Bài 4 (tiếp). Hình vành khuyên

HĐ3. a) Vẽ đường tròn (C)(C) tâm OO bán kính r=5r = 5 cm và đường tròn (C′)(C') tâm OO bán kính R=8R = 8 cm.

b) Tính diện tích SS của (C)(C) và diện tích S′S' của (C′)(C').

c) Cho biết hiệu số (S′−S)(S' - S) biểu diễn diện tích của phần nào trên Hình 9.

Lời giải:

a) Vẽ hai đường tròn đồng tâm OO với hai bán kính 55 cm và 88 cm.

b) S=πr2=25πS = \pi r^2 = 25\pi (cm²); S′=πR2=64πS' = \pi R^2 = 64\pi (cm²).

c) S′−S=64π−25π=39πS' - S = 64\pi - 25\pi = 39\pi (cm²) biểu diễn diện tích phần nằm giữa hai đường tròn (phần hình vành khuyên).

Định nghĩa và công thức: Cho hai đường tròn đồng tâm (O;R)(O; R) và (O;r)(O; r) với R>rR > r. Hình vành khuyên là phần mặt phẳng giới hạn bởi hai đường tròn đó. Diện tích:

S=π(R2−r2).S = \pi(R^2 - r^2).

Ví dụ 4. Tính diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn (O;5(O; 5 cm)) và (O;8(O; 8 cm)).

Lời giải:

S=π(R2−r2)=π(82−52)=39π≈122,52 (cm2).S = \pi(R^2 - r^2) = \pi(8^2 - 5^2) = 39\pi \approx 122{,}52 \text{ (cm}^2\text{)}.

Thực hành 3. Tính diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn (O;10(O; 10 cm)) và (O;20(O; 20 cm)).

Lời giải:

S=π(202−102)=π(400−100)=300π≈942,48 (cm2).S = \pi(20^2 - 10^2) = \pi(400 - 100) = 300\pi \approx 942{,}48 \text{ (cm}^2\text{)}.

Vận dụng 3. Cho hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn (O;r)(O; r) và (O;R)(O; R) với R>rR > r. Trên đường tròn (O;R)(O; R) lấy hai điểm BB, CC sao cho BCBC vừa là dây cung của (O;R)(O; R), vừa là tiếp tuyến của đường tròn (O;r)(O; r) tại AA (Hình 11).

a) Tính độ dài đoạn thẳng BCBC theo rr và RR.

b) Cho BC=a3BC = a\sqrt{3}. Tính diện tích hình vành khuyên theo aa.

Lời giải:

a) Vì BCBC tiếp xúc với (O;r)(O; r) tại AA nên OA⊥BCOA \perp BC và OA=rOA = r. Dây BCBC của (O;R)(O; R) có OAOA là khoảng cách từ tâm đến dây, nên AA là trung điểm BCBC.

Trong tam giác OABOAB vuông tại AA: AB=OB2−OA2=R2−r2AB = \sqrt{OB^2 - OA^2} = \sqrt{R^2 - r^2}.

Do đó BC=2AB=2R2−r2BC = 2AB = 2\sqrt{R^2 - r^2}.

b) Từ BC=a3BC = a\sqrt{3}: 2R2−r2=a3  ⟺  R2−r2=3a242\sqrt{R^2 - r^2} = a\sqrt{3} \iff R^2 - r^2 = \dfrac{3a^2}{4}.

Diện tích hình vành khuyên:

S=π(R2−r2)=π⋅3a24=3πa24.S = \pi(R^2 - r^2) = \pi \cdot \frac{3a^2}{4} = \frac{3\pi a^2}{4}.

Bài tập

Bài 1. Tính độ dài các cung 30∘30^\circ; 90∘90^\circ; 120∘120^\circ của đường tròn (O;6(O; 6 cm)).

Lời giải: Dùng l=πRn180l = \dfrac{\pi R n}{180} với R=6R = 6:

  • Cung 30∘30^\circ: l=π⋅6⋅30180=π≈3,14l = \dfrac{\pi \cdot 6 \cdot 30}{180} = \pi \approx 3{,}14 (cm).
  • Cung 90∘90^\circ: l=π⋅6⋅90180=3π≈9,42l = \dfrac{\pi \cdot 6 \cdot 90}{180} = 3\pi \approx 9{,}42 (cm).
  • Cung 120∘120^\circ: l=π⋅6⋅120180=4π≈12,57l = \dfrac{\pi \cdot 6 \cdot 120}{180} = 4\pi \approx 12{,}57 (cm).

Bài 2. Tính diện tích các hình quạt tròn ứng với cung có số đo lần lượt 30∘30^\circ; 90∘90^\circ; 120∘120^\circ của hình tròn (O;12(O; 12 cm)).

Lời giải: Dùng S=πR2n360S = \dfrac{\pi R^2 n}{360} với R=12R = 12 (R2=144R^2 = 144):

  • Cung 30∘30^\circ: S=π⋅144⋅30360=12π≈37,70S = \dfrac{\pi \cdot 144 \cdot 30}{360} = 12\pi \approx 37{,}70 (cm²).
  • Cung 90∘90^\circ: S=π⋅144⋅90360=36π≈113,10S = \dfrac{\pi \cdot 144 \cdot 90}{360} = 36\pi \approx 113{,}10 (cm²).
  • Cung 120∘120^\circ: S=π⋅144⋅120360=48π≈150,80S = \dfrac{\pi \cdot 144 \cdot 120}{360} = 48\pi \approx 150{,}80 (cm²).

