Bài tập cuối chương 1

Câu hỏi trắc nghiệm

Bài 1. Tất cả các nghiệm của phương trình (x+3)(2x−6)=0(x + 3)(2x - 6) = 0 là?

Lời giải: x+3=0x + 3 = 0 hoặc 2x−6=0  ⟺  x=−32x - 6 = 0 \iff x = -3 hoặc x=3x = 3. Đáp án C (x=3x = 3 và x=−3x = -3).

Bài 2. Điều kiện xác định của phương trình 2x+3x−4+2=1x−3\dfrac{2x + 3}{x - 4} + 2 = \dfrac{1}{x - 3} là?

Lời giải: x−4≠0x - 4 \ne 0 và x−3≠0x - 3 \ne 0, tức x≠4x \ne 4 và x≠3x \ne 3. Đáp án C.

Bài 3. Nghiệm của phương trình x+2x−4−1=30(x+3)(x−4)\dfrac{x + 2}{x - 4} - 1 = \dfrac{30}{(x + 3)(x - 4)} là?

Lời giải: Điều kiện x≠4x \ne 4, x≠−3x \ne -3. Khử mẫu chung (x+3)(x−4)(x + 3)(x - 4): (x+2)(x+3)−(x+3)(x−4)=30(x + 2)(x + 3) - (x + 3)(x - 4) = 30

  ⟺  (x+3)[(x+2)−(x−4)]=30  ⟺  (x+3)⋅6=30  ⟺  x+3=5  ⟺  x=2 (thỏa ma˜n).\iff (x + 3)[(x + 2) - (x - 4)] = 30 \iff (x + 3) \cdot 6 = 30 \iff x + 3 = 5 \iff x = 2 \text{ (thỏa mãn)}.

Đáp án A (x=2x = 2).

Bài 4. Phương trình nào sau đây không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn?

Lời giải: 0x+0y=120x + 0y = 12 có a=b=0a = b = 0 nên không phải. Đáp án D.

Bài 5. Đường thẳng biểu diễn tất cả các nghiệm của phương trình 3x−y=23x - y = 2?

Lời giải: y=3x−2y = 3x - 2; thay A(1;1)A(1; 1): 3⋅1−1=23 \cdot 1 - 1 = 2 ✓ nên đường thẳng đi qua A(1;1)A(1; 1). Đáp án D.

Bài 6. Cặp số (−2;−3)(-2; -3) là nghiệm của hệ phương trình nào?

Lời giải: Thử vào phương án C {2x−y=−1x−3y=7\begin{cases} 2x - y = -1 \\ x - 3y = 7 \end{cases}: 2⋅(−2)−(−3)=−12 \cdot (-2) - (-3) = -1 ✓ và −2−3⋅(−3)=7-2 - 3 \cdot (-3) = 7 ✓. Đáp án C.

Bài tập tự luận

Bài 7. Giải các hệ phương trình:

a) {3x+2y=7x−7y=−13\begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ x - 7y = -13 \end{cases}; b) {4x+y=28x+3y=5\begin{cases} 4x + y = 2 \\ 8x + 3y = 5 \end{cases}; c) {5x−4y=32x+y=4\begin{cases} 5x - 4y = 3 \\ 2x + y = 4 \end{cases}; d) {3x−2y=10x−23y=313\begin{cases} 3x - 2y = 10 \\ x - \dfrac{2}{3}y = 3\dfrac{1}{3} \end{cases}.

Lời giải:

a) Từ phương trình sau x=7y−13x = 7y - 13; thế vào phương trình đầu: 3(7y−13)+2y=7  ⟺  23y−39=7  ⟺  y=23(7y - 13) + 2y = 7 \iff 23y - 39 = 7 \iff y = 2, suy ra x=1x = 1. Nghiệm (1;2)(1; 2).

b) Từ phương trình đầu y=2−4xy = 2 - 4x; thế vào phương trình sau: 8x+3(2−4x)=5  ⟺  −4x+6=5  ⟺  x=148x + 3(2 - 4x) = 5 \iff -4x + 6 = 5 \iff x = \dfrac{1}{4}, suy ra y=1y = 1. Nghiệm (14;1)\left(\dfrac{1}{4}; 1\right).

c) Từ phương trình sau y=4−2xy = 4 - 2x; thế vào phương trình đầu: 5x−4(4−2x)=3  ⟺  13x−16=3  ⟺  x=19135x - 4(4 - 2x) = 3 \iff 13x - 16 = 3 \iff x = \dfrac{19}{13}, suy ra y=4−3813=1413y = 4 - \dfrac{38}{13} = \dfrac{14}{13}. Nghiệm (1913;1413)\left(\dfrac{19}{13}; \dfrac{14}{13}\right).

d) Phương trình sau x−23y=103x - \dfrac{2}{3}y = \dfrac{10}{3}, nhân 33: 3x−2y=103x - 2y = 10 — trùng phương trình đầu. Vậy hệ có vô số nghiệm: {x∈Ry=3x−102\begin{cases} x \in \mathbb{R} \\ y = \dfrac{3x - 10}{2} \end{cases}.

