Giải Toán 9 Tập 1 trang 25-27 - Chân trời sáng tạo

Bài 1. Bất đẳng thức

1. Khái niệm bất đẳng thức

HĐ1. Cho hai số thực $x$ và $y$ được biểu diễn trên trục số (Hình 1, $x$ nằm bên trái $y$). Hãy cho biết số nào lớn hơn.

Lời giải: Điểm biểu diễn số nhỏ hơn nằm bên trái. Vì $x$ nằm bên trái $y$ nên $y > x$ (tức $x < y$).

Định nghĩa: Hệ thức dạng $a > b$ (hay $a < b$, $a \ge b$, $a \le b$) được gọi là bất đẳng thức và $a$ được gọi là vế trái, $b$ được gọi là vế phải của bất đẳng thức.

---

Ví dụ 1. Hãy chỉ ra một bất đẳng thức diễn tả số $a$ lớn hơn $3$. Vế trái, vế phải của bất đẳng thức đó là gì?

Lời giải: Để diễn tả số $a$ lớn hơn $3$, ta có bất đẳng thức $a > 3$. Khi đó $a$ là vế trái, $3$ là vế phải.

---

Thực hành 1. Hãy chỉ ra các bất đẳng thức diễn tả mỗi khẳng định sau:

a) $x$ nhỏ hơn $5$; b) $a$ không lớn hơn $b$; c) $m$ không nhỏ hơn $n$.

Lời giải:

a) $x < 5$.

b) "Không lớn hơn" nghĩa là nhỏ hơn hoặc bằng: $a \le b$.

c) "Không nhỏ hơn" nghĩa là lớn hơn hoặc bằng: $m \ge n$.

---

2. Tính chất của bất đẳng thức

Tính chất bắc cầu

HĐ2. Cho $a$, $b$, $c$ là ba số thỏa mãn $a > b$ và $b > c$. Trong hai số $a$ và $c$, số nào lớn hơn? Vì sao?

Lời giải: Trên trục số (Hình 3), $c$ nằm bên trái $b$, $b$ nằm bên trái $a$, nên $a$ nằm bên phải $c$, tức $a > c$.

Tính chất bắc cầu: Cho ba số $a$, $b$, $c$. Nếu $a > b$ và $b > c$ thì $a > c$. (Tính chất vẫn đúng với các dấu $<$, $\ge$, $\le$.)

---

Ví dụ 2. So sánh hai số $x$ và $y$, biết $x > 3{,}4$ và $y < 3{,}4$.

Lời giải: Do $x > 3{,}4$ và $3{,}4 > y$ nên theo tính chất bắc cầu, $x > y$.

---

Thực hành 2. So sánh hai số $m$ và $n$, biết $m \le \pi$ và $n \ge \pi$.

Lời giải: Ta có $n \ge \pi$ tức $\pi \le n$, kết hợp $m \le \pi$; theo tính chất bắc cầu $m \le n$.

---

Tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

HĐ3. Thay mỗi "?" bằng kí hiệu thích hợp ($>$, $<$):

a) $4 > 1$; so sánh $4 + 15$ và $1 + 15$; b) $-10 < -5$; so sánh $-10 + (-15)$ và $-5 + (-15)$.

Lời giải:

a) $4 + 15 = 19$, $1 + 15 = 16$; vậy $4 + 15 > 1 + 15$.

b) $-10 + (-15) = -25$, $-5 + (-15) = -20$; vậy $-10 + (-15) < -5 + (-15)$.

Tính chất: Cho ba số $a$, $b$, $c$. Nếu $a > b$ thì $a + c > b + c$. (Vẫn đúng với các dấu $<$, $\ge$, $\le$.) Hai bất đẳng thức $a > b$ và $m > n$ gọi là cùng chiều; $a > b$ và $m < n$ gọi là ngược chiều.

---

Ví dụ 3. Chứng tỏ $2\,023 + (-2^{29}) > 2\,022 + (-2^{29})$.

