Giải Toán 10 Tập 2 trang 94-97 - Kết nối tri thức

Trang 95 — Hoạt động 2. Đánh giá sai số của ước tính

Bài.

Dựa vào dữ liệu trong Bảng 1, em hãy hoàn thành bảng tính theo mẫu sau:

Lần	$N$	$M$	$n$	$k$	$\hat{N}$	Sai số tuyệt đối	Sai số tương đối
1	1 000	100	51	4	?	?	?
2	1 000	100	?	?	?	?	?
3	1 000	100	?	?	?	?	?

Lời giải:

Công thức sử dụng

• $\hat{N} = N \cdot \frac{n}{k}$
• Sai số tuyệt đối $= |N - \hat{N}|$
• Sai số tương đối $= \frac{\text{Sai số tuyệt đối}}{N} \cdot 100\%$

Lần 1

• $\hat{N} = 1 000 \cdot \frac{51}{4} = 12 750$
• Sai số tuyệt đối $= |1 000 - 12 750| = 11 750$
• Sai số tương đối $= \frac{11 750}{1 000} \cdot 100\% = 1 175\%$

Lần 2

• $n = 103$, $k = 11$
• $\hat{N} = 1 000 \cdot \frac{103}{11} \approx 9 363$
• Sai số tuyệt đối $= |1 000 - 9 363| = 8 363$
• Sai số tương đối $= \frac{8 363}{1 000} \cdot 100\% \approx 836.3\%$

Lần 3

• $n = 155$, $k = 16$
• $\hat{N} = 1 000 \cdot \frac{155}{16} = 9 687.5$
• Sai số tuyệt đối $= |1 000 - 9 687.5| = 8 687.5$
• Sai số tương đối $= \frac{8 687.5}{1 000} \cdot 100\% \approx 868.75\%$

Kết quả hoàn chỉnh bảng

Lần	$N$	$M$	$n$	$k$	$\hat{N}$	Sai số tuyệt đối	Sai số tương đối
1	1 000	100	51	4	12 750	11 750	1 175%
2	1 000	100	103	11	9 363	8 363	836.3%
3	1 000	100	155	16	9 687.5	8 687.5	868.75%

Nhận xét: Khi $n$ càng lớn, sai số tương đối giảm dần, cho thấy độ chính xác tăng lên.

Kết quả:

• Lần 1: $\hat{N} = 12 750$, Sai số tuyệt đối $= 11 750$, Sai số tương đối $= 1 175\%$
• Lần 2: $\hat{N} \approx 9 363$, Sai số tuyệt đối $= 8 363$, Sai số tương đối $\approx 836.3\%$
• Lần 3: $\hat{N} = 9 687.5$, Sai số tuyệt đối $= 8 687.5$, Sai số tương đối $= 868.75\%$

---

Trang 95 — Bài tập ôn tập cuối năm

A - TRẮC NGHIỆM

1. Cho hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn $\begin{cases} x + y > 2 \\ x - y \le 1 \end{cases}$. Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho?

A. $(1; 1)$.
B. $(2; 0)$.
C. $(3; 2)$.
D. $(3; -2)$.

Lời giải:

• Thế điểm $(1; 1)$ vào hệ bất phương trình:
  $\begin{cases} 1 + 1 > 2 \\ 1 - 1 \le 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2 > 2 \\ 0 \le 1 \end{cases}$ (sai).
• Thế điểm $(2; 0)$ vào hệ bất phương trình:
  $\begin{cases} 2 + 0 > 2 \\ 2 - 0 \le 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2 > 2 \\ 2 \le 1 \end{cases}$ (sai).
• Thế điểm $(3; 2)$ vào hệ bất phương trình:
  $\begin{cases} 3 + 2 > 2 \\ 3 - 2 \le 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 5 > 2 \\ 1 \le 1 \end{cases}$ (đúng).
• Thế điểm $(3; -2)$ vào hệ bất phương trình:
  $\begin{cases} 3 + (-2) > 2 \\ 3 - (-2) \le 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 1 > 2 \\ 5 \le 1 \end{cases}$ (sai).

Kết quả: $\boxed{C}$.

2. Cho tam giác $ABC$. Có bao nhiêu điểm $M$ thỏa mãn $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} \right| = 3$?

A. Vô số.
B. $1$.
C. $2$.
D. $3$.

Lời giải:

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Khi đó:
$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG}$.

Do đó:
$\left| 3\overrightarrow{MG} \right| = 3 \Leftrightarrow 3MG = 3 \Leftrightarrow MG = 1$.

Tập hợp các điểm $M$ là đường tròn tâm $G$, bán kính $1$.

Kết quả: $\boxed{A}$.

3. Biết rằng parabol $y = x^2 + bx + c$ có đỉnh là $I(1; 4)$. Khi đó giá trị của $b + c$ là

A. $1$.
B. $2$.
C. $3$.
D. $4$.

Lời giải:

Parabol $y = x^2 + bx + c$ có đỉnh $I(1; 4)$, suy ra:
$\begin{cases} -\frac{b}{2} = 1 \\ 1 + b + c = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b = -2 \\ c = 5 \end{cases}$.