Bài 8. Giải các phương trình:

a) (5x+2)(2x−7)=0(5x + 2)(2x - 7) = 0; b) (12x+5)(−23x−43)=0\left(\dfrac{1}{2}x + 5\right)\left(-\dfrac{2}{3}x - \dfrac{4}{3}\right) = 0; c) y2−5y+2(y−5)=0y^2 - 5y + 2(y - 5) = 0; d) 9x2−1=(3x−1)(2x+7)9x^2 - 1 = (3x - 1)(2x + 7).

Lời giải:

a) x=−25x = -\dfrac{2}{5} hoặc x=72x = \dfrac{7}{2}.

b) 12x+5=0\dfrac{1}{2}x + 5 = 0 hoặc −23x−43=0  ⟺  x=−10-\dfrac{2}{3}x - \dfrac{4}{3} = 0 \iff x = -10 hoặc x=−2x = -2.

c) y(y−5)+2(y−5)=0  ⟺  (y−5)(y+2)=0  ⟺  y=5y(y - 5) + 2(y - 5) = 0 \iff (y - 5)(y + 2) = 0 \iff y = 5 hoặc y=−2y = -2.

d) (3x−1)(3x+1)=(3x−1)(2x+7)  ⟺  (3x−1)[(3x+1)−(2x+7)]=0  ⟺  (3x−1)(x−6)=0  ⟺  x=13(3x - 1)(3x + 1) = (3x - 1)(2x + 7) \iff (3x - 1)[(3x + 1) - (2x + 7)] = 0 \iff (3x - 1)(x - 6) = 0 \iff x = \dfrac{1}{3} hoặc x=6x = 6.

Bài 9. Giải các phương trình:

a) 5x+2+3x−1=3x+4(x+2)(x−1)\dfrac{5}{x + 2} + \dfrac{3}{x - 1} = \dfrac{3x + 4}{(x + 2)(x - 1)}; b) 42x−3−3x(2x−3)=5x\dfrac{4}{2x - 3} - \dfrac{3}{x(2x - 3)} = \dfrac{5}{x}; c) 2x−3+3x+3=3x−5x2−9\dfrac{2}{x - 3} + \dfrac{3}{x + 3} = \dfrac{3x - 5}{x^2 - 9}; d) x−1x+1−x+1x−1=8x2−1\dfrac{x - 1}{x + 1} - \dfrac{x + 1}{x - 1} = \dfrac{8}{x^2 - 1}.

Lời giải:

a) Điều kiện x≠−2x \ne -2, x≠1x \ne 1. Khử mẫu chung: 5(x−1)+3(x+2)=3x+4  ⟺  8x+1=3x+4  ⟺  5x=3  ⟺  x=355(x - 1) + 3(x + 2) = 3x + 4 \iff 8x + 1 = 3x + 4 \iff 5x = 3 \iff x = \dfrac{3}{5} (thỏa mãn). Nghiệm x=35x = \dfrac{3}{5}.

b) Điều kiện x≠32x \ne \dfrac{3}{2}, x≠0x \ne 0. Khử mẫu chung x(2x−3)x(2x - 3): 4x−3=5(2x−3)  ⟺  4x−3=10x−15  ⟺  6x=12  ⟺  x=24x - 3 = 5(2x - 3) \iff 4x - 3 = 10x - 15 \iff 6x = 12 \iff x = 2 (thỏa mãn). Nghiệm x=2x = 2.

c) Điều kiện x≠±3x \ne \pm 3. Vì x2−9=(x−3)(x+3)x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3): 2(x+3)+3(x−3)=3x−5  ⟺  5x−3=3x−5  ⟺  2x=−2  ⟺  x=−12(x + 3) + 3(x - 3) = 3x - 5 \iff 5x - 3 = 3x - 5 \iff 2x = -2 \iff x = -1 (thỏa mãn). Nghiệm x=−1x = -1.

d) Điều kiện x≠±1x \ne \pm 1. Vì x2−1=(x−1)(x+1)x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1): (x−1)2−(x+1)2=8  ⟺  −4x=8  ⟺  x=−2(x - 1)^2 - (x + 1)^2 = 8 \iff -4x = 8 \iff x = -2 (thỏa mãn). Nghiệm x=−2x = -2.

