Bài 3 (tiếp). Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Ví dụ 5. Hai ngăn của một kệ sách có tổng cộng 400400 cuốn sách. Nếu chuyển 8080 cuốn sách từ ngăn thứ nhất sang ngăn thứ hai thì số sách ở ngăn thứ hai gấp 33 lần số sách ở ngăn thứ nhất. Tính số sách ở mỗi ngăn lúc đầu.

Lời giải:

Gọi xx, yy lần lượt là số sách ở ngăn thứ nhất và ngăn thứ hai lúc đầu (x,y∈N∗x, y \in \mathbb{N}^*).

Tổng số sách: x+y=400x + y = 400. (1)

Sau khi chuyển 8080 cuốn, ngăn thứ nhất còn x−80x - 80, ngăn thứ hai có y+80y + 80 và gấp 33 lần: y+80=3(x−80)y + 80 = 3(x - 80). (2)

Từ (1): y=400−xy = 400 - x; thế vào (2): 400−x+80=3x−240  ⟺  480−x=3x−240  ⟺  4x=720  ⟺  x=180400 - x + 80 = 3x - 240 \iff 480 - x = 3x - 240 \iff 4x = 720 \iff x = 180, suy ra y=220y = 220.

Vậy lúc đầu ngăn thứ nhất có 180180 cuốn, ngăn thứ hai có 220220 cuốn sách.

Ví dụ 6. Cân bằng phương trình hóa học sau bằng phương pháp đại số: P+O2→P2O5\text{P} + \text{O}_2 \to \text{P}_2\text{O}_5.

Lời giải:

Gọi xx, yy lần lượt là hệ số của P và O₂: xP+yO2→P2O5x\text{P} + y\text{O}_2 \to \text{P}_2\text{O}_5.

Cân bằng số nguyên tử P và O ở hai vế: {x=22y=5\begin{cases} x = 2 \\ 2y = 5 \end{cases}, suy ra x=2x = 2, y=52y = \dfrac{5}{2}.

Ta có 2P+52O2→P2O52\text{P} + \dfrac{5}{2}\text{O}_2 \to \text{P}_2\text{O}_5. Nhân hai vế với 22 để các hệ số là số nguyên:

4P+5O2→2P2O5.4\text{P} + 5\text{O}_2 \to 2\text{P}_2\text{O}_5.

Thực hành 4. Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 6464 m. Nếu tăng chiều dài thêm 22 m và tăng chiều rộng thêm 33 m thì diện tích tăng thêm 8888 m². Tính chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn.

Lời giải:

Gọi chiều dài là xx (m), chiều rộng là yy (m), với x>y>0x > y > 0.

Chu vi 6464 m: 2(x+y)=64  ⟺  x+y=322(x + y) = 64 \iff x + y = 32. (1)

Diện tích tăng 8888 m²: (x+2)(y+3)−xy=88  ⟺  3x+2y+6=88  ⟺  3x+2y=82(x + 2)(y + 3) - xy = 88 \iff 3x + 2y + 6 = 88 \iff 3x + 2y = 82. (2)

Từ (1): y=32−xy = 32 - x; thế vào (2): 3x+2(32−x)=82  ⟺  x+64=82  ⟺  x=183x + 2(32 - x) = 82 \iff x + 64 = 82 \iff x = 18, suy ra y=14y = 14.

Vậy mảnh vườn có chiều dài 1818 m, chiều rộng 1414 m.

Thực hành 5. Cân bằng phương trình hóa học sau bằng phương pháp đại số: NO+O2→NO2\text{NO} + \text{O}_2 \to \text{NO}_2.

Lời giải:

Gọi xx, yy là hệ số của NO và O₂: xNO+yO2→NO2x\text{NO} + y\text{O}_2 \to \text{NO}_2.

Cân bằng N và O: {x=1x+2y=2\begin{cases} x = 1 \\ x + 2y = 2 \end{cases}, suy ra x=1x = 1, y=12y = \dfrac{1}{2}.

Ta có NO+12O2→NO2\text{NO} + \dfrac{1}{2}\text{O}_2 \to \text{NO}_2. Nhân hai vế với 22:

2NO+O2→2NO2.2\text{NO} + \text{O}_2 \to 2\text{NO}_2.

