Giải Toán 9 Tập 1 trang 40-41 - Chân trời sáng tạo

Bài 1 (tiếp). Căn thức bậc hai

3. Căn thức bậc hai

HĐ2. Một chiếc thang dài $5$ m tựa vào bức tường (Hình 3).

a) Nếu chân thang cách chân tường $x$ (m) thì đỉnh thang ở độ cao bao nhiêu so với chân tường?

b) Tính độ cao trên khi $x$ nhận giá trị lần lượt là $1$; $2$; $3$; $4$.

Lời giải:

a) Gọi độ cao đỉnh thang là $h$. Thang, tường và mặt đất tạo tam giác vuông, theo định lí Pythagore: $h^2 + x^2 = 5^2$, nên $h = \sqrt{25 - x^2}$ (m).

b) Thay các giá trị:

$x$ (m)	$1$	$2$	$3$	$4$
$h = \sqrt{25 - x^2}$ (m)	$\sqrt{24} \approx 4{,}90$	$\sqrt{21} \approx 4{,}58$	$\sqrt{16} = 4$	$\sqrt{9} = 3$

Định nghĩa: Với $A$ là một biểu thức đại số, $\sqrt{A}$ được gọi là căn thức bậc hai của $A$; $A$ được gọi là biểu thức lấy căn (biểu thức dưới dấu căn). $\sqrt{A}$ xác định (có nghĩa) khi $A$ nhận giá trị không âm.

---

Ví dụ 6. Cho biểu thức $A = \sqrt{5 - 2x}$.

a) Với giá trị nào của $x$ thì biểu thức $A$ xác định?

b) Tính giá trị của $A$ khi $x = -2$ và khi $x = 3$.

Lời giải:

a) $A$ xác định khi $5 - 2x \ge 0 \iff 2x \le 5 \iff x \le \dfrac{5}{2}$.

b) Khi $x = -2$: $A = \sqrt{5 - 2 \cdot (-2)} = \sqrt{9} = 3$. Khi $x = 3 > \dfrac{5}{2}$ nên $A$ không xác định tại $x = 3$.

---

Ví dụ 7. Cho biểu thức $P = \sqrt{b^2 - 4ac}$. Tính giá trị của $P$ khi:

a) $a = 3$, $b = 10$, $c = 3$; b) $a = 2$, $b = 6$, $c = 5$.

Lời giải:

a) $b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$. Vậy $P = \sqrt{64} = 8$.

b) $b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 36 - 40 = -4 < 0$ nên $P$ không xác định tại $a = 2$, $b = 6$, $c = 5$.

---

Thực hành 7. Với giá trị nào của $x$ thì biểu thức $A = \sqrt{3x + 6}$ xác định? Tính giá trị của $A$ khi $x = 5$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Lời giải:

$A$ xác định khi $3x + 6 \ge 0 \iff x \ge -2$.

Khi $x = 5$: $A = \sqrt{3 \cdot 5 + 6} = \sqrt{21} \approx 4{,}58$.

---

Thực hành 8. Cho biểu thức $P = \sqrt{a^2 - b^2}$. Tính giá trị của $P$ khi:

a) $a = 5$, $b = 0$; b) $a = 5$, $b = -5$; c) $a = 2$, $b = -4$.

Lời giải:

a) $a^2 - b^2 = 25 - 0 = 25$; $P = \sqrt{25} = 5$.

b) $a^2 - b^2 = 25 - 25 = 0$; $P = \sqrt{0} = 0$.

c) $a^2 - b^2 = 4 - 16 = -12 < 0$ nên $P$ không xác định.

---

Vận dụng 2. Một trạm phát sóng đặt ở vị trí $B$ cách đường tàu một khoảng $AB = 300$ m. Đầu tàu đang ở vị trí $C$, cách vị trí $A$ một khoảng $AC = x$ (m) (Hình 4).

a) Viết biểu thức biểu thị khoảng cách từ trạm phát sóng đến đầu tàu.

b) Tính khoảng cách trên khi $x = 400$, $x = 1\,000$ (làm tròn đến hàng đơn vị của mét).

Lời giải:

a) Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, theo định lí Pythagore, khoảng cách từ trạm đến đầu tàu là:

$$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{300^2 + x^2} = \sqrt{90\,000 + x^2} \text{ (m)}.$$

b) Khi $x = 400$: $BC = \sqrt{90\,000 + 160\,000} = \sqrt{250\,000} = 500$ (m).

Khi $x = 1\,000$: $BC = \sqrt{90\,000 + 1\,000\,000} = \sqrt{1\,090\,000} \approx 1\,044$ (m).

---

Bài tập

Bài 1. Tìm các căn bậc hai của mỗi số sau:

a) $16$; b) $2\,500$; c) $\dfrac{4}{81}$; d) $0{,}09$.