Lời giải: Ta có $2\,023 > 2\,022$. Cộng hai vế với $-2^{29}$, được $2\,023 + (-2^{29}) > 2\,022 + (-2^{29})$.

---

Ví dụ 4. Cho hai số $a$ và $b$ thỏa mãn $a < b$. Chứng tỏ $a + 3 < b + 5$.

Lời giải: Cộng $3$ vào hai vế của $a < b$: $a + 3 < b + 3$. (1)

Cộng $b$ vào hai vế của $3 < 5$: $3 + b < 5 + b$, hay $b + 3 < b + 5$. (2)

Từ (1) và (2), theo tính chất bắc cầu, $a + 3 < b + 5$.

---

Thực hành 3. So sánh hai số $-3 + 23^{50}$ và $-2 + 23^{50}$.

Lời giải: Ta có $-3 < -2$. Cộng $23^{50}$ vào hai vế: $-3 + 23^{50} < -2 + 23^{50}$.

---

Thực hành 4. Cho hai số $m$ và $n$ thỏa mãn $m > n$. Chứng tỏ $m + 5 > n + 4$.

Lời giải: Cộng $5$ vào hai vế của $m > n$: $m + 5 > n + 5$. (1)

Vì $n + 5 > n + 4$ (do $5 > 4$). (2)

Từ (1) và (2), theo tính chất bắc cầu, $m + 5 > n + 4$.

---

Vận dụng 1. Gọi $a$ là số tuổi của bạn Na, $b$ là số tuổi của bạn Toàn, biết bạn Toàn lớn tuổi hơn bạn Na. Hãy dùng bất đẳng thức biểu diễn mối quan hệ về tuổi của hai bạn ở hiện tại và sau ba năm nữa.

Lời giải:

Hiện tại bạn Toàn lớn tuổi hơn bạn Na: $b > a$.

Sau ba năm nữa, tuổi hai bạn là $a + 3$ và $b + 3$. Cộng $3$ vào hai vế của $b > a$, ta được $b + 3 > a + 3$. Vậy sau ba năm nữa bạn Toàn vẫn lớn tuổi hơn bạn Na.

---

Tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

HĐ4. Thay mỗi "?" bằng kí hiệu thích hợp ($>$, $<$):

a) $3 > 2$; so sánh $3 \cdot 17$ và $2 \cdot 17$; b) $-10 < -2$; so sánh $(-10) \cdot 5$ và $(-2) \cdot 5$; c) $5 > 3$; so sánh $5 \cdot (-2)$ và $3 \cdot (-2)$; d) $-10 < -2$; so sánh $(-10) \cdot (-7)$ và $(-2) \cdot (-7)$.

Lời giải:

a) $3 \cdot 17 = 51 > 34 = 2 \cdot 17$; vậy $3 \cdot 17 > 2 \cdot 17$ (nhân số dương, cùng chiều).

b) $(-10) \cdot 5 = -50 < -10 = (-2) \cdot 5$; vậy $(-10) \cdot 5 < (-2) \cdot 5$ (nhân số dương, cùng chiều).

c) $5 \cdot (-2) = -10 < -6 = 3 \cdot (-2)$; vậy $5 \cdot (-2) < 3 \cdot (-2)$ (nhân số âm, đổi chiều).

d) $(-10) \cdot (-7) = 70 > 14 = (-2) \cdot (-7)$; vậy $(-10) \cdot (-7) > (-2) \cdot (-7)$ (nhân số âm, đổi chiều).

Tính chất: Cho ba số $a$, $b$, $c$ và $a > b$:

• Nếu $c > 0$ thì $a \cdot c > b \cdot c$ (giữ nguyên chiều);
• Nếu $c < 0$ thì $a \cdot c < b \cdot c$ (đổi chiều).

(Tính chất vẫn đúng với các dấu $<$, $\ge$, $\le$.)