Bài 1. Căn bậc hai

1. Căn bậc hai

HĐ1. Cho trục số vẽ trên lưới ô vuông đơn vị (Hình 1) với tam giác vuông OABOAB có OA=1OA = 1, AB=1AB = 1. Vẽ đường tròn tâm OO bán kính OBOB, cắt trục số tại PP và QQ. Gọi xx, yy lần lượt là số thực biểu diễn bởi PP và QQ. Thay "?" bằng số thích hợp để có x2=?x^2 = ? và y2=?y^2 = ?.

Lời giải:

a) Tam giác OABOAB vuông tại AA, theo định lí Pythagore: OB2=OA2+AB2=12+12=2OB^2 = OA^2 + AB^2 = 1^2 + 1^2 = 2, nên OB=2OB = \sqrt{2}.

b) PP và QQ nằm trên đường tròn tâm OO bán kính OB=2OB = \sqrt{2}, nằm hai phía trục số nên x=2x = \sqrt{2}, y=−2y = -\sqrt{2}. Do đó x2=2x^2 = 2 và y2=2y^2 = 2.

Định nghĩa: Cho số thực aa không âm. Số thực xx thỏa mãn x2=ax^2 = a được gọi là một căn bậc hai của aa.

Kết quả: Mỗi số dương aa có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: số dương a\sqrt{a} (căn bậc hai số học của aa) và số âm −a-\sqrt{a}. Số 00 chỉ có một căn bậc hai là 0=0\sqrt{0} = 0. Số âm không có căn bậc hai.

Ví dụ 1. Tìm các căn bậc hai của mỗi số sau:

a) 6464; b) 916\dfrac{9}{16}; c) 0,250{,}25.

Lời giải:

a) Vì 82=648^2 = 64 nên 6464 có hai căn bậc hai là 88 và −8-8.

b) Vì (34)2=916\left(\dfrac{3}{4}\right)^2 = \dfrac{9}{16} nên 916\dfrac{9}{16} có hai căn bậc hai là 34\dfrac{3}{4} và −34-\dfrac{3}{4}.

c) Vì 0,52=0,250{,}5^2 = 0{,}25 nên 0,250{,}25 có hai căn bậc hai là 0,50{,}5 và −0,5-0{,}5.

Ví dụ 2. Sử dụng dấu căn bậc hai để viết các căn bậc hai của mỗi số sau:

a) 55; b) 1,61{,}6; c) −4-4.

Lời giải:

a) Căn bậc hai của 55 là 5\sqrt{5} và −5-\sqrt{5}.

b) Căn bậc hai của 1,61{,}6 là 1,6\sqrt{1{,}6} và −1,6-\sqrt{1{,}6}.

c) Do −4-4 là số âm nên nó không có căn bậc hai.

Chú ý: Với a≥0a \ge 0: (a)2=(−a)2=a\left(\sqrt{a}\right)^2 = \left(-\sqrt{a}\right)^2 = a và a2=a\sqrt{a^2} = a.

Ví dụ 3. Tính:

a) 81\sqrt{81}; b) −14-\sqrt{\dfrac{1}{4}}; c) −1,21-\sqrt{1{,}21}.

Lời giải:

a) 81=92=9\sqrt{81} = \sqrt{9^2} = 9.

b) −14=−(12)2=−12-\sqrt{\dfrac{1}{4}} = -\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2} = -\dfrac{1}{2}.

c) −1,21=−1,12=−1,1-\sqrt{1{,}21} = -\sqrt{1{,}1^2} = -1{,}1.

Ví dụ 4. Tính giá trị của biểu thức A=16+(8)2+(−0,16)2A = \sqrt{16} + \left(\sqrt{8}\right)^2 + \left(-\sqrt{0{,}16}\right)^2.

Lời giải:

A=42+8+0,16=4+8+0,16=12,16.A = \sqrt{4^2} + 8 + 0{,}16 = 4 + 8 + 0{,}16 = 12{,}16.

Thực hành 1. Tìm các căn bậc hai của mỗi số sau:

a) 3636; b) 449\dfrac{4}{49}; c) 1,441{,}44; d) 00.

Lời giải:

a) 3636 có hai căn bậc hai là 66 và −6-6 (vì 62=366^2 = 36).

b) 449\dfrac{4}{49} có hai căn bậc hai là 27\dfrac{2}{7} và −27-\dfrac{2}{7}.

c) 1,441{,}44 có hai căn bậc hai là 1,21{,}2 và −1,2-1{,}2 (vì 1,22=1,441{,}2^2 = 1{,}44).

d) 00 chỉ có một căn bậc hai là 00.