Lời giải:

a) $16$ có hai căn bậc hai là $4$ và $-4$.

b) $2\,500$ có hai căn bậc hai là $50$ và $-50$.

c) $\dfrac{4}{81}$ có hai căn bậc hai là $\dfrac{2}{9}$ và $-\dfrac{2}{9}$.

d) $0{,}09$ có hai căn bậc hai là $0{,}3$ và $-0{,}3$.

---

Bài 2. Tính:

a) $\sqrt{100}$; b) $\sqrt{225}$; c) $\sqrt{2{,}25}$; d) $\sqrt{\dfrac{16}{225}}$.

Lời giải:

a) $\sqrt{100} = 10$. b) $\sqrt{225} = 15$. c) $\sqrt{2{,}25} = 1{,}5$. d) $\sqrt{\dfrac{16}{225}} = \dfrac{4}{15}$.

---

Bài 3. Biết rằng $25^2 = 625$, tìm các căn bậc hai của các số $625$ và $0{,}0625$.

Lời giải:

$625$ có hai căn bậc hai là $25$ và $-25$.

Vì $0{,}0625 = \dfrac{625}{10\,000} = \left(\dfrac{25}{100}\right)^2 = 0{,}25^2$, nên $0{,}0625$ có hai căn bậc hai là $0{,}25$ và $-0{,}25$.

---

Bài 4. Sử dụng máy tính cầm tay, tính (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư):

a) $\sqrt{54}$; b) $\sqrt{24{,}68}$; c) $\sqrt{5} + \sqrt{6} + \sqrt{7}$.

Lời giải:

a) $\sqrt{54} \approx 7{,}3485$.

b) $\sqrt{24{,}68} \approx 4{,}9679$.

c) $\sqrt{5} + \sqrt{6} + \sqrt{7} \approx 2{,}2361 + 2{,}4495 + 2{,}6458 \approx 7{,}3314$.

---

Bài 5. Tính giá trị của các biểu thức:

a) $\left(\sqrt{5{,}25}\right)^2 + \left(-\sqrt{1{,}75}\right)^2$; b) $\left(\sqrt{102}\right)^2 - \sqrt{98^2}$.

Lời giải:

a) $= 5{,}25 + 1{,}75 = 7$.

b) $= 102 - 98 = 4$.

---

Bài 6. Tìm $x$, biết:

a) $x^2 = 121$; b) $4x^2 = 9$; c) $x^2 = 10$.

Lời giải:

a) $x^2 = 121 \iff x = \pm 11$.

b) $4x^2 = 9 \iff x^2 = \dfrac{9}{4} \iff x = \pm \dfrac{3}{2}$.

c) $x^2 = 10 \iff x = \pm \sqrt{10}$.

---

Bài 7. Tính giá trị của các biểu thức sau khi $x = 16$, $y = 9$:

a) $\sqrt{x} + \sqrt{y}$; b) $\sqrt{x + y}$; c) $\dfrac{1}{2}\sqrt{xy}$; d) $\dfrac{1}{6}x\sqrt{y}$.

Lời giải:

a) $\sqrt{16} + \sqrt{9} = 4 + 3 = 7$.

b) $\sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

c) $\dfrac{1}{2}\sqrt{16 \cdot 9} = \dfrac{1}{2}\sqrt{144} = \dfrac{1}{2} \cdot 12 = 6$.

d) $\dfrac{1}{6} \cdot 16 \cdot \sqrt{9} = \dfrac{1}{6} \cdot 16 \cdot 3 = 8$.

---

Bài 8. Cho biểu thức $P = \sqrt{x^2 - xy + 1}$. Tính giá trị của $P$ khi:

a) $x = 3$, $y = -2$; b) $x = 1$, $y = 4$.

Lời giải:

a) $x^2 - xy + 1 = 9 - 3 \cdot (-2) + 1 = 9 + 6 + 1 = 16$; $P = \sqrt{16} = 4$.

b) $x^2 - xy + 1 = 1 - 1 \cdot 4 + 1 = -2 < 0$ nên $P$ không xác định.

---

Bài 9. Trên cần trục ở Hình 5, hai trụ $a$ và $b$ đứng cách nhau $20$ m, hai xà ngang $c$ và $d$ lần lượt có độ cao $20$ m và $45$ m so với mặt đất. Xà chéo $x$ có độ dài bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng đơn vị)?

Lời giải:

Xà chéo $x$ là cạnh huyền của tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là khoảng cách ngang giữa hai trụ ($20$ m) và chênh lệch độ cao giữa hai xà ngang ($45 - 20 = 25$ m). Theo định lí Pythagore:

$$x = \sqrt{20^2 + 25^2} = \sqrt{400 + 625} = \sqrt{1\,025} \approx 32 \text{ (m)}.$$