Bài 3. Tính diện tích các hình quạt tròn ứng với cung có độ dài lần lượt là 88 cm, 1515 cm của hình tròn (O;5(O; 5 cm)).

Lời giải:

Diện tích hình quạt có thể tính theo công thức S=l⋅R2S = \dfrac{l \cdot R}{2} (với ll là độ dài cung, RR là bán kính):

  • Cung dài 88 cm: S=8⋅52=20S = \dfrac{8 \cdot 5}{2} = 20 (cm²).
  • Cung dài 1515 cm: S=15⋅52=37,5S = \dfrac{15 \cdot 5}{2} = 37{,}5 (cm²).

(Công thức này suy ra từ S=πR2n360=R2⋅πRn180=R2⋅lS = \dfrac{\pi R^2 n}{360} = \dfrac{R}{2} \cdot \dfrac{\pi R n}{180} = \dfrac{R}{2} \cdot l.)

Bài 4. Tính diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn (O;9(O; 9 cm)) và (O;12(O; 12 cm)).

Lời giải:

S=π(R2−r2)=π(122−92)=π(144−81)=63π≈197,92 (cm2).S = \pi(R^2 - r^2) = \pi(12^2 - 9^2) = \pi(144 - 81) = 63\pi \approx 197{,}92 \text{ (cm}^2\text{)}.

Bài 5. Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây cung có độ dài là 5555 cm và cung có số đo 95∘95^\circ (Hình 12).

Lời giải:

Gọi RR là bán kính, AOB^=95∘\widehat{AOB} = 95^\circ, dây AB=55AB = 55 cm. Từ dây: AB=2Rsin⁡95∘2AB = 2R\sin\dfrac{95^\circ}{2}, suy ra:

R=AB2sin⁡47,5∘=552⋅0,7373≈37,30 (cm).R = \frac{AB}{2\sin 47{,}5^\circ} = \frac{55}{2 \cdot 0{,}7373} \approx 37{,}30 \text{ (cm)}.

Diện tích hình quạt tròn OAmBOAmB (cung 95∘95^\circ):

Squạt=πR2⋅95360=π⋅37,302⋅95360≈1 153,5 (cm2).S_{\text{quạt}} = \frac{\pi R^2 \cdot 95}{360} = \frac{\pi \cdot 37{,}30^2 \cdot 95}{360} \approx 1\,153{,}5 \text{ (cm}^2\text{)}.

Diện tích tam giác OABOAB:

S△OAB=12R2sin⁡95∘=12⋅37,302⋅0,9962≈693,0 (cm2).S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2}R^2\sin 95^\circ = \frac{1}{2} \cdot 37{,}30^2 \cdot 0{,}9962 \approx 693{,}0 \text{ (cm}^2\text{)}.

Diện tích hình viên phân:

S=Squạt−S△OAB≈1 153,5−693,0=460,5 (cm2).S = S_{\text{quạt}} - S_{\triangle OAB} \approx 1\,153{,}5 - 693{,}0 = 460{,}5 \text{ (cm}^2\text{)}.

Bài 6. Một máy kéo nông nghiệp có đường kính bánh xe sau là 124124 cm và đường kính bánh xe trước là 8080 cm. Hỏi khi bánh xe sau lăn được 2020 vòng thì bánh xe trước lăn được bao nhiêu vòng?

Lời giải:

Quãng đường đi được khi bánh xe sau lăn 2020 vòng bằng 2020 lần chu vi bánh sau:

S=20⋅π⋅124=2 480π (cm).S = 20 \cdot \pi \cdot 124 = 2\,480\pi \text{ (cm)}.

Số vòng bánh trước lăn được (chu vi bánh trước =80π= 80\pi):

n=2 480π80π=2 48080=31 (voˋng).n = \frac{2\,480\pi}{80\pi} = \frac{2\,480}{80} = 31 \text{ (vòng)}.

Bài 7. Thành phố Đà Lạt nằm vào khoảng 11∘58′11^\circ 58' vĩ độ Bắc. Mỗi vòng kinh tuyến của Trái Đất dài khoảng 40 00040\,000 km. Hãy tính độ dài cung kinh tuyến từ Đà Lạt đến xích đạo.

Lời giải:

Vĩ độ 11∘58′11^\circ 58' chính là số đo cung kinh tuyến từ Đà Lạt đến xích đạo. Đổi ra độ: 11∘58′=11+5860≈11,967∘11^\circ 58' = 11 + \dfrac{58}{60} \approx 11{,}967^\circ.

Một vòng kinh tuyến (360∘360^\circ) dài 40 00040\,000 km, nên độ dài cung 11,967∘11{,}967^\circ:

l=40 000360⋅11,967≈111,11⋅11,967≈1 329,6 (km).l = \frac{40\,000}{360} \cdot 11{,}967 \approx 111{,}11 \cdot 11{,}967 \approx 1\,329{,}6 \text{ (km)}.

Vậy cung kinh tuyến từ Đà Lạt đến xích đạo dài khoảng 1 3301\,330 km.