Bài tập cuối chương 5

Câu hỏi trắc nghiệm

Bài 1. Cho hai đường tròn (O;5(O; 5 cm)), (O′;4(O'; 4 cm)) với OO′=9OO' = 9 cm. Kết luận nào đúng về vị trí tương đối của hai đường tròn?

Lời giải: R+R′=5+4=9=OO′R + R' = 5 + 4 = 9 = OO' nên hai đường tròn tiếp xúc ngoài. Đáp án C.

Bài 2. Cho đường tròn (O;6(O; 6 cm)) và đường thẳng aa với khoảng cách từ OO đến aa là 44 cm. Kết luận nào đúng?

Lời giải: d=4<6=Rd = 4 < 6 = R nên (O)(O) và aa cắt nhau tại hai điểm. Đáp án A.

Bài 3. Góc ở tâm là góc?

Lời giải: Góc ở tâm có đỉnh trùng với tâm đường tròn. Đáp án D.

Bài 4. Hình nào biểu diễn góc nội tiếp?

Lời giải: Góc nội tiếp có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh là hai dây cung. Hình 1b (đỉnh CC trên đường tròn, hai cạnh CBCB, CACA là dây). Đáp án B.

Bài 5. Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn có số đo là?

Lời giải: Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông, 90∘90^\circ. Đáp án C.

Bài 6. Cho hai tiếp tuyến của đường tròn (O)(O) tại AA và BB cắt nhau tại MM. Biết AMB^=50∘\widehat{AMB} = 50^\circ. Số đo cung nhỏ ABAB là?

Lời giải: Tứ giác OAMBOAMB có OAM^=OBM^=90∘\widehat{OAM} = \widehat{OBM} = 90^\circ, nên AOB^=360∘−90∘−90∘−50∘=130∘\widehat{AOB} = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 50^\circ = 130^\circ. Số đo cung nhỏ ABAB bằng góc ở tâm AOB^=130∘\widehat{AOB} = 130^\circ. Đáp án C.

Bài 7. Trong Hình 3 (ABAB là đường kính, CC trên đường tròn), ACB^\widehat{ACB} là góc?

Lời giải: ACB^\widehat{ACB} là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (chắn đường kính ABAB) nên là góc vuông. Đáp án A.

Bài 8. Trong một đường tròn, khẳng định nào sau đây là sai?

Lời giải: Hai góc nội tiếp bằng nhau chắn hai cung bằng nhau, nhưng không nhất thiết cùng chắn một cung. Khẳng định D sai. Đáp án D.

Bài 9. Hình quạt tròn bán kính RR, ứng với cung 90∘90^\circ có diện tích bằng?

Lời giải: S=πR2⋅90360=πR24S = \dfrac{\pi R^2 \cdot 90}{360} = \dfrac{\pi R^2}{4}. Đáp án C.

Bài 10. Hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn (O;2(O; 2 cm)) và (O;4(O; 4 cm)) có diện tích bằng?

Lời giải: S=π(R2−r2)=π(42−22)=12πS = \pi(R^2 - r^2) = \pi(4^2 - 2^2) = 12\pi (cm²). Đáp án D.

Bài tập tự luận

Bài 11. Quan sát Hình 4. Biết DOA^=120∘\widehat{DOA} = 120^\circ, OA⊥OCOA \perp OC, OB⊥ODOB \perp OD.

a) Đọc tên các góc ở tâm có trong hình.

b) Tính số đo của mỗi góc ở tâm tìm được ở câu a.

c) Tìm các cặp cung bằng nhau và có số đo nhỏ hơn 180∘180^\circ.

d) So sánh hai cung nhỏ AB⌢\overset{\frown}{AB} và CD⌢\overset{\frown}{CD}.

Lời giải:

a) Các góc ở tâm: AOB^\widehat{AOB}, BOC^\widehat{BOC}, COD^\widehat{COD}, DOA^\widehat{DOA} (và các góc AOC^\widehat{AOC}, BOD^\widehat{BOD}).

b) OA⊥OCOA \perp OC nên AOC^=90∘\widehat{AOC} = 90^\circ; OB⊥ODOB \perp OD nên BOD^=90∘\widehat{BOD} = 90^\circ. Biết DOA^=120∘\widehat{DOA} = 120^\circ.

