Bài 3. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

HĐ1. Cho hệ phương trình {x−2y=1(1)−2x+3y=−1(2)\begin{cases} x - 2y = 1 \quad (1) \\ -2x + 3y = -1 \quad (2) \end{cases}. Từ (1) biểu diễn xx theo yy, thế vào (2), giải phương trình ẩn yy rồi suy ra nghiệm của hệ.

Lời giải:

Từ (1): x=1+2yx = 1 + 2y. Thế vào (2): −2(1+2y)+3y=−1  ⟺  −2−4y+3y=−1  ⟺  −y=1  ⟺  y=−1-2(1 + 2y) + 3y = -1 \iff -2 - 4y + 3y = -1 \iff -y = 1 \iff y = -1.

Suy ra x=1+2⋅(−1)=−1x = 1 + 2 \cdot (-1) = -1. Vậy hệ có nghiệm duy nhất (−1;−1)(-1; -1).

Các bước giải bằng phương pháp thế: Bước 1 — từ một phương trình, biểu diễn ẩn này theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại để được phương trình một ẩn; Bước 2 — giải phương trình một ẩn đó rồi suy ra nghiệm của hệ.

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình {3x+y=3(1)−2x−3y=5(2)\begin{cases} 3x + y = 3 \quad (1) \\ -2x - 3y = 5 \quad (2) \end{cases}.

Lời giải:

Từ (1): y=3−3xy = 3 - 3x. Thế vào (2): −2x−3(3−3x)=5  ⟺  −2x−9+9x=5  ⟺  7x=14  ⟺  x=2-2x - 3(3 - 3x) = 5 \iff -2x - 9 + 9x = 5 \iff 7x = 14 \iff x = 2.

Suy ra y=3−3⋅2=−3y = 3 - 3 \cdot 2 = -3. Vậy hệ có nghiệm duy nhất (2;−3)(2; -3).

Ví dụ 2. Giải các hệ phương trình:

a) {2x+y=14x+2y=2\begin{cases} 2x + y = 1 \\ 4x + 2y = 2 \end{cases}; b) {x−2y=42x−4y=1\begin{cases} x - 2y = 4 \\ 2x - 4y = 1 \end{cases}.

Lời giải:

a) Từ phương trình đầu y=1−2xy = 1 - 2x. Thế vào phương trình sau: 4x+2(1−2x)=2  ⟺  4x+2−4x=2  ⟺  0x=04x + 2(1 - 2x) = 2 \iff 4x + 2 - 4x = 2 \iff 0x = 0.

Phương trình 0x=00x = 0 nghiệm đúng với mọi x∈Rx \in \mathbb{R}. Vậy hệ có vô số nghiệm, viết là {x∈Ry=1−2x\begin{cases} x \in \mathbb{R} \\ y = 1 - 2x \end{cases}.

b) Từ phương trình đầu x=2y+4x = 2y + 4. Thế vào phương trình sau: 2(2y+4)−4y=1  ⟺  4y+8−4y=1  ⟺  0y=−72(2y + 4) - 4y = 1 \iff 4y + 8 - 4y = 1 \iff 0y = -7.

Phương trình 0y=−70y = -7 vô nghiệm. Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

Thực hành 1. Giải các hệ phương trình:

a) {x+2y=−25x−4y=11\begin{cases} x + 2y = -2 \\ 5x - 4y = 11 \end{cases}; b) {2x−y=−5−2x+y=11\begin{cases} 2x - y = -5 \\ -2x + y = 11 \end{cases}; c) {3x+y=26x+2y=4\begin{cases} 3x + y = 2 \\ 6x + 2y = 4 \end{cases}.

Lời giải:

a) Từ phương trình đầu x=−2−2yx = -2 - 2y. Thế vào phương trình sau: 5(−2−2y)−4y=11  ⟺  −10−10y−4y=11  ⟺  −14y=21  ⟺  y=−325(-2 - 2y) - 4y = 11 \iff -10 - 10y - 4y = 11 \iff -14y = 21 \iff y = -\dfrac{3}{2}.

Suy ra x=−2−2⋅(−32)=1x = -2 - 2 \cdot \left(-\dfrac{3}{2}\right) = 1. Vậy nghiệm là (1;−32)\left(1; -\dfrac{3}{2}\right).

b) Từ phương trình đầu y=2x+5y = 2x + 5. Thế vào phương trình sau: −2x+(2x+5)=11  ⟺  5=11-2x + (2x + 5) = 11 \iff 5 = 11 (vô lí). Vậy hệ vô nghiệm.

c) Từ phương trình đầu y=2−3xy = 2 - 3x. Thế vào phương trình sau: 6x+2(2−3x)=4  ⟺  6x+4−6x=4  ⟺  0x=06x + 2(2 - 3x) = 4 \iff 6x + 4 - 6x = 4 \iff 0x = 0. Vậy hệ có vô số nghiệm: {x∈Ry=2−3x\begin{cases} x \in \mathbb{R} \\ y = 2 - 3x \end{cases}.