Do đó:
$b + c = -2 + 5 = 3$.

Kết quả: $\boxed{C}$.

4. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta: x + 2y - 5 = 0$. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. Vecto $\overrightarrow{n} = (1; 2)$ là một vecto pháp tuyến của $\Delta$.
B. Vecto $\overrightarrow{u} = (2; -1)$ là một vecto chỉ phương của $\Delta$.
C. Đường thẳng $\Delta$ song song với đường thẳng $d: \begin{cases} x = 1 - 2t \\ y = 1 + t \end{cases}$.
D. Đường thẳng $\Delta$ có hệ số góc $k = 2$.

Lời giải:

• Vecto pháp tuyến của $\Delta$ là $\overrightarrow{n} = (1; 2)$ $\Rightarrow$ A đúng.
• Vecto chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow{u} = (2; -1)$ $\Rightarrow$ B đúng.
• Hệ số góc của $\Delta$ là $k = -\frac{1}{2}$ $\Rightarrow$ D sai.
• Đường thẳng $d$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_d} = (-2; 1)$. Do $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u_d} = 2 \cdot (-2) + (-1) \cdot 1 = -5 \ne 0$ $\Rightarrow$ C sai.

Kết quả: $\boxed{C}$.

5. Trong khai triển nhị thức Newton của $(2+3x)^4$, hệ số của $x^2$ là

A. $9$.
B. $C_4^2$.
C. $9C_4^2$.
D. $36C_4^2$.

Lời giải:

Số hạng tổng quát trong khai triển:
$a_k = C_4^k \cdot 2^{4-k} \cdot (3x)^k$.

Số hạng chứa $x^2$ khi $k = 2$:
$a_2 = C_4^2 \cdot 2^2 \cdot (3x)^2 = C_4^2 \cdot 4 \cdot 9x^2 = 36C_4^2x^2$.

Kết quả: $\boxed{D}$.

6. Một tổ gồm 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên hai người. Xác suất để trong hai người được chọn có ít nhất một nữ là

A. $\frac{7}{15}$.
B. $\frac{8}{15}$.
C. $\frac{1}{15}$.
D. $\frac{2}{15}$.

Lời giải:

Tổng số cách chọn 2 người:
$C_{10}^2 = 45$.

Số cách chọn 2 nam:
$C_7^2 = 21$.

Xác suất chọn 2 người có ít nhất 1 nữ:
$P = 1 - \frac{21}{45} = \frac{24}{45} = \frac{8}{15}$.

Kết quả: $\boxed{B}$.

---

B - TỰ LUẬN

7. Cho các mệnh đề:

$P:$ "Tam giác $ABC$ là tam giác vuông tại $A$";
$Q:$ "Tam giác $ABC$ có các cạnh thỏa mãn $AB^2 + AC^2 = BC^2$".

a) Hãy phát biểu các mệnh đề: $P \Rightarrow Q$, $Q \Rightarrow P$, $P \Leftrightarrow Q$, $\overline{P} \Rightarrow \overline{Q}$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề này.

b) Dùng các khái niệm "điều kiện cần" và "điều kiện đủ" để diễn tả mệnh đề $P \Rightarrow Q$.

c) Gọi $X$ là tập hợp các tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $Y$ là tập hợp các tam giác $ABC$ có trung tuyến $AM = \frac{1}{2}BC$. Nếu mối quan hệ giữa hai tập hợp $X$ và $Y$.

Lời giải:

a)

• $P \Rightarrow Q:$ "Nếu tam giác $ABC$ vuông tại $A$ thì $AB^2 + AC^2 = BC^2$". (Đúng, theo định lý Pythagoras).
• $Q \Rightarrow P:$ "Nếu $AB^2 + AC^2 = BC^2$ thì tam giác $ABC$ vuông tại $A$". (Đúng).
• $P \Leftrightarrow Q:$ "Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ khi và chỉ khi $AB^2 + AC^2 = BC^2$". (Đúng).
• $\overline{P} \Rightarrow \overline{Q}:$ "Nếu tam giác $ABC$ không vuông tại $A$ thì $AB^2 + AC^2 \ne BC^2$". (Đúng).

b)

• Điều kiện đủ: Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ thì $AB^2 + AC^2 = BC^2$.
• Điều kiện cần: $AB^2 + AC^2 = BC^2$ thì tam giác $ABC$ vuông tại $A$.

c)
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ $\Rightarrow AM = \frac{1}{2}BC$ (trung tuyến ứng với cạnh huyền).

Do đó: $X \subset Y$.

Kết quả: $X \subset Y$.

---

Trang 97 —

Trang này không có bài tập, câu hỏi, luyện tập hay ví dụ cần giải.