.968^2} = 1 \implies x^2 = 0.4^2 \left( 1 + \frac{5^2}{5.968^2} \right) \implies x \approx \pm 0.42.$$

Độ rộng của cột ở độ cao $5 \text{ m}$ là $2 \cdot 0.42 = 0.84 \text{ m}.$

Kết quả: $0.84$.

---

Trang 61 — Đại số tổ hợp

Không có bài tập, câu hỏi, luyện tập hay ví dụ cần giải trên trang này. Toàn bộ nội dung trang 61 là phần lý thuyết về quy tắc đếm.

---

Trang 62 — Quy tắc đếm

Bài 1. Chọn chuyến đi (H.8.1)

Từ Hà Nội vào Vinh mỗi ngày có $7$ chuyến tàu hoả và $2$ chuyến máy bay. Bạn An muốn ngày Chủ nhật này đi từ Hà Nội vào Vinh bằng tàu hoả hoặc máy bay.

Hỏi bạn An có bao nhiêu cách chọn chuyến đi?

Lời giải:

Bạn An có thể đi bằng tàu hoả hoặc máy bay.

• Số cách chọn chuyến đi bằng tàu hoả là $7$ (cách).
• Số cách chọn chuyến đi bằng máy bay là $2$ (cách).

Theo quy tắc cộng, số cách chọn chuyến đi là:

$$7 + 2 = 9$$

Kết quả: $9$ cách.

Bài 2. Chọn vé tàu (H.8.2)

Bạn An đã quyết định mua vé tàu đi từ Hà Nội vào Vinh trên chuyến tàu SE7. Trên tàu có các toa ghế ngồi và các toa ghế nằm. Toa ghế ngồi có hai loại vé: ghế ngồi cứng và ghế ngồi mềm. Toa nằm có loại khoang $4$ giường và khoang $6$ giường. Khoang $4$ giường có hai loại vé: tầng $1$ và tầng $2$, khoang $6$ giường có ba loại vé: tầng $1$, tầng $2$ và tầng $3$. Hỏi:

a) Có bao nhiêu loại vé ghế ngồi và bao nhiêu loại vé giường nằm?

b) Có bao nhiêu loại vé để bạn An lựa chọn?

Lời giải:

a) Số loại vé ghế ngồi là $2$ (vé ghế ngồi cứng và vé ghế ngồi mềm).

Số loại vé giường nằm là:

• Khoang $4$ giường có $2$ loại vé: tầng $1$ và tầng $2$.
• Khoang $6$ giường có $3$ loại vé: tầng $1$, tầng $2$ và tầng $3$.

Do đó, tổng số loại vé giường nằm là $2 + 3 = 5$ (loại).

b) Số loại vé để bạn An lựa chọn là:

$$2 + 5 = 7$$

Kết quả:

• a) $2$ loại vé ghế ngồi và $5$ loại vé giường nằm.
• b) $7$ loại vé.