Thực hành 2. Sử dụng dấu căn bậc hai để viết các căn bậc hai của mỗi số:

a) 1111; b) 1,61{,}6; c) −0,09-0{,}09.

Lời giải:

a) Căn bậc hai của 1111 là 11\sqrt{11} và −11-\sqrt{11}.

b) Căn bậc hai của 1,61{,}6 là 1,6\sqrt{1{,}6} và −1,6-\sqrt{1{,}6}.

c) Do −0,09-0{,}09 là số âm nên nó không có căn bậc hai.

Thực hành 3. Tính:

a) 16\sqrt{16}; b) 0,81\sqrt{0{,}81}; c) 925\sqrt{\dfrac{9}{25}}.

Lời giải:

a) 16=42=4\sqrt{16} = \sqrt{4^2} = 4.

b) 0,81=0,92=0,9\sqrt{0{,}81} = \sqrt{0{,}9^2} = 0{,}9.

c) 925=(35)2=35\sqrt{\dfrac{9}{25}} = \sqrt{\left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \dfrac{3}{5}.

Thực hành 4. Tính giá trị của các biểu thức:

a) (12)2\left(\sqrt{12}\right)^2; b) (−0,36)2\left(-\sqrt{0{,}36}\right)^2; c) (5)2+(−1,21)2\left(\sqrt{5}\right)^2 + \left(-\sqrt{1{,}21}\right)^2.

Lời giải:

a) (12)2=12\left(\sqrt{12}\right)^2 = 12.

b) (−0,36)2=0,36\left(-\sqrt{0{,}36}\right)^2 = 0{,}36.

c) (5)2+(−1,21)2=5+1,21=6,21\left(\sqrt{5}\right)^2 + \left(-\sqrt{1{,}21}\right)^2 = 5 + 1{,}21 = 6{,}21.

Vận dụng 1. Biết rằng hình A và hình vuông B trong Hình 2 có diện tích bằng nhau. Hình A là hình vuông cạnh 33 cm bị khoét một góc vuông cạnh 2\sqrt{2} cm. Tính độ dài cạnh xx của hình vuông B.

Lời giải:

Diện tích hình A =32−(2)2=9−2=7= 3^2 - \left(\sqrt{2}\right)^2 = 9 - 2 = 7 (cm²).

Vì hình vuông B có diện tích bằng hình A: x2=7x^2 = 7, suy ra x=7x = \sqrt{7} (cm) (lấy giá trị dương vì x>0x > 0).

2. Tính căn bậc hai bằng máy tính cầm tay

Ví dụ 5. Sử dụng máy tính cầm tay, tìm (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba):

a) 15\sqrt{15}; b) Các căn bậc hai của 9,459{,}45.

Lời giải:

a) Ấn liên tiếp phím căn, phím 11, 55, ==; máy hiện 3,8729833463{,}872983346. Vậy 15≈3,873\sqrt{15} \approx 3{,}873.

b) Ấn phím căn, 99, dấu chấm, 44, 55, ==; máy hiện 3,074085233{,}07408523. Vậy hai căn bậc hai của 9,459{,}45 là 9,45≈3,074\sqrt{9{,}45} \approx 3{,}074 và −9,45≈−3,074-\sqrt{9{,}45} \approx -3{,}074.

Thực hành 5. Sử dụng máy tính cầm tay, tính gần đúng các số sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba):

a) 11\sqrt{11}; b) 7,64\sqrt{7{,}64}; c) 23\sqrt{\dfrac{2}{3}}.

Lời giải:

a) 11≈3,317\sqrt{11} \approx 3{,}317.

b) 7,64≈2,764\sqrt{7{,}64} \approx 2{,}764.

c) 23≈0,816\sqrt{\dfrac{2}{3}} \approx 0{,}816.

Thực hành 6. Sử dụng máy tính cầm tay để:

a) Tìm các căn bậc hai của 10,0810{,}08 (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư);

b) Tính giá trị của biểu thức 5−12\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} (làm tròn đến chữ số thập phân thứ năm).

Lời giải:

a) 10,08≈3,1749\sqrt{10{,}08} \approx 3{,}1749; hai căn bậc hai của 10,0810{,}08 là 3,17493{,}1749 và −3,1749-3{,}1749.

b) 5≈2,2360679...\sqrt{5} \approx 2{,}2360679..., nên 5−12≈1,23606792≈0,61803\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx \dfrac{1{,}2360679}{2} \approx 0{,}61803 (đây là tỉ số vàng).