Bài 10. Tìm hai số nguyên dương biết tổng của chúng bằng 1 0061\,006, nếu lấy số lớn chia cho số bé được thương là 22 và số dư là 124124.

Lời giải:

Gọi số lớn là xx, số bé là yy (x,y∈N∗x, y \in \mathbb{N}^*). Ta có {x+y=1 006x=2y+124\begin{cases} x + y = 1\,006 \\ x = 2y + 124 \end{cases}.

Thế phương trình sau vào phương trình đầu: 2y+124+y=1 006  ⟺  3y=882  ⟺  y=2942y + 124 + y = 1\,006 \iff 3y = 882 \iff y = 294, suy ra x=712x = 712.

Vậy hai số cần tìm là 712712 và 294294.

Bài 11. Ở giải Ngoại hạng Anh mùa 2003–2004, đội Arsenal thi đấu 3838 trận không thua trận nào và vô địch với 9090 điểm. Mỗi trận thắng được 33 điểm, hòa được 11 điểm. Mùa đó Arsenal thắng bao nhiêu trận?

Lời giải:

Gọi số trận thắng là xx, số trận hòa là yy (x,y∈Nx, y \in \mathbb{N}). Vì không thua trận nào:

{x+y=383x+y=90\begin{cases} x + y = 38 \\ 3x + y = 90 \end{cases}

Trừ từng vế: 2x=52  ⟺  x=262x = 52 \iff x = 26, suy ra y=12y = 12. Vậy Arsenal thắng 2626 trận (và hòa 1212 trận).

Bài 12. Nhân kỉ niệm ngày Quốc khánh 2/9, một nhà sách giảm giá mỗi cây bút bi là 20%20\% và mỗi quyển vở là 10%10\% so với giá niêm yết. Bạn Thanh mua 2020 quyển vở và 1010 cây bút bi. Khi tính tiền, bạn Thanh đưa 175 000175\,000 đồng và được trả lại 3 0003\,000 đồng. Tính giá niêm yết của mỗi quyển vở và mỗi cây bút bi, biết tổng số tiền phải trả nếu không giảm giá là 195 000195\,000 đồng.

Lời giải:

Gọi giá niêm yết của một quyển vở là xx, một cây bút bi là yy (đồng, x,y>0x, y > 0).

Không giảm giá: 20x+10y=195 00020x + 10y = 195\,000. (1)

Số tiền thực trả (đã giảm): 175 000−3 000=172 000175\,000 - 3\,000 = 172\,000 đồng, với vở giảm 10%10\% (còn 0,9x0{,}9x), bút bi giảm 20%20\% (còn 0,8y0{,}8y):

20⋅0,9x+10⋅0,8y=172 000  ⟺  18x+8y=172 000.(2)20 \cdot 0{,}9x + 10 \cdot 0{,}8y = 172\,000 \iff 18x + 8y = 172\,000. \quad (2)

Từ (1): 10y=195 000−20x10y = 195\,000 - 20x, tức 8y=45(195 000−20x)=156 000−16x8y = \dfrac{4}{5}(195\,000 - 20x) = 156\,000 - 16x. Thay vào (2): 18x+156 000−16x=172 000  ⟺  2x=16 000  ⟺  x=8 00018x + 156\,000 - 16x = 172\,000 \iff 2x = 16\,000 \iff x = 8\,000, suy ra 10y=195 000−160 000=35 00010y = 195\,000 - 160\,000 = 35\,000, tức y=3 500y = 3\,500.

Vậy giá niêm yết mỗi quyển vở là 8 0008\,000 đồng, mỗi cây bút bi là 3 5003\,500 đồng.

Bài 13. Giải bài toán cổ: "Quýt, cam mười bảy quả tươi / Đem chia cho một trăm người cùng vui / Chia ba mỗi quả quýt rồi / Còn cam mỗi quả chia mười vừa xinh / Trăm người, trăm miếng ngọt lành / Quýt, cam mỗi loại tính rành là bao?"

