Giải Toán 10 Tập 2 trang 75-78 - Kết nối tri thức

Bài 8.12

a) $(x - 3)^4$

Lời giải:

Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton:

$$(x - 3)^4 = C_4^0 x^4 + C_4^1 x^3(-3) + C_4^2 x^2(-3)^2 + C_4^3 x(-3)^3 + C_4^4(-3)^4$$ $$= x^4 + 4x^3(-3) + 6x^2 \cdot 9 + 4x \cdot (-27) + 81$$ $$= x^4 - 12x^3 + 54x^2 - 108x + 81$$

Kết quả: $x^4 - 12x^3 + 54x^2 - 108x + 81$

---

Bài 8.12

b) $(3x - 2y)^4$

Lời giải:

Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton:

$$(3x - 2y)^4 = C_4^0(3x)^4 + C_4^1(3x)^3(-2y) + C_4^2(3x)^2(-2y)^2 + C_4^3(3x)(-2y)^3 + C_4^4(-2y)^4$$ $$= 81x^4 + 4 \cdot 27x^3 \cdot (-2y) + 6 \cdot 9x^2 \cdot 4y^2 + 4 \cdot 3x \cdot (-8y^3) + 16y^4$$ $$= 81x^4 - 216x^3y + 216x^2y^2 - 96xy^3 + 16y^4$$

Kết quả: $81x^4 - 216x^3y + 216x^2y^2 - 96xy^3 + 16y^4$

---

Bài 8.12

c) $(x + 5)^4 + (x - 5)^4$

Lời giải:

Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton:

$$(x + 5)^4 = C_4^0 x^4 + C_4^1 x^3 \cdot 5 + C_4^2 x^2 \cdot 5^2 + C_4^3 x \cdot 5^3 + C_4^4 \cdot 5^4$$ $$= x^4 + 20x^3 + 150x^2 + 500x + 625$$ $$(x - 5)^4 = C_4^0 x^4 + C_4^1 x^3(-5) + C_4^2 x^2(-5)^2 + C_4^3 x(-5)^3 + C_4^4(-5)^4$$ $$= x^4 - 20x^3 + 150x^2 - 500x + 625$$

Cộng hai biểu thức:

$$(x + 5)^4 + (x - 5)^4 = 2x^4 + 300x^2 + 1250$$

Kết quả: $2x^4 + 300x^2 + 1250$

---

Bài 8.12

d) $(x - 2y)^5$

Lời giải:

Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton:

$$(x - 2y)^5 = C_5^0 x^5 + C_5^1 x^4(-2y) + C_5^2 x^3(-2y)^2 + C_5^3 x^2(-2y)^3 + C_5^4 x(-2y)^4 + C_5^5(-2y)^5$$ $$= x^5 + 5x^4(-2y) + 10x^3 \cdot 4y^2 + 10x^2 \cdot (-8y^3) + 5x \cdot 16y^4 + (-32y^5)$$ $$= x^5 - 10x^4y + 40x^3y^2 - 80x^2y^3 + 80xy^4 - 32y^5$$

Kết quả: $x^5 - 10x^4y + 40x^3y^2 - 80x^2y^3 + 80xy^4 - 32y^5$

---

Bài 8.13

Tìm hệ số của $x^4$ trong khai triển của $(3x - 1)^5$

Lời giải:

Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton:

$$(3x - 1)^5 = C_5^0(3x)^5 + C_5^1(3x)^4(-1) + C_5^2(3x)^3(-1)^2 + C_5^3(3x)^2(-1)^3 + C_5^4(3x)(-1)^4 + C_5^5(-1)^5$$

Hệ số của $x^4$ là $C_5^1 \cdot 3^4 \cdot (-1) = 5 \cdot 81 \cdot (-1) = -405$

Kết quả: $-405$

---

Bài 8.14

Biểu diễn $(3 + \sqrt{2})^5 - (3 - \sqrt{2})^5$ dưới dạng $a + b\sqrt{2}$ với $a, b$ là các số nguyên.

