Giải Toán 9 Tập 1 trang 30-33 - Chân trời sáng tạo

Bài 2. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

1. Bất phương trình bậc nhất một ẩn, nghiệm của bất phương trình

HĐ1. Ông Trí dự định chạy bộ tổng cộng ít nhất $6\,500$ m vào buổi sáng và buổi chiều trong ngày. Buổi sáng ông đã chạy được $4\,000$ m. Gọi $x$ là số mét ông Trí chạy bộ vào buổi chiều. Viết hệ thức chứa $x$ biểu thị điều kiện để ông Trí chạy được như dự định.

Lời giải: Tổng số mét chạy phải ít nhất $6\,500$ : $4\,000 + x \ge 6\,500$ . (1)

Định nghĩa: Bất phương trình dạng $ax + b > 0$ (hoặc $ax + b < 0$ , $ax + b \ge 0$ , $ax + b \le 0$ ), với $a$ , $b$ là hai số đã cho và $a \ne 0$ , được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn (ẩn là $x$ ).

Ví dụ 1. Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất một ẩn?

$x + 2\,023 > 0$ ; $0x - 5 < 0$ ; $5x - 7 \le 0$ ; $x^2 + 1 \le 0$ .

Lời giải:

$x + 2\,023 > 0$ có dạng $ax + b > 0$ với $a = 1 \ne 0$ , $b = 2\,023$ — là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
$5x - 7 \le 0$ có dạng $ax + b \le 0$ với $a = 5$ , $b = -7$ — là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
$0x - 5 < 0$ có $a = 0$ nên không phải; $x^2 + 1 \le 0$ có bậc hai nên không phải.

Thực hành 1. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn?

$0x < 0$ ; $3x < 0$ ; $x^3 + 1 \ge 0$ ; $-x + 1 \le 0$ .

Lời giải:

$0x < 0$ : có $a = 0$ nên không phải.
$3x < 0$ : dạng $ax + b < 0$ với $a = 3 \ne 0$ , $b = 0$ — là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
$x^3 + 1 \ge 0$ : bậc ba nên không phải.
$-x + 1 \le 0$ : dạng $ax + b \le 0$ với $a = -1 \ne 0$ , $b = 1$ — là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

HĐ2. Cho bất phương trình $x + 3 > 0$ . (1) Trong hai giá trị $x = 0$ và $x = -5$ , giá trị nào thỏa mãn bất phương trình?

Lời giải:

Thay $x = 0$ : $0 + 3 > 0$ là khẳng định đúng, nên $x = 0$ thỏa mãn (là một nghiệm).

Thay $x = -5$ : $-5 + 3 = -2 > 0$ là khẳng định sai, nên $x = -5$ không thỏa mãn.

Khái niệm nghiệm: Với bất phương trình bậc nhất ẩn $x$ , số $x_0$ là một nghiệm nếu thay $x = x_0$ vào thì được một khẳng định đúng. Giải bất phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.

Ví dụ 2. Trong hai giá trị $x = 1$ và $x = 2$ , giá trị nào là nghiệm của bất phương trình $3x - 4 \le 0$ ?

Lời giải: Thay $x = 1$ : $3 \cdot 1 - 4 = -1 \le 0$ (đúng) nên $x = 1$ là một nghiệm. Thay $x = 2$ : $3 \cdot 2 - 4 = 2 \le 0$ (sai) nên $x = 2$ không là nghiệm.

Thực hành 2. Tìm một số là nghiệm và một số không phải là nghiệm của bất phương trình $4x + 5 > 0$ .

Lời giải:

Chọn $x = 0$ : $4 \cdot 0 + 5 = 5 > 0$ (đúng) nên $x = 0$ là một nghiệm.

Chọn $x = -2$ : $4 \cdot (-2) + 5 = -3 > 0$ (sai) nên $x = -2$ không phải là nghiệm.

2. Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn

HĐ3. Hãy cho biết bất đẳng thức nhận được khi thực hiện các phép biến đổi:

a) Cộng hai vế của $x + 1 > 0$ với $-1$ ; b) Nhân hai vế của $2x > 1$ với $\dfrac{1}{2}$ ; c) Nhân hai vế của $-\dfrac{3}{2}x \le 1$ với $-\dfrac{2}{3}$ .

