Bài tập (Bài 1, tiếp)

Bài 4. Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 6060 km. Sau 11 giờ 4040 phút, một xe máy cũng đi từ A đến B và đến B sớm hơn xe đạp 11 giờ. Tính tốc độ của mỗi xe, biết rằng tốc độ của xe máy gấp 33 lần tốc độ của xe đạp.

Lời giải:

Gọi tốc độ xe đạp là xx (km/h, x>0x > 0); tốc độ xe máy là 3x3x (km/h).

Thời gian xe đạp đi hết quãng đường: 60x\dfrac{60}{x} (giờ); thời gian xe máy: 603x=20x\dfrac{60}{3x} = \dfrac{20}{x} (giờ).

Xe máy xuất phát sau 11 giờ 4040 phút =53= \dfrac{5}{3} giờ nhưng đến B sớm hơn 11 giờ, nên xe máy đi ít hơn xe đạp tổng cộng 53+1=83\dfrac{5}{3} + 1 = \dfrac{8}{3} giờ:

60x−20x=83  ⟺  40x=83  ⟺  x=15.\frac{60}{x} - \frac{20}{x} = \frac{8}{3} \iff \frac{40}{x} = \frac{8}{3} \iff x = 15.

Vậy tốc độ xe đạp là 1515 km/h, tốc độ xe máy là 4545 km/h.

Bài 5. Một xí nghiệp dự định chia đều 12 600 00012\,600\,000 đồng để thưởng cho các công nhân tham gia hội thao nhân ngày thành lập xí nghiệp. Khi đến ngày hội thao chỉ có 80%80\% số công nhân tham gia, vì thế mỗi người tham gia hội thao được nhận thêm 105 000105\,000 đồng. Tính số công nhân dự định tham gia lúc đầu.

Lời giải:

Gọi số công nhân dự định tham gia lúc đầu là xx (người, x>0x > 0, nguyên).

Số tiền thưởng mỗi người theo dự định: 12 600 000x\dfrac{12\,600\,000}{x} (đồng).

Số người thực tế tham gia: 0,8x0{,}8x; số tiền thưởng thực tế mỗi người: 12 600 0000,8x\dfrac{12\,600\,000}{0{,}8x} (đồng).

Theo đề bài, thực tế mỗi người nhận thêm 105 000105\,000 đồng:

12 600 0000,8x−12 600 000x=105 000.\frac{12\,600\,000}{0{,}8x} - \frac{12\,600\,000}{x} = 105\,000.

  ⟺  12 600 000x(10,8−1)=105 000  ⟺  12 600 000x⋅0,25=105 000  ⟺  3 150 000x=105 000  ⟺  x=30.\iff \frac{12\,600\,000}{x}\left(\frac{1}{0{,}8} - 1\right) = 105\,000 \iff \frac{12\,600\,000}{x} \cdot 0{,}25 = 105\,000 \iff \frac{3\,150\,000}{x} = 105\,000 \iff x = 30.

Vậy số công nhân dự định tham gia lúc đầu là 3030 người.

Bài 2. Phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

HĐ1. Để chuyển đổi từ độ F (kí hiệu xx) sang độ C (kí hiệu yy), ta dùng công thức y=59(x−32)y = \dfrac{5}{9}(x - 32).

a) Biến đổi công thức trên về dạng x−1,8y=32x - 1{,}8y = 32. (1)

b) Hỏi 20 ∘20\,^\circC tương ứng với bao nhiêu độ F?

c) Hỏi 98,6 ∘98{,}6\,^\circF tương ứng với bao nhiêu độ C?

Lời giải:

a) y=59(x−32)  ⟺  9y=5(x−32)  ⟺  9y=5x−160  ⟺  5x−9y=160y = \dfrac{5}{9}(x - 32) \iff 9y = 5(x - 32) \iff 9y = 5x - 160 \iff 5x - 9y = 160. Chia hai vế cho 55: x−1,8y=32x - 1{,}8y = 32.

b) Thay y=20y = 20 vào (1): x−1,8⋅20=32  ⟺  x=32+36=68x - 1{,}8 \cdot 20 = 32 \iff x = 32 + 36 = 68. Vậy 20 ∘20\,^\circC =68 ∘= 68\,^\circF.

c) Thay x=98,6x = 98{,}6: 98,6−1,8y=32  ⟺  1,8y=66,6  ⟺  y=3798{,}6 - 1{,}8y = 32 \iff 1{,}8y = 66{,}6 \iff y = 37. Vậy 98,6 ∘98{,}6\,^\circF =37 ∘= 37\,^\circC.