Lời giải:

Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton:

$$(3 + \sqrt{2})^5 = C_5^0 \cdot 3^5 + C_5^1 \cdot 3^4 \sqrt{2} + C_5^2 \cdot 3^3 \cdot 2 + C_5^3 \cdot 3^2 \cdot 2\sqrt{2} + C_5^4 \cdot 3 \cdot 2^2 + C_5^5 \cdot 2^2\sqrt{2}$$ $$= 243 + 405\sqrt{2} + 540 + 180\sqrt{2} + 72 + 4\sqrt{2}$$ $$= 855 + 589\sqrt{2}$$ $$(3 - \sqrt{2})^5 = C_5^0 \cdot 3^5 - C_5^1 \cdot 3^4 \sqrt{2} + C_5^2 \cdot 3^3 \cdot 2 - C_5^3 \cdot 3^2 \cdot 2\sqrt{2} + C_5^4 \cdot 3 \cdot 2^2 - C_5^5 \cdot 2^2\sqrt{2}$$ $$= 243 - 405\sqrt{2} + 540 - 180\sqrt{2} + 72 - 4\sqrt{2}$$ $$= 855 - 589\sqrt{2}$$

Trừ hai biểu thức:

$$(3 + \sqrt{2})^5 - (3 - \sqrt{2})^5 = 855 + 589\sqrt{2} - (855 - 589\sqrt{2}) = 1178\sqrt{2}$$

Kết quả: $0 + 1178\sqrt{2}$

---

Trang 76 —

Trang này không có BÀI TẬP / CÂU HỎI / LUYỆN TẬP / VÍ DỤ cần giải.

---

Trang 76 — BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG VIII

A - TRẮC NGHIỆM

8.17. Số cách cắm 4 bông hoa khác nhau vào 4 bình hoa khác nhau (mỗi bông hoa cắm vào một bình) là

A. $16$.
B. $24$.
C. $8$.
D. $4$.

Lời giải:

Số cách cắm 4 bông hoa khác nhau vào 4 bình hoa khác nhau là số hoán vị của 4 phần tử, được tính bằng $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

Kết quả: B. $24$.

8.18. Số các số có ba chữ số khác nhau, trong đó các chữ số đều lớn hơn $0$ và nhỏ hơn hoặc bằng $5$ là

A. $120$.
B. $60$.
C. $720$.
D. $2$.

Lời giải:

Các chữ số có thể chọn là $1, 2, 3, 4, 5$.

• Có $5$ cách chọn chữ số hàng trăm.
• Có $4$ cách chọn chữ số hàng chục (khác chữ số hàng trăm).
• Có $3$ cách chọn chữ số hàng đơn vị (khác hai chữ số trên).

Số các số có ba chữ số khác nhau là $5 \times 4 \times 3 = 60$.

Kết quả: B. $60$.

8.19. Số cách chọn $3$ bạn học sinh đi học bơi từ một nhóm $10$ bạn học sinh là

A. $3 628 800$.
B. $604 800$.
C. $120$.
D. $720$.

Lời giải:

Số cách chọn $3$ bạn học sinh từ $10$ bạn là tổ hợp chập $3$ của $10$, được tính bằng

$$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = 120.$$

Kết quả: C. $120$.

8.20. Bạn An gieo một con xúc xắc hai lần. Số các trường hợp để tổng số chấm xuất hiện trên con xúc xắc bằng $8$ qua hai lần gieo là

A. $36$.
B. $6$.
C. $5$.
D. $4$.

Lời giải:

Các trường hợp tổng số chấm bằng $8$ là: $(2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4)$.
Vậy có $5$ trường hợp.

Kết quả: C. $5$.

8.21. Hệ số của $x^4$ trong khai triển nhị thức $(3x - 4)^5$ là

A. $1 620$.
B. $60$.
C. $-60$.
D. $-1 620$.

Lời giải:

Số hạng tổng quát trong khai triển $(3x - 4)^5$ là

$$T_{k+1} = C_5^k (3x)^k (-4)^{5-k}.$$

Với $x^4 \Rightarrow k = 4$, hệ số là

$$C_5^4 \cdot 3^4 \cdot (-4)^1 = 5 \cdot 81 \cdot (-4) = -1620.$$

Kết quả: D. $-1 620$.

