Bài 2 (tiếp). Bài tập cuối bài

Thực hành 3. Trong các hệ phương trình sau, hệ nào là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn?

a) {x+3y=04x−3y=−4\begin{cases} x + 3y = 0 \\ 4x - 3y = -4 \end{cases}; b) {3x+0y=−50x+45y=3\begin{cases} \sqrt{3}x + 0y = -5 \\ 0x + \dfrac{4}{5}y = 3 \end{cases}; c) {7x+2y=−50x+0y=9\begin{cases} 7x + 2y = -5 \\ 0x + 0y = 9 \end{cases}.

Lời giải:

a) Là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (cả hai phương trình đều có aa, bb không đồng thời bằng 00).

b) Là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: phương trình đầu có a=3≠0a = \sqrt{3} \ne 0; phương trình sau có b=45≠0b = \dfrac{4}{5} \ne 0.

c) Không phải, vì phương trình thứ hai có a=0a = 0 và b=0b = 0.

Thực hành 4. Cho hệ phương trình {x+5y=102x−y=−13\begin{cases} x + 5y = 10 \\ 2x - y = -13 \end{cases}. Trong hai cặp số (0;2)(0; 2) và (−5;3)(-5; 3), cặp số nào là nghiệm của hệ?

Lời giải:

Cặp (0;2)(0; 2): 0+5⋅2=100 + 5 \cdot 2 = 10 (đúng) nhưng 2⋅0−2=−2≠−132 \cdot 0 - 2 = -2 \ne -13 — không là nghiệm.

Cặp (−5;3)(-5; 3): −5+5⋅3=10-5 + 5 \cdot 3 = 10 (đúng) và 2⋅(−5)−3=−132 \cdot (-5) - 3 = -13 (đúng) — là nghiệm của hệ.

Vận dụng. Đối với bài toán cổ (trang 10): "Một đàn em nhỏ đứng bên sông... Mỗi người năm trái thừa năm trái, mỗi người sáu trái một người không...", nếu gọi xx là số em nhỏ, yy là số quả hồng thì ta nhận được hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn nào?

Lời giải:

  • Mỗi người 55 trái thì thừa 55 trái: y=5x+5y = 5x + 5, tức 5x−y=−55x - y = -5.
  • Mỗi người 66 trái thì một người không có trái nào (thiếu 66 trái): y=6x−6y = 6x - 6, tức 6x−y=66x - y = 6.

Ta được hệ: {5x−y=−56x−y=6\begin{cases} 5x - y = -5 \\ 6x - y = 6 \end{cases}

(Giải ra: trừ hai phương trình được x=11x = 11 em nhỏ, y=60y = 60 quả hồng.)

Bài tập

Bài 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất hai ẩn? Xác định các hệ số aa, bb, cc:

a) 2x+5y=−72x + 5y = -7; b) 0x−0y=50x - 0y = 5; c) 0x−54y=30x - \dfrac{5}{4}y = 3; d) 0,2x+0y=−1,50{,}2x + 0y = -1{,}5.

Lời giải:

a) Là phương trình bậc nhất hai ẩn với a=2a = 2, b=5b = 5, c=−7c = -7.

b) Không phải vì a=0a = 0 và b=0b = 0.

c) Là phương trình bậc nhất hai ẩn với a=0a = 0, b=−54b = -\dfrac{5}{4}, c=3c = 3.

d) Là phương trình bậc nhất hai ẩn với a=0,2a = 0{,}2, b=0b = 0, c=−1,5c = -1{,}5.

Bài 2. Trong các cặp số (1;1)(1; 1), (−2;5)(-2; 5), (0;2)(0; 2), cặp số nào là nghiệm của mỗi phương trình sau?

a) 4x+3y=74x + 3y = 7; b) 3x−4y=−13x - 4y = -1.