Vì tia OBOB, OCOC nằm giữa: COD^=DOA^−AOC^\widehat{COD} = \widehat{DOA} - \widehat{AOC}... Xét thứ tự các tia OAOA, OBOB, OCOC, ODOD quanh OO. Ta có AOB^=AOC^−BOC^\widehat{AOB} = \widehat{AOC} - \widehat{BOC} và DOA^=120∘\widehat{DOA} = 120^\circ.

Từ AOC^=90∘\widehat{AOC} = 90^\circ: COD^=DOA^−AOC^=120∘−90∘=30∘\widehat{COD} = \widehat{DOA} - \widehat{AOC} = 120^\circ - 90^\circ = 30^\circ.

Từ BOD^=90∘\widehat{BOD} = 90^\circ: BOC^=BOD^−COD^=90∘−30∘=60∘\widehat{BOC} = \widehat{BOD} - \widehat{COD} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ.

AOB^=AOC^−BOC^=90∘−60∘=30∘\widehat{AOB} = \widehat{AOC} - \widehat{BOC} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ.

Vậy AOB^=30∘\widehat{AOB} = 30^\circ, BOC^=60∘\widehat{BOC} = 60^\circ, COD^=30∘\widehat{COD} = 30^\circ, DOA^=120∘\widehat{DOA} = 120^\circ (tổng =240∘= 240^\circ; hai góc còn lại tạo bởi các tia... kiểm tra AOB^+BOC^+COD^+DOA^=30+60+30+120=240∘\widehat{AOB} + \widehat{BOC} + \widehat{COD} + \widehat{DOA} = 30 + 60 + 30 + 120 = 240^\circ; phần còn lại của vòng tròn không có tia).

c) Các cặp cung bằng nhau (số đo nhỏ hơn 180∘180^\circ): AB⌢=CD⌢\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD} (cùng 30∘30^\circ).

d) AB⌢\overset{\frown}{AB} và CD⌢\overset{\frown}{CD} có cùng số đo 30∘30^\circ nên bằng nhau.

Bài 12. Cho tam giác ABCABC có ba đỉnh nằm trên đường tròn (O)(O) và AHAH là đường cao. Đường thẳng AOAO cắt đường tròn (O)(O) tại điểm thứ hai DD. Chứng minh rằng:

a) ACAC vuông góc với DCDC;

b) ABC^=ADC^\widehat{ABC} = \widehat{ADC};

c) AB⋅AC=AH⋅ADAB \cdot AC = AH \cdot AD.

Lời giải:

a) ACD^\widehat{ACD} là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (vì ADAD là đường kính, đi qua tâm OO) nên ACD^=90∘\widehat{ACD} = 90^\circ, tức AC⊥DCAC \perp DC.

b) ABC^\widehat{ABC} và ADC^\widehat{ADC} là hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC⌢\overset{\frown}{AC} nên ABC^=ADC^\widehat{ABC} = \widehat{ADC}.

c) Xét hai tam giác ABHABH và ADCADC:

  • AHB^=ACD^=90∘\widehat{AHB} = \widehat{ACD} = 90^\circ (AHAH là đường cao; ACD^\widehat{ACD} chắn nửa đường tròn);
  • ABH^=ADC^\widehat{ABH} = \widehat{ADC} (theo câu b, vì ABH^=ABC^\widehat{ABH} = \widehat{ABC}).

Suy ra △ABH∽△ADC\triangle ABH \backsim \triangle ADC (g.g), do đó ABAD=AHAC\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AH}{AC}, tức là AB⋅AC=AH⋅ADAB \cdot AC = AH \cdot AD (điều phải chứng minh).

Bài 13. Hoàn thành bảng số liệu (lấy π=3,14\pi = 3{,}14, làm tròn đến hàng phần mười), dùng l=πRn180l = \dfrac{\pi R n}{180}.