Định nghĩa: Phương trình bậc nhất hai ẩn xx và yy có dạng ax+by=cax + by = c, trong đó aa, bb, cc là các hệ số đã biết và aa, bb không đồng thời bằng 00. Cặp số (x0;y0)(x_0; y_0) làm hai vế bằng nhau gọi là một nghiệm.

Ví dụ 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất hai ẩn? Xác định các hệ số aa, bb, cc:

a) 3x+5y=−33x + 5y = -3; b) 0x−2y=70x - 2y = 7; c) −4x+0y=5-4x + 0y = 5; d) 0x+0y=80x + 0y = 8.

Lời giải:

a) Là phương trình bậc nhất hai ẩn với a=3a = 3, b=5b = 5, c=−3c = -3.

b) Là phương trình bậc nhất hai ẩn với a=0a = 0, b=−2b = -2, c=7c = 7.

c) Là phương trình bậc nhất hai ẩn với a=−4a = -4, b=0b = 0, c=5c = 5.

d) Không là phương trình bậc nhất hai ẩn vì a=0a = 0 và b=0b = 0.

Ví dụ 2. Cho phương trình 3x−y=13x - y = 1. Trong hai cặp số (1;2)(1; 2) và (1;−2)(1; -2), cặp số nào là nghiệm?

Lời giải:

Cặp (1;2)(1; 2) là nghiệm vì 3⋅1−2=13 \cdot 1 - 2 = 1.

Cặp (1;−2)(1; -2) không là nghiệm vì 3⋅1−(−2)=5≠13 \cdot 1 - (-2) = 5 \ne 1.

Chú ý: Mỗi nghiệm (x0;y0)(x_0; y_0) được biểu diễn bởi điểm có tọa độ (x0;y0)(x_0; y_0) trên mặt phẳng OxyOxy. Phương trình ax+by=cax + by = c luôn có vô số nghiệm; tất cả các nghiệm được biểu diễn bởi một đường thẳng.

Ví dụ 3. Biểu diễn tất cả các nghiệm của mỗi phương trình trên mặt phẳng tọa độ OxyOxy:

a) −3x+y=2-3x + y = 2; b) 0x+y=−20x + y = -2; c) 2x+0y=32x + 0y = 3.

Lời giải:

a) Viết lại thành y=3x+2y = 3x + 2. Tất cả các nghiệm được biểu diễn bởi đường thẳng d ⁣:y=3x+2d\colon y = 3x + 2 (đi qua (0;2)(0; 2) và (−23;0)\left(-\dfrac{2}{3}; 0\right)).

b) Viết lại thành y=−2y = -2. Tất cả các nghiệm được biểu diễn bởi đường thẳng dd vuông góc với OyOy tại điểm M(0;−2)M(0; -2) (đường thẳng nằm ngang).

c) Viết lại thành x=1,5x = 1{,}5. Tất cả các nghiệm được biểu diễn bởi đường thẳng dd vuông góc với OxOx tại điểm N(1,5;0)N(1{,}5; 0) (đường thẳng thẳng đứng).

Thực hành 1. Xác định các hệ số aa, bb, cc của mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn sau:

a) x+5y=−4x + 5y = -4; b) 3x+y=0\sqrt{3}x + y = 0; c) 0x−32y=60x - \dfrac{3}{2}y = 6; d) 2x+0y=−1,52x + 0y = -1{,}5.

Lời giải:

a) a=1a = 1, b=5b = 5, c=−4c = -4.

b) a=3a = \sqrt{3}, b=1b = 1, c=0c = 0.

c) a=0a = 0, b=−32b = -\dfrac{3}{2}, c=6c = 6.

d) a=2a = 2, b=0b = 0, c=−1,5c = -1{,}5.

Thực hành 2. Cho phương trình 3x+2y=43x + 2y = 4. (1)

a) Trong hai cặp số (1;2)(1; 2) và (2;−1)(2; -1), cặp số nào là nghiệm của phương trình (1)?

b) Tìm y0y_0 để cặp số (4;y0)(4; y_0) là nghiệm của phương trình (1).

c) Tìm thêm hai nghiệm của phương trình (1).

d) Biểu diễn tất cả các nghiệm của phương trình (1) trên mặt phẳng tọa độ OxyOxy.