Lời giải:

a) Thay lần lượt: (1;1)(1; 1): 4+3=74 + 3 = 7 ✓; (−2;5)(-2; 5): −8+15=7-8 + 15 = 7 ✓; (0;2)(0; 2): 0+6=6≠70 + 6 = 6 \ne 7. Vậy nghiệm là (1;1)(1; 1) và (−2;5)(-2; 5).

b) (1;1)(1; 1): 3−4=−13 - 4 = -1 ✓; (−2;5)(-2; 5): −6−20=−26≠−1-6 - 20 = -26 \ne -1; (0;2)(0; 2): 0−8=−8≠−10 - 8 = -8 \ne -1. Vậy nghiệm là (1;1)(1; 1).

Bài 3. Hãy biểu diễn tất cả các nghiệm của mỗi phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ OxyOxy:

a) 2x+y=32x + y = 3; b) 0x−y=30x - y = 3; c) −3x+0y=2-3x + 0y = 2; d) −2x+y=0-2x + y = 0.

Lời giải:

a) y=−2x+3y = -2x + 3: đường thẳng đi qua (0;3)(0; 3) và (32;0)\left(\dfrac{3}{2}; 0\right).

b) y=−3y = -3: đường thẳng nằm ngang, vuông góc với OyOy tại (0;−3)(0; -3).

c) x=−23x = -\dfrac{2}{3}: đường thẳng thẳng đứng, vuông góc với OxOx tại (−23;0)\left(-\dfrac{2}{3}; 0\right).

d) y=2xy = 2x: đường thẳng đi qua gốc tọa độ OO và điểm (1;2)(1; 2).

Bài 4. Cho hệ phương trình {4x−y=2x+3y=7\begin{cases} 4x - y = 2 \\ x + 3y = 7 \end{cases}. Cặp số nào dưới đây là nghiệm của hệ?

a) (2;2)(2; 2); b) (1;2)(1; 2); c) (−1;−2)(-1; -2).

Lời giải:

a) (2;2)(2; 2): 4⋅2−2=6≠24 \cdot 2 - 2 = 6 \ne 2 — không phải.

b) (1;2)(1; 2): 4⋅1−2=24 \cdot 1 - 2 = 2 ✓ và 1+3⋅2=71 + 3 \cdot 2 = 7 ✓ — là nghiệm của hệ.

c) (−1;−2)(-1; -2): 4⋅(−1)−(−2)=−2≠24 \cdot (-1) - (-2) = -2 \ne 2 — không phải.

Bài 5. Cho hai đường thẳng y=−12x+2y = -\dfrac{1}{2}x + 2 và y=−2x−1y = -2x - 1.

a) Vẽ hai đường thẳng đó trên cùng một hệ trục tọa độ.

b) Xác định tọa độ giao điểm AA của hai đường thẳng.

c) Tọa độ của điểm AA có là nghiệm của hệ phương trình {x+2y=42x+y=−1\begin{cases} x + 2y = 4 \\ 2x + y = -1 \end{cases} không? Tại sao?

Lời giải:

a) Đường thẳng y=−12x+2y = -\dfrac{1}{2}x + 2 đi qua (0;2)(0; 2) và (4;0)(4; 0); đường thẳng y=−2x−1y = -2x - 1 đi qua (0;−1)(0; -1) và (−12;0)\left(-\dfrac{1}{2}; 0\right).

b) Tọa độ giao điểm là nghiệm của −12x+2=−2x−1-\dfrac{1}{2}x + 2 = -2x - 1:

−12x+2x=−1−2  ⟺  32x=−3  ⟺  x=−2.-\frac{1}{2}x + 2x = -1 - 2 \iff \frac{3}{2}x = -3 \iff x = -2.

Suy ra y=−2⋅(−2)−1=3y = -2 \cdot (-2) - 1 = 3. Vậy A(−2;3)A(-2; 3).

c) Thay A(−2;3)A(-2; 3) vào hệ: −2+2⋅3=4-2 + 2 \cdot 3 = 4 ✓ và 2⋅(−2)+3=−12 \cdot (-2) + 3 = -1 ✓. Cả hai phương trình đều thỏa mãn nên tọa độ điểm AA là nghiệm của hệ phương trình đã cho.