---

B - TỰ LUẬN

8.22.
a) Có bao nhiêu cách viết một dãy $5$ chữ cái in hoa từ bằng chữ cái tiếng Anh (gồm $26$ chữ cái)?

Lời giải:

Mỗi chữ cái trong dãy đều có $26$ cách chọn, nên số cách viết một dãy $5$ chữ cái in hoa là

$$26^5 = 11 881 376.$$

b) Có bao nhiêu cách viết một dãy $5$ chữ cái in hoa khác nhau từ bằng chữ cái tiếng Anh (gồm $26$ chữ cái)?

Lời giải:

Số cách chọn là

$$P_5 = 26 \times 25 \times 24 \times 23 \times 22 = 7 893 600.$$

8.23. Từ các chữ số: $1;\, 2;\, 3;\, 4;\, 5;\, 6$,
a) Có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau?

Lời giải:

• Có $6$ cách chọn chữ số hàng trăm.
• Có $5$ cách chọn chữ số hàng chục.
• Có $4$ cách chọn chữ số hàng đơn vị.

Tổng số số có ba chữ số khác nhau là

$$6 \times 5 \times 4 = 120.$$

b) Có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau và chia hết cho $3$?

Lời giải:

Các bộ số có tổng chia hết cho $3$ là:

• $(1, 2, 3)$
• $(1, 2, 6)$
• $(1, 3, 5)$
• $(1, 5, 6)$
• $(2, 3, 4)$
• $(2, 4, 6)$
• $(3, 4, 5)$
• $(4, 5, 6)$

Với mỗi bộ, có $3! = 6$ cách sắp xếp.

Tổng số số là

$$6 \times 8 = 48.$$

8.24. Tế bào $A$ có $2n = 8$ nhiễm sắc thể (NST), và nguyên phân $5$ lần liên tiếp. Tế bào $B$ có $2n = 14$ NST và nguyên phân $4$ lần liên tiếp. Tính và so sánh tổng số NST trong tế bào $A$ và trong tế bào $B$ được tạo ra.

Lời giải:

• Tế bào $A$:

  • Số tế bào con tạo ra: $2^5 = 32$.
  • Tổng số NST: $32 \times 8 = 256$.

• Tế bào $B$:

  • Số tế bào con tạo ra: $2^4 = 16$.
  • Tổng số NST: $16 \times 14 = 224$.

Tế bào $A$ nhiều hơn tế bào $B$: $256 - 224 = 32$ NST.

8.25. Lớp $10B$ có $40$ học sinh gồm $25$ nam và $15$ nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn $3$ bạn tham gia vào đội thiện nguyện của trường trong mỗi trường hợp sau?

a) Ba học sinh được chọn là bất kì.

Lời giải:

Số cách chọn $3$ học sinh từ $40$ học sinh là

$$C_{40}^3 = 9 880.$$

b) Ba học sinh được chọn gồm $1$ nam và $2$ nữ.

Lời giải:

• Chọn $1$ nam từ $25$ bạn: $C_{25}^1 = 25$.
• Chọn $2$ nữ từ $15$ bạn: $C_{15}^2 = 105$.

Tổng số cách chọn:

$$25 \times 105 = 2 625.$$

c) Có ít nhất một nam trong ba học sinh được chọn.

Lời giải:

Số cách chọn $3$ nữ: $C_{15}^3 = 455$.
Số cách chọn có ít nhất $1$ nam:

$$9 880 - 455 = 9 425.$$

8.26. Trong khai triển nhị thức Newton của $(2x + 3)^5$, hệ số của $x^4$ hay hệ số của $x^3$ lớn hơn?

Lời giải:

Số hạng tổng quát:

$$T_{k+1} = C_5^k (2x)^k \cdot 3^{5-k}.$$

• Hệ số $x^4$ (với $k = 4$):

$$C_5^4 \cdot 2^4 \cdot 3^1 = 5 \cdot 16 \cdot 3 = 240.$$

• Hệ số $x^3$ (với $k = 3$):

$$C_5^3 \cdot 2^3 \cdot 3^2 = 10 \cdot 8 \cdot 9 = 720.$$

Vì $720 > 240$ nên hệ số của $x^3$ lớn hơn.

---