2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Cách giải (minh họa): Cho hệ {5x−2y=3−x+y=3\begin{cases} 5x - 2y = 3 \\ -x + y = 3 \end{cases}. Nhân hai vế phương trình thứ hai với 22: {5x−2y=3−2x+2y=6\begin{cases} 5x - 2y = 3 \\ -2x + 2y = 6 \end{cases}. Cộng từng vế được 3x=93x = 9, suy ra x=3x = 3. Thay vào −x+y=3-x + y = 3 được y=6y = 6. Nghiệm của hệ là (3;6)(3; 6).

Các bước: Bước 1 — nhân hai vế mỗi phương trình với số thích hợp (nếu cần) để hệ số của một ẩn bằng nhau hoặc đối nhau; Bước 2 — cộng hoặc trừ từng vế để được phương trình một ẩn rồi giải; Bước 3 — thế giá trị vừa tìm vào một phương trình để tìm ẩn còn lại, kết luận nghiệm.

Ví dụ 3. Giải các hệ phương trình:

a) {2x−3y=−5x+3y=11\begin{cases} 2x - 3y = -5 \\ x + 3y = 11 \end{cases}; b) {3x+2y=72x+3y=3\begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ 2x + 3y = 3 \end{cases}.

Lời giải:

a) Cộng từng vế hai phương trình: (2x−3y)+(x+3y)=−5+11  ⟺  3x=6  ⟺  x=2(2x - 3y) + (x + 3y) = -5 + 11 \iff 3x = 6 \iff x = 2.

Thay vào phương trình thứ hai: 2+3y=11  ⟺  y=32 + 3y = 11 \iff y = 3. Vậy hệ có nghiệm duy nhất (2;3)(2; 3).

b) Nhân phương trình đầu với 22, phương trình sau với −3-3:

{6x+4y=14−6x−9y=−9\begin{cases} 6x + 4y = 14 \\ -6x - 9y = -9 \end{cases}

Cộng từng vế: −5y=5  ⟺  y=−1-5y = 5 \iff y = -1. Thay vào 3x+2y=73x + 2y = 7: 3x+2⋅(−1)=7  ⟺  x=33x + 2 \cdot (-1) = 7 \iff x = 3. Vậy hệ có nghiệm duy nhất (3;−1)(3; -1).

Thực hành 2. Giải các hệ phương trình:

a) {2x−5y=−142x+3y=2\begin{cases} 2x - 5y = -14 \\ 2x + 3y = 2 \end{cases}; b) {4x+5y=156x−4y=11\begin{cases} 4x + 5y = 15 \\ 6x - 4y = 11 \end{cases}.

Lời giải:

a) Trừ từng vế (phương trình đầu trừ phương trình sau): (2x−5y)−(2x+3y)=−14−2  ⟺  −8y=−16  ⟺  y=2(2x - 5y) - (2x + 3y) = -14 - 2 \iff -8y = -16 \iff y = 2.

Thay vào 2x+3y=22x + 3y = 2: 2x+6=2  ⟺  x=−22x + 6 = 2 \iff x = -2. Vậy nghiệm là (−2;2)(-2; 2).

b) Nhân phương trình đầu với 33, phương trình sau với 22:

{12x+15y=4512x−8y=22\begin{cases} 12x + 15y = 45 \\ 12x - 8y = 22 \end{cases}

Trừ từng vế: 23y=23  ⟺  y=123y = 23 \iff y = 1. Thay vào 4x+5y=154x + 5y = 15: 4x+5=15  ⟺  x=524x + 5 = 15 \iff x = \dfrac{5}{2}. Vậy nghiệm là (52;1)\left(\dfrac{5}{2}; 1\right).

Vận dụng 1. Xác định aa, bb để đồ thị hàm số y=ax+by = ax + b đi qua hai điểm A(2;−2)A(2; -2) và B(−1;3)B(-1; 3).

Lời giải:

Đồ thị đi qua A(2;−2)A(2; -2) và B(−1;3)B(-1; 3) nên: {2a+b=−2−a+b=3\begin{cases} 2a + b = -2 \\ -a + b = 3 \end{cases}.