Vận dụng 2. Giải bài toán mở đầu (trang 15): Chị An mua 1,21{,}2 kg thịt lợn và 0,70{,}7 kg thịt bò hết 362 000362\,000 đồng; chị Ba mua 0,80{,}8 kg thịt lợn và 0,50{,}5 kg thịt bò cùng loại hết 250 000250\,000 đồng. Tính giá tiền 11 kg mỗi loại thịt.

Lời giải:

Gọi xx, yy (đồng) lần lượt là giá 11 kg thịt lợn và 11 kg thịt bò (x,y>0x, y > 0).

{1,2x+0,7y=362 0000,8x+0,5y=250 000\begin{cases} 1{,}2x + 0{,}7y = 362\,000 \\ 0{,}8x + 0{,}5y = 250\,000 \end{cases}

Nhân phương trình đầu với 55, phương trình sau với 77:

{6x+3,5y=1 810 0005,6x+3,5y=1 750 000\begin{cases} 6x + 3{,}5y = 1\,810\,000 \\ 5{,}6x + 3{,}5y = 1\,750\,000 \end{cases}

Trừ từng vế: 0,4x=60 000  ⟺  x=150 0000{,}4x = 60\,000 \iff x = 150\,000. Thay vào 0,8x+0,5y=250 0000{,}8x + 0{,}5y = 250\,000: 120 000+0,5y=250 000  ⟺  y=260 000120\,000 + 0{,}5y = 250\,000 \iff y = 260\,000.

Vậy 11 kg thịt lợn giá 150 000150\,000 đồng, 11 kg thịt bò giá 260 000260\,000 đồng.

Bài tập

Bài 1. Giải các hệ phương trình:

a) {3x+y=32x−y=7\begin{cases} 3x + y = 3 \\ 2x - y = 7 \end{cases}; b) {x−y=33x−4y=2\begin{cases} x - y = 3 \\ 3x - 4y = 2 \end{cases}; c) {4x+5y=−22x−y=−8\begin{cases} 4x + 5y = -2 \\ 2x - y = -8 \end{cases}; d) {3x+y=3−3y=5\begin{cases} 3x + y = 3 \\ -3y = 5 \end{cases}.

Lời giải:

a) Cộng từng vế: 5x=10  ⟺  x=25x = 10 \iff x = 2; thay vào 3x+y=33x + y = 3: y=3−6=−3y = 3 - 6 = -3. Nghiệm (2;−3)(2; -3).

b) Từ phương trình đầu x=y+3x = y + 3; thế vào phương trình sau: 3(y+3)−4y=2  ⟺  −y+9=2  ⟺  y=73(y + 3) - 4y = 2 \iff -y + 9 = 2 \iff y = 7, suy ra x=10x = 10. Nghiệm (10;7)(10; 7).

c) Từ phương trình sau y=2x+8y = 2x + 8; thế vào phương trình đầu: 4x+5(2x+8)=−2  ⟺  14x+40=−2  ⟺  x=−34x + 5(2x + 8) = -2 \iff 14x + 40 = -2 \iff x = -3, suy ra y=2y = 2. Nghiệm (−3;2)(-3; 2).

d) Từ phương trình sau y=−53y = -\dfrac{5}{3}; thay vào 3x+y=33x + y = 3: 3x−53=3  ⟺  3x=143  ⟺  x=1493x - \dfrac{5}{3} = 3 \iff 3x = \dfrac{14}{3} \iff x = \dfrac{14}{9}. Nghiệm (149;−53)\left(\dfrac{14}{9}; -\dfrac{5}{3}\right).

Bài 2. Giải các hệ phương trình:

a) {4x+y=243x+13y=1\begin{cases} 4x + y = 2 \\ \dfrac{4}{3}x + \dfrac{1}{3}y = 1 \end{cases}; b) {x−y2=02x+y2=3\begin{cases} x - y\sqrt{2} = 0 \\ 2x + y\sqrt{2} = 3 \end{cases}; c) {5x3+y=22x6−y2=2\begin{cases} 5x\sqrt{3} + y = 2\sqrt{2} \\ x\sqrt{6} - y\sqrt{2} = 2 \end{cases}; d) {2(x+y)+3(x−y)=4(x+y)+2(x−y)=5\begin{cases} 2(x + y) + 3(x - y) = 4 \\ (x + y) + 2(x - y) = 5 \end{cases}.