Lời giải:

a) $x + 1 - 1 > 0 - 1$ , tức $x > -1$ .

b) Nhân với $\dfrac{1}{2} > 0$ (giữ chiều): $x > \dfrac{1}{2}$ .

c) Nhân với $-\dfrac{2}{3} < 0$ (đổi chiều): $x \ge -\dfrac{2}{3}$ .

Cách giải $ax + b > 0$ ( $a \ne 0$ ): cộng hai vế với $-b$ được $ax > -b$ ; nhân hai vế với $\dfrac{1}{a}$ : nếu $a > 0$ thì $x > -\dfrac{b}{a}$ ; nếu $a < 0$ thì $x < -\dfrac{b}{a}$ (đổi chiều). Các dạng $<$ , $\ge$ , $\le$ làm tương tự.

Ví dụ 3. Giải các bất phương trình:

a) $2x + 1 > 0$ ; b) $0{,}5x - 6 \le 0$ ; c) $-2x + 3 \le 0$ .

Lời giải:

a) $2x + 1 > 0 \iff 2x > -1 \iff x > -\dfrac{1}{2}$ . Nghiệm: $x > -\dfrac{1}{2}$ .

b) $0{,}5x - 6 \le 0 \iff 0{,}5x \le 6 \iff x \le 12$ . Nghiệm: $x \le 12$ .

c) $-2x + 3 \le 0 \iff -2x \le -3$ ; nhân với $-\dfrac{1}{2} < 0$ (đổi chiều): $x \ge \dfrac{3}{2}$ . Nghiệm: $x \ge \dfrac{3}{2}$ .

Ví dụ 4. Giải bất phương trình $2x - 5 \le 4x + 3$ .

Lời giải:

$2x - 5 \le 4x + 3 \iff -5 - 3 \le 4x - 2x \iff -8 \le 2x \iff -4 \le x.$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \ge -4$ .

Ví dụ 5. Trong một kì thi gồm ba môn Toán, Ngữ văn và Tiếng Anh, điểm số môn Toán và Ngữ văn tính theo hệ số $2$ , điểm số môn Tiếng Anh tính theo hệ số $1$ . Để trúng tuyển, điểm số trung bình của ba môn ít nhất phải bằng $8$ . Bạn Na đã đạt $9{,}1$ điểm môn Toán và $6{,}9$ điểm môn Ngữ văn. Hãy lập và giải bất phương trình để tìm điểm số Tiếng Anh tối thiểu mà bạn Na phải đạt để trúng tuyển.

Lời giải:

Gọi $x$ là điểm số môn Tiếng Anh của bạn Na. Để trúng tuyển:

$\frac{2 \cdot 9{,}1 + 2 \cdot 6{,}9 + x}{5} \ge 8 \iff 18{,}2 + 13{,}8 + x \ge 40 \iff 32 + x \ge 40 \iff x \ge 8.$

Vậy để trúng tuyển, bạn Na phải đạt ít nhất $8$ điểm môn Tiếng Anh.

Thực hành 3. Giải các bất phương trình:

a) $5x - 3 < 0$ ; b) $-6x - 2 \ge 0$ .

Lời giải:

a) $5x - 3 < 0 \iff 5x < 3 \iff x < \dfrac{3}{5}$ . Nghiệm: $x < \dfrac{3}{5}$ .

b) $-6x - 2 \ge 0 \iff -6x \ge 2$ ; nhân với $-\dfrac{1}{6} < 0$ (đổi chiều): $x \le -\dfrac{1}{3}$ . Nghiệm: $x \le -\dfrac{1}{3}$ .

Thực hành 4. Giải bất phương trình $5 + 7x > 4x - 7$ .

Lời giải:

$5 + 7x > 4x - 7 \iff 7x - 4x > -7 - 5 \iff 3x > -12 \iff x > -4.$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x > -4$ .

Vận dụng. Giải bài toán mở đầu (trang 30): Lớp 9A có kế hoạch trồng ít nhất $1\,000$ cây xanh, đã trồng được $540$ cây. Lớp 9A cần trồng thêm ít nhất bao nhiêu cây xanh nữa?

Lời giải:

Gọi $x$ là số cây xanh lớp 9A cần trồng thêm ( $x \in \mathbb{N}$ ). Để đạt kế hoạch:

$540 + x \ge 1\,000 \iff x \ge 460.$

Vậy lớp 9A cần trồng thêm ít nhất $460$ cây xanh nữa.