Trừ từng vế: 3a=−5  ⟺  a=−533a = -5 \iff a = -\dfrac{5}{3}. Thay vào −a+b=3-a + b = 3: b=3+a=3−53=43b = 3 + a = 3 - \dfrac{5}{3} = \dfrac{4}{3}.

Vậy a=−53a = -\dfrac{5}{3}, b=43b = \dfrac{4}{3}.

3. Tìm nghiệm của hệ phương trình bằng máy tính cầm tay

Ví dụ 4. Tìm nghiệm của hệ {2x+5y=−4−3x+y=−11\begin{cases} 2x + 5y = -4 \\ -3x + y = -11 \end{cases} bằng máy tính cầm tay.

Lời giải:

Bật máy, ấn MODE → chọn 5:EQN → chọn 1: anX + bnY = cn, rồi nhập các hệ số theo thứ tự 22, 55, −4-4 (phương trình 1) và −3-3, 11, −11-11 (phương trình 2). Màn hình hiện X=3X = 3, ấn = hiện Y=−2Y = -2.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (3;−2)(3; -2).

Chú ý: Khi hệ vô nghiệm hoặc vô số nghiệm, máy sẽ báo các dòng chữ tương ứng.

Thực hành 3. Tìm nghiệm của các hệ phương trình sau bằng máy tính cầm tay:

a) {2x−y=43x+5y=−19\begin{cases} 2x - y = 4 \\ 3x + 5y = -19 \end{cases}; b) {−3x+5y=122x+y=5\begin{cases} -3x + 5y = 12 \\ 2x + y = 5 \end{cases}.

Lời giải:

a) Nhập hệ số 22, −1-1, 44 và 33, 55, −19-19; máy hiện X=1X = 1, Y=−2Y = -2. Kiểm tra: 2⋅1−(−2)=42 \cdot 1 - (-2) = 4 ✓; 3⋅1+5⋅(−2)=−73 \cdot 1 + 5 \cdot (-2) = -7... rà lại bằng cộng đại số: nhân phương trình đầu với 55: 10x−5y=2010x - 5y = 20, cộng với phương trình sau 3x+5y=−193x + 5y = -19 được 13x=113x = 1, tức x=113x = \dfrac{1}{13}; như vậy đề cho ra nghiệm không tròn. Nghiệm chính xác: x=113x = \dfrac{1}{13}, y=2⋅113−4=−5013y = 2 \cdot \dfrac{1}{13} - 4 = -\dfrac{50}{13}. Vậy nghiệm là (113;−5013)\left(\dfrac{1}{13}; -\dfrac{50}{13}\right).

b) Nhập hệ số −3-3, 55, 1212 và 22, 11, 55. Giải: từ phương trình sau y=5−2xy = 5 - 2x, thế vào phương trình đầu: −3x+5(5−2x)=12  ⟺  −3x+25−10x=12  ⟺  −13x=−13  ⟺  x=1-3x + 5(5 - 2x) = 12 \iff -3x + 25 - 10x = 12 \iff -13x = -13 \iff x = 1, suy ra y=3y = 3. Vậy nghiệm là (1;3)(1; 3).

4. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

HĐ (mở đầu mục 4). Hai lớp 9A và 9B có tổng số 8282 học sinh. Trong dịp tết trồng cây năm 2022, mỗi học sinh lớp 9A trồng được 33 cây, mỗi học sinh lớp 9B trồng được 44 cây nên cả hai lớp trồng được tổng số 288288 cây. Gọi xx, yy lần lượt là số học sinh lớp 9A và 9B.

a) Lập hai phương trình bậc nhất hai ẩn biểu thị số học sinh và số cây trồng.

b) Giải hệ và cho biết mỗi lớp có bao nhiêu học sinh.

Lời giải:

a) Tổng số học sinh: x+y=82x + y = 82. Tổng số cây trồng: 3x+4y=2883x + 4y = 288.

b) Từ phương trình đầu x=82−yx = 82 - y; thế vào phương trình sau: 3(82−y)+4y=288  ⟺  246+y=288  ⟺  y=423(82 - y) + 4y = 288 \iff 246 + y = 288 \iff y = 42, suy ra x=40x = 40.

x=40x = 40, y=42y = 42 đều là số nguyên dương (thỏa mãn). Vậy lớp 9A có 4040 học sinh, lớp 9B có 4242 học sinh.

Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: Bước 1 — lập hệ (chọn hai ẩn, đặt điều kiện, biểu diễn các đại lượng và lập hai phương trình); Bước 2 — giải hệ; Bước 3 — đối chiếu điều kiện và trả lời.