Lời giải:

a) Nhân phương trình sau với 33: 4x+y=34x + y = 3. So với phương trình đầu 4x+y=24x + y = 2 suy ra 2=32 = 3 (vô lí). Hệ vô nghiệm.

b) Cộng từng vế: 3x=3  ⟺  x=13x = 3 \iff x = 1. Thay vào x−y2=0x - y\sqrt{2} = 0: y2=1  ⟺  y=12=22y\sqrt{2} = 1 \iff y = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}. Nghiệm (1;22)\left(1; \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right).

c) Đặt x6=x2⋅3x\sqrt{6} = x\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}. Từ phương trình đầu y=22−5x3y = 2\sqrt{2} - 5x\sqrt{3}; thế vào phương trình sau: x6−2(22−5x3)=2  ⟺  x6−4+5x6=2  ⟺  6x6=6  ⟺  x=16=66x\sqrt{6} - \sqrt{2}(2\sqrt{2} - 5x\sqrt{3}) = 2 \iff x\sqrt{6} - 4 + 5x\sqrt{6} = 2 \iff 6x\sqrt{6} = 6 \iff x = \dfrac{1}{\sqrt{6}} = \dfrac{\sqrt{6}}{6}.

Suy ra y=22−5⋅66⋅3=22−5186=22−5⋅326=22−522=−22y = 2\sqrt{2} - 5 \cdot \dfrac{\sqrt{6}}{6}\cdot\sqrt{3} = 2\sqrt{2} - \dfrac{5\sqrt{18}}{6} = 2\sqrt{2} - \dfrac{5 \cdot 3\sqrt{2}}{6} = 2\sqrt{2} - \dfrac{5\sqrt{2}}{2} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Nghiệm (66;−22)\left(\dfrac{\sqrt{6}}{6}; -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right).

d) Đặt u=x+yu = x + y, v=x−yv = x - y: {2u+3v=4u+2v=5\begin{cases} 2u + 3v = 4 \\ u + 2v = 5 \end{cases}. Từ phương trình sau u=5−2vu = 5 - 2v; thế vào phương trình đầu: 2(5−2v)+3v=4  ⟺  10−v=4  ⟺  v=62(5 - 2v) + 3v = 4 \iff 10 - v = 4 \iff v = 6, suy ra u=−7u = -7. Vậy {x+y=−7x−y=6⇒x=−12\begin{cases} x + y = -7 \\ x - y = 6 \end{cases} \Rightarrow x = -\dfrac{1}{2}, y=−132y = -\dfrac{13}{2}. Nghiệm (−12;−132)\left(-\dfrac{1}{2}; -\dfrac{13}{2}\right).

Bài 3. Xác định aa, bb để đồ thị hàm số y=ax+by = ax + b đi qua hai điểm A và B trong mỗi trường hợp:

a) A(1;2)A(1; 2) và B(3;8)B(3; 8); b) A(2;1)A(2; 1) và B(4;−2)B(4; -2).

Lời giải:

a) {a+b=23a+b=8\begin{cases} a + b = 2 \\ 3a + b = 8 \end{cases}. Trừ từng vế: 2a=6  ⟺  a=32a = 6 \iff a = 3, suy ra b=−1b = -1. Vậy a=3a = 3, b=−1b = -1.

b) {2a+b=14a+b=−2\begin{cases} 2a + b = 1 \\ 4a + b = -2 \end{cases}. Trừ từng vế: 2a=−3  ⟺  a=−322a = -3 \iff a = -\dfrac{3}{2}, suy ra b=1−2a=4b = 1 - 2a = 4. Vậy a=−32a = -\dfrac{3}{2}, b=4b = 4.

Bài 4. Trong tháng thứ nhất, hai tổ sản xuất được 800800 chi tiết máy. So với tháng thứ nhất, trong tháng thứ hai tổ một sản xuất vượt 15%15\%, tổ hai vượt 20%20\% nên cả hai tổ sản xuất được 945945 chi tiết máy. Hỏi trong tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?

Lời giải:

Gọi số chi tiết máy tổ một và tổ hai làm trong tháng thứ nhất là xx, yy (chi tiết, x,y>0x, y > 0).