Lời giải:

Gọi số quả quýt là xx, số quả cam là yy (x,y∈Nx, y \in \mathbb{N}). Tổng 1717 quả; mỗi quả quýt chia 33 miếng, mỗi quả cam chia 1010 miếng, tổng 100100 miếng cho 100100 người:

{x+y=173x+10y=100\begin{cases} x + y = 17 \\ 3x + 10y = 100 \end{cases}

Từ phương trình đầu x=17−yx = 17 - y; thế vào phương trình sau: 3(17−y)+10y=100  ⟺  51+7y=100  ⟺  y=73(17 - y) + 10y = 100 \iff 51 + 7y = 100 \iff y = 7, suy ra x=10x = 10.

Vậy có 1010 quả quýt và 77 quả cam.

Bài 14. Hai tổ công nhân A và B lắp ráp cùng một loại bộ linh kiện điện tử. Nếu tổ A lắp ráp trong 55 ngày, tổ B trong 44 ngày thì xong 1 9001\,900 bộ. Biết mỗi ngày tổ A lắp ráp nhiều hơn tổ B 2020 bộ. Hỏi mỗi ngày mỗi tổ ráp được bao nhiêu bộ?

Lời giải:

Gọi số bộ mỗi ngày tổ A, tổ B lắp ráp là xx, yy (bộ, x,y>0x, y > 0).

{5x+4y=1 900x−y=20\begin{cases} 5x + 4y = 1\,900 \\ x - y = 20 \end{cases}

Từ phương trình sau x=y+20x = y + 20; thế vào phương trình đầu: 5(y+20)+4y=1 900  ⟺  9y+100=1 900  ⟺  y=2005(y + 20) + 4y = 1\,900 \iff 9y + 100 = 1\,900 \iff y = 200, suy ra x=220x = 220.

Vậy mỗi ngày tổ A lắp 220220 bộ, tổ B lắp 200200 bộ.

Bài 15. Cân bằng các phương trình hóa học bằng phương pháp đại số:

a) Fe+Cl2→FeCl3\text{Fe} + \text{Cl}_2 \to \text{FeCl}_3; b) SO2+O2→SO3\text{SO}_2 + \text{O}_2 \to \text{SO}_3; c) Al+O2→Al2O3\text{Al} + \text{O}_2 \to \text{Al}_2\text{O}_3.

Lời giải:

a) xFe+yCl2→FeCl3x\text{Fe} + y\text{Cl}_2 \to \text{FeCl}_3. Cân bằng Fe, Cl: x=1x = 1; 2y=3⇒y=322y = 3 \Rightarrow y = \dfrac{3}{2}. Nhân 22: 2Fe+3Cl2→2FeCl32\text{Fe} + 3\text{Cl}_2 \to 2\text{FeCl}_3.

b) xSO2+yO2→SO3x\text{SO}_2 + y\text{O}_2 \to \text{SO}_3. Cân bằng S, O: x=1x = 1; 2x+2y=3⇒y=122x + 2y = 3 \Rightarrow y = \dfrac{1}{2}. Nhân 22: 2SO2+O2→2SO32\text{SO}_2 + \text{O}_2 \to 2\text{SO}_3.

c) xAl+yO2→Al2O3x\text{Al} + y\text{O}_2 \to \text{Al}_2\text{O}_3. Cân bằng Al, O: x=2x = 2; 2y=3⇒y=322y = 3 \Rightarrow y = \dfrac{3}{2}. Nhân 22: 4Al+3O2→2Al2O34\text{Al} + 3\text{O}_2 \to 2\text{Al}_2\text{O}_3.

Bài 16. Nhà máy luyện thép hiện có sẵn loại thép chứa 10%10\% carbon và loại thép chứa 20%20\% carbon. Giả sử trong quá trình luyện các nguyên liệu không bị hao hụt. Tính khối lượng thép mỗi loại cần dùng để luyện được 1 0001\,000 tấn thép chứa 16%16\% carbon.

Lời giải:

Gọi khối lượng thép loại 10%10\% và loại 20%20\% carbon cần dùng là xx, yy (tấn, x,y>0x, y > 0).

Tổng khối lượng: x+y=1 000x + y = 1\,000. Lượng carbon: 0,1x+0,2y=0,16⋅1 000=1600{,}1x + 0{,}2y = 0{,}16 \cdot 1\,000 = 160, tức x+2y=1 600x + 2y = 1\,600.

Trừ hai phương trình: y=600y = 600, suy ra x=400x = 400.

Vậy cần 400400 tấn thép chứa 10%10\% carbon và 600600 tấn thép chứa 20%20\% carbon.