Lời giải:

a) Cặp (1;2)(1; 2): 3⋅1+2⋅2=7≠43 \cdot 1 + 2 \cdot 2 = 7 \ne 4 — không phải nghiệm. Cặp (2;−1)(2; -1): 3⋅2+2⋅(−1)=43 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) = 4 — là nghiệm.

b) Thay x=4x = 4: 3⋅4+2y0=4  ⟺  2y0=−8  ⟺  y0=−43 \cdot 4 + 2y_0 = 4 \iff 2y_0 = -8 \iff y_0 = -4. Vậy (4;−4)(4; -4) là nghiệm.

c) Cho x=0x = 0: 2y=4  ⟺  y=22y = 4 \iff y = 2, được nghiệm (0;2)(0; 2). Cho y=0y = 0: 3x=4  ⟺  x=433x = 4 \iff x = \dfrac{4}{3}, được nghiệm (43;0)\left(\dfrac{4}{3}; 0\right).

d) Viết lại thành y=4−3x2y = \dfrac{4 - 3x}{2}. Tất cả các nghiệm được biểu diễn bởi đường thẳng đi qua hai điểm (0;2)(0; 2) và (43;0)\left(\dfrac{4}{3}; 0\right).

2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

HĐ2. Một ô tô đi từ A đến B, cùng lúc đó một xe máy đi từ B về A. Gọi xx (km/h) là tốc độ của ô tô, yy (km/h) là tốc độ của xe máy (x>0x > 0, y>0y > 0). Biết:

(1) Tốc độ ô tô hơn tốc độ xe máy 1515 km/h;

(2) Quãng đường AB dài 210210 km và hai xe gặp nhau sau 22 giờ.

a) Từ dữ kiện (1), lập một phương trình hai ẩn.

b) Từ dữ kiện (2), lập thêm một phương trình hai ẩn.

c) Bạn An khẳng định tốc độ ô tô và xe máy lần lượt là 6060 km/h và 4545 km/h. Có thể dùng hai phương trình lập được để kiểm tra khẳng định của bạn An đúng hay sai không?

Lời giải:

a) Tốc độ ô tô hơn xe máy 1515 km/h: x−y=15x - y = 15.

b) Sau 22 giờ hai xe đi được tổng quãng đường bằng AB: 2x+2y=2102x + 2y = 210.

c) Có thể kiểm tra bằng cách thay x=60x = 60, y=45y = 45 vào hai phương trình: 60−45=1560 - 45 = 15 (đúng) và 2⋅60+2⋅45=2102 \cdot 60 + 2 \cdot 45 = 210 (đúng). Cả hai phương trình đều thỏa mãn nên khẳng định của bạn An đúng.

Định nghĩa: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn xx, yy có dạng (I){ax+by=ca′x+b′y=c′(I)\begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases}. Cặp (x0;y0)(x_0; y_0) là nghiệm chung của cả hai phương trình được gọi là một nghiệm của hệ.

Ví dụ 4. Trong các hệ sau, hệ nào là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn?

a) {x+3y=32x+y=−4\begin{cases} x + 3y = 3 \\ 2x + y = -4 \end{cases}; b) {0x+0y=−52x+7y=3\begin{cases} 0x + 0y = -5 \\ 2x + 7y = 3 \end{cases}; c) {2x+0y=00x−3y=1\begin{cases} 2x + 0y = 0 \\ 0x - 3y = 1 \end{cases}.

Lời giải:

a) Là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn với a=1a = 1, b=3b = 3, c=3c = 3 và a′=2a' = 2, b′=1b' = 1, c′=−4c' = -4.

b) Không phải, vì phương trình thứ nhất có a=b=0a = b = 0.

c) Là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn với a=2a = 2, b=0b = 0, c=0c = 0 và a′=0a' = 0, b′=−3b' = -3, c′=1c' = 1.

Ví dụ 5. Cho hệ phương trình {2x+3y=7x−3y=−1\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ x - 3y = -1 \end{cases}. Trong hai cặp số (2;1)(2; 1) và (−1;3)(-1; 3), cặp số nào là nghiệm của hệ?

Lời giải:

Cặp (2;1)(2; 1): 2⋅2+3⋅1=72 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = 7 và 2−3⋅1=−12 - 3 \cdot 1 = -1 — cả hai đúng, nên (2;1)(2; 1) là nghiệm của hệ.

Cặp (−1;3)(-1; 3): 2⋅(−1)+3⋅3=72 \cdot (-1) + 3 \cdot 3 = 7 (đúng) nhưng −1−3⋅3=−10≠−1-1 - 3 \cdot 3 = -10 \ne -1 — nên (−1;3)(-1; 3) không là nghiệm của hệ.