{x+y=8001,15x+1,2y=945\begin{cases} x + y = 800 \\ 1{,}15x + 1{,}2y = 945 \end{cases}

Từ phương trình đầu y=800−xy = 800 - x; thế vào phương trình sau: 1,15x+1,2(800−x)=945  ⟺  −0,05x+960=945  ⟺  x=3001{,}15x + 1{,}2(800 - x) = 945 \iff -0{,}05x + 960 = 945 \iff x = 300, suy ra y=500y = 500.

Vậy tháng thứ nhất tổ một làm 300300 chi tiết, tổ hai làm 500500 chi tiết.

Bài 5. Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo khoác xuất khẩu. Nếu tổ thứ nhất may trong 77 ngày và tổ thứ hai may trong 55 ngày thì cả hai tổ may được 1 5401\,540 chiếc áo. Biết rằng mỗi ngày tổ thứ hai may được nhiều hơn tổ thứ nhất 2020 chiếc áo. Hỏi trong một ngày mỗi tổ may được bao nhiêu chiếc áo?

Lời giải:

Gọi số áo mỗi ngày tổ một và tổ hai may được là xx, yy (chiếc, x,y>0x, y > 0).

{7x+5y=1 540y−x=20\begin{cases} 7x + 5y = 1\,540 \\ y - x = 20 \end{cases}

Từ phương trình sau y=x+20y = x + 20; thế vào phương trình đầu: 7x+5(x+20)=1 540  ⟺  12x+100=1 540  ⟺  x=1207x + 5(x + 20) = 1\,540 \iff 12x + 100 = 1\,540 \iff x = 120, suy ra y=140y = 140.

Vậy mỗi ngày tổ một may 120120 chiếc, tổ hai may 140140 chiếc áo.

Bài 6. Trên một cánh đồng, người ta cấy 6060 ha lúa giống mới và 4040 ha lúa giống cũ, thu hoạch được tất cả 660660 tấn thóc. Hỏi năng suất lúa giống mới trên 11 ha bằng bao nhiêu? Biết rằng 33 ha trồng lúa giống mới thu hoạch được ít hơn 44 ha trồng lúa giống cũ là 33 tấn.

Lời giải:

Gọi năng suất lúa giống mới và giống cũ trên 11 ha là xx, yy (tấn/ha, x,y>0x, y > 0).

{60x+40y=6604y−3x=3\begin{cases} 60x + 40y = 660 \\ 4y - 3x = 3 \end{cases}

Từ phương trình đầu chia 2020: 3x+2y=333x + 2y = 33, suy ra 2y=33−3x2y = 33 - 3x. Thay vào phương trình sau: 2(33−3x)−3x=3  ⟺  66−9x=3  ⟺  x=72(33 - 3x) - 3x = 3 \iff 66 - 9x = 3 \iff x = 7, suy ra 2y=33−21=122y = 33 - 21 = 12, tức y=6y = 6.

Vậy năng suất lúa giống mới là 77 tấn/ha (giống cũ 66 tấn/ha).

Bài 7. Cân bằng các phương trình hóa học sau bằng phương pháp đại số:

a) Ag+Cl2→AgCl\text{Ag} + \text{Cl}_2 \to \text{AgCl}; b) CO2+C→CO\text{CO}_2 + \text{C} \to \text{CO}.

Lời giải:

a) Gọi hệ số: xAg+yCl2→AgClx\text{Ag} + y\text{Cl}_2 \to \text{AgCl}. Cân bằng Ag và Cl: {x=12y=1\begin{cases} x = 1 \\ 2y = 1 \end{cases}, suy ra x=1x = 1, y=12y = \dfrac{1}{2}. Ta có Ag+12Cl2→AgCl\text{Ag} + \dfrac{1}{2}\text{Cl}_2 \to \text{AgCl}; nhân hai với 22: 2Ag+Cl2→2AgCl2\text{Ag} + \text{Cl}_2 \to 2\text{AgCl}.

b) Gọi hệ số: xCO2+yC→COx\text{CO}_2 + y\text{C} \to \text{CO}. Cân bằng C và O: {x+y=12x=1\begin{cases} x + y = 1 \\ 2x = 1 \end{cases}, suy ra x=12x = \dfrac{1}{2}, y=12y = \dfrac{1}{2}. Ta có 12CO2+12C→CO\dfrac{1}{2}\text{CO}_2 + \dfrac{1}{2}\text{C} \to \text{CO}; nhân hai với 22: CO2+C→2CO\text{CO}_2 + \text{C} \to 2\text{CO}.