Bài 1 (tiếp). Bất đẳng thức

Ví dụ 5. Không thực hiện phép tính, hãy so sánh 1 962⋅121\,962 \cdot 12 và 1 963⋅121\,963 \cdot 12.

Lời giải: Ta có 1 962<1 9631\,962 < 1\,963. Nhân hai vế với 12>012 > 0 (giữ nguyên chiều): 1 962⋅12<1 963⋅121\,962 \cdot 12 < 1\,963 \cdot 12.

Ví dụ 6. Không thực hiện phép tính, hãy so sánh 47⋅(−19)47 \cdot (-19) và 50⋅(−19)50 \cdot (-19).

Lời giải: Ta có 47<5047 < 50. Nhân hai vế với −19<0-19 < 0 (đổi chiều): 47⋅(−19)>50⋅(−19)47 \cdot (-19) > 50 \cdot (-19).

Ví dụ 7. Cho hai số aa, bb thỏa mãn a2>b2>0a^2 > b^2 > 0. Chứng tỏ 5a2>4b25a^2 > 4b^2.

Lời giải: Nhân hai vế của a2>b2a^2 > b^2 với 5>05 > 0: 5a2>5b25a^2 > 5b^2. (3)

Vì b2>0b^2 > 0 nên nhân hai vế của 5>45 > 4 với b2b^2: 5b2>4b25b^2 > 4b^2. (4)

Từ (3) và (4), theo tính chất bắc cầu, 5a2>4b25a^2 > 4b^2.

Thực hành 5. Hãy so sánh (−163)⋅(−75)15(-163) \cdot (-75)^{15} và (−162)⋅(−75)15(-162) \cdot (-75)^{15}.

Lời giải: Ta có −163<−162-163 < -162. Vì số mũ 1515 lẻ nên (−75)15<0(-75)^{15} < 0. Nhân hai vế của −163<−162-163 < -162 với số âm (−75)15(-75)^{15} (đổi chiều):

(−163)⋅(−75)15>(−162)⋅(−75)15.(-163) \cdot (-75)^{15} > (-162) \cdot (-75)^{15}.

Thực hành 6. Cho hai số mm, nn thỏa mãn 0<m2<n20 < m^2 < n^2. Chứng tỏ 32m2<2n2\dfrac{3}{2}m^2 < 2n^2.

Lời giải: Nhân hai vế của m2<n2m^2 < n^2 với 32>0\dfrac{3}{2} > 0: 32m2<32n2\dfrac{3}{2}m^2 < \dfrac{3}{2}n^2. (1)

Vì n2>0n^2 > 0 nên nhân hai vế của 32<2\dfrac{3}{2} < 2 với n2n^2: 32n2<2n2\dfrac{3}{2}n^2 < 2n^2. (2)

Từ (1) và (2), theo tính chất bắc cầu, 32m2<2n2\dfrac{3}{2}m^2 < 2n^2.

Vận dụng 2. Cho biết −10m≤−10n-10m \le -10n, hãy so sánh mm và nn.

Lời giải: Nhân hai vế của −10m≤−10n-10m \le -10n với −110<0-\dfrac{1}{10} < 0 (đổi chiều): m≥nm \ge n.

Bài tập

Bài 1. Dùng các kí hiệu >>, <<, ≥\ge, ≤\le để diễn tả:

a) Tốc độ vv đúng quy định với biển báo giao thông ở Hình 4a (biển "70");

b) Trọng tải PP của toàn bộ xe khi đi qua cầu đúng quy định với biển báo ở Hình 4b (biển "10t").

Lời giải:

a) Biển báo tốc độ tối đa 7070 km/h: v≤70v \le 70 (km/h).

b) Biển báo trọng tải tối đa 1010 tấn: P≤10P \le 10 (tấn).

Bài 2. Hãy chỉ ra các bất đẳng thức diễn tả mỗi khẳng định sau:

a) mm lớn hơn 88; b) nn nhỏ hơn 2121; c) xx nhỏ hơn hoặc bằng 44; d) yy lớn hơn hoặc bằng 00.

Lời giải:

a) m>8m > 8. b) n<21n < 21. c) x≤4x \le 4. d) y≥0y \ge 0.

Bài 3. Hãy cho biết các bất đẳng thức được tạo thành khi:

a) Cộng hai vế của bất đẳng thức m>5m > 5 với −4-4;

b) Cộng hai vế của bất đẳng thức x2≤y+1x^2 \le y + 1 với 99;

c) Nhân hai vế của bất đẳng thức x>1x > 1 với 33, rồi tiếp tục cộng với 22;

d) Cộng vào hai vế của bất đẳng thức m≤−1m \le -1 với −1-1, rồi tiếp tục cộng với −7-7.

Lời giải:

a) m−4>5−4m - 4 > 5 - 4, tức m−4>1m - 4 > 1.

b) x2+9≤y+1+9x^2 + 9 \le y + 1 + 9, tức x2+9≤y+10x^2 + 9 \le y + 10.

c) Nhân với 3>03 > 0: 3x>33x > 3; cộng 22: 3x+2>53x + 2 > 5.

d) Cộng −1-1: m−1≤−2m - 1 \le -2; cộng tiếp −7-7: m−8≤−9m - 8 \le -9.

Bài 4. So sánh hai số xx và yy trong mỗi trường hợp sau:

a) x+5>y+5x + 5 > y + 5; b) −11x≤−11y-11x \le -11y; c) 3x−5<3y−53x - 5 < 3y - 5; d) −7x+1>−7y+1-7x + 1 > -7y + 1.

Lời giải:

a) Cộng −5-5 vào hai vế: x>yx > y.

b) Nhân hai vế với −111<0-\dfrac{1}{11} < 0 (đổi chiều): x≥yx \ge y.

c) Cộng 55 vào hai vế: 3x<3y3x < 3y; nhân với 13>0\dfrac{1}{3} > 0: x<yx < y.

d) Cộng −1-1 vào hai vế: −7x>−7y-7x > -7y; nhân với −17<0-\dfrac{1}{7} < 0 (đổi chiều): x<yx < y.

Đố vui. Tìm lỗi sai trong lập luận sau: "Bạn Trang nhỏ tuổi hơn bạn Mai, bạn Mai nhẹ cân hơn bạn Tín. Gọi aa, bb lần lượt là số tuổi của Trang và Mai; bb, cc là số cân nặng của Mai và Tín. Vì a<ba < b và b<cb < c nên theo tính chất bắc cầu suy ra a<ca < c. Vậy bạn Trang nhỏ tuổi hơn bạn Tín."

Lời giải:

Lỗi sai: chữ bb trong hai bất đẳng thức mang hai ý nghĩa khác nhau — trong a<ba < b, bb là số tuổi của Mai; còn trong b<cb < c, bb là số cân nặng của Mai. Hai đại lượng này không cùng loại, không phải cùng một số, nên không được áp dụng tính chất bắc cầu để suy ra a<ca < c. Do đó kết luận "Trang nhỏ tuổi hơn Tín" là không có căn cứ (số tuổi của Trang và số cân nặng của Tín không so sánh được với nhau như vậy).