Lời giải:

  • Cột 1 (R=20R = 20, n=160∘n = 160^\circ): l=3,14⋅20⋅160180≈55,8l = \dfrac{3{,}14 \cdot 20 \cdot 160}{180} \approx 55{,}8 (cm).
  • Cột 2 (n=144∘n = 144^\circ, l=16,8l = 16{,}8): R=180lπn=180⋅16,83,14⋅144≈6,7R = \dfrac{180 l}{\pi n} = \dfrac{180 \cdot 16{,}8}{3{,}14 \cdot 144} \approx 6{,}7 (cm).
  • Cột 3 (R=12R = 12, l=60l = 60): n=180lπR=180⋅603,14⋅12≈286,6∘n = \dfrac{180 l}{\pi R} = \dfrac{180 \cdot 60}{3{,}14 \cdot 12} \approx 286{,}6^\circ.
  • Cột 4 (R=32,6R = 32{,}6, n=42∘n = 42^\circ): l=3,14⋅32,6⋅42180≈23,9l = \dfrac{3{,}14 \cdot 32{,}6 \cdot 42}{180} \approx 23{,}9 (cm).
  • Cột 5 (n=15∘n = 15^\circ, l=96l = 96): R=180⋅963,14⋅15≈366,9R = \dfrac{180 \cdot 96}{3{,}14 \cdot 15} \approx 366{,}9 (cm).
Bán kính RR 2020 cm 6,76{,}7 cm 1212 cm 32,632{,}6 cm 366,9366{,}9 cm
Số đo n∘n^\circ 160∘160^\circ 144∘144^\circ 286,6∘286{,}6^\circ 42∘42^\circ 15∘15^\circ
Độ dài ll 55,855{,}8 cm 16,816{,}8 cm 6060 cm 23,923{,}9 cm 9696 cm

Bài 14. Trên đường thẳng xyxy, lấy lần lượt ba điểm AA, BB, CC sao cho AB>BCAB > BC. Vẽ đường tròn (O)(O) đường kính ABAB và đường tròn (O′)(O') đường kính BCBC.

a) Chứng minh hai đường tròn (O)(O) và (O′)(O') tiếp xúc ngoài tại BB.

b) Gọi HH là trung điểm của ACAC. Vẽ dây DEDE của (O)(O) vuông góc với ACAC tại HH. Chứng minh tứ giác ADCEADCE là hình thoi.

Lời giải:

a) OO là trung điểm ABAB, O′O' là trung điểm BCBC. Vì AA, BB, CC thẳng hàng theo thứ tự đó nên OO và O′O' nằm về hai phía của BB, và:

OO′=OB+BO′=AB2+BC2=R+R′.OO' = OB + BO' = \frac{AB}{2} + \frac{BC}{2} = R + R'.

Vậy hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại BB.

b) DEDE là dây của (O)(O) vuông góc với ACAC tại HH; vì DE⊥ACDE \perp AC tại trung điểm... theo cách dựng, HH là trung điểm ACAC và DE⊥ACDE \perp AC tại HH, nên ACAC và DEDE là hai đường chéo vuông góc cắt nhau tại trung điểm HH của cả hai (do DEDE là dây, OH⊥DEOH \perp DE nên HH là trung điểm DEDE).

Tứ giác ADCEADCE có hai đường chéo ACAC và DEDE vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình thoi.

Bài 15. Hải đăng Kê Gà (Bình Thuận) cao 6565 m so với mặt nước biển. Với khoảng cách bao nhiêu kilômét thì người quan sát trên tàu (mắt ở độ cao khoảng 55 m so với mặt nước biển) bắt đầu trông thấy ngọn hải đăng này? Bán kính Trái Đất gần bằng 6 4006\,400 km.

Lời giải:

Tầm nhìn xa tối đa ứng với độ cao hh (km) tính bởi công thức d≈2Rhd \approx \sqrt{2Rh} (với R=6 400R = 6\,400 km).

Từ ngọn hải đăng cao 6565 m =0,065= 0{,}065 km:

d1=2⋅6 400⋅0,065=832≈28,84 (km).d_1 = \sqrt{2 \cdot 6\,400 \cdot 0{,}065} = \sqrt{832} \approx 28{,}84 \text{ (km)}.

Từ mắt người quan sát cao 55 m =0,005= 0{,}005 km:

d2=2⋅6 400⋅0,005=64=8 (km).d_2 = \sqrt{2 \cdot 6\,400 \cdot 0{,}005} = \sqrt{64} = 8 \text{ (km)}.

Người trên tàu bắt đầu trông thấy ngọn hải đăng khi khoảng cách giữa tàu và chân hải đăng bằng tổng hai tầm nhìn:

d=d1+d2≈28,84+8=36,84 (km).d = d_1 + d_2 \approx 28{,}84 + 8 = 36{,}84 \text{ (km)}.

Vậy ở khoảng cách khoảng 36,8436{,}84 km thì người quan sát bắt đầu trông thấy ngọn hải đăng.