Bài 2. Căn bậc ba

1. Căn bậc ba của một số

HĐ1. Có hai khối bê tông hình lập phương A và B có thể tích lần lượt là 88 dm³ và 1515 dm³.

a) Tính độ dài cạnh của khối bê tông A.

b) Gọi xx (dm) là độ dài cạnh của khối bê tông B. Thay "?" bằng số thích hợp để có x3=?x^3 = ?.

Lời giải:

a) Cạnh khối A là aa thì a3=8=23a^3 = 8 = 2^3, nên a=2a = 2 (dm).

b) Cạnh khối B là xx thì x3=15x^3 = 15.

Định nghĩa: Cho số thực aa. Số thực xx thỏa mãn x3=ax^3 = a được gọi là căn bậc ba của aa. Mỗi số thực đều có đúng một căn bậc ba, kí hiệu là a3\sqrt[3]{a}. Số 33 được gọi là chỉ số căn. Phép toán tìm căn bậc ba gọi là phép khai căn bậc ba.

Ví dụ 1. Tìm căn bậc ba của mỗi số sau:

a) 11; b) 2727; c) −8-8.

Lời giải:

a) Vì 13=11^3 = 1 nên 13=1\sqrt[3]{1} = 1.

b) Vì 33=273^3 = 27 nên 273=3\sqrt[3]{27} = 3.

c) Vì (−2)3=−8(-2)^3 = -8 nên −83=−2\sqrt[3]{-8} = -2.

Chú ý: (a3)3=a33=a\left(\sqrt[3]{a}\right)^3 = \sqrt[3]{a^3} = a với mọi số thực aa.

Ví dụ 2. Tính:

a) −273\sqrt[3]{-27}; b) 81253\sqrt[3]{\dfrac{8}{125}}; c) 1 0003+(8,93)3\sqrt[3]{1\,000} + \left(\sqrt[3]{8{,}9}\right)^3.

Lời giải:

a) −273=(−3)33=−3\sqrt[3]{-27} = \sqrt[3]{(-3)^3} = -3.

b) 81253=(25)33=25\sqrt[3]{\dfrac{8}{125}} = \sqrt[3]{\left(\dfrac{2}{5}\right)^3} = \dfrac{2}{5}.

c) 1 0003+(8,93)3=1033+8,9=10+8,9=18,9\sqrt[3]{1\,000} + \left(\sqrt[3]{8{,}9}\right)^3 = \sqrt[3]{10^3} + 8{,}9 = 10 + 8{,}9 = 18{,}9.

Thực hành 1. Tìm căn bậc ba của mỗi số sau:

a) −1-1; b) 6464; c) −0,064-0{,}064; d) 127\dfrac{1}{27}.

Lời giải:

a) −13=−1\sqrt[3]{-1} = -1 (vì (−1)3=−1(-1)^3 = -1).

b) 643=4\sqrt[3]{64} = 4 (vì 43=644^3 = 64).

c) −0,0643=−0,4\sqrt[3]{-0{,}064} = -0{,}4 (vì (−0,4)3=−0,064(-0{,}4)^3 = -0{,}064).

d) 1273=13\sqrt[3]{\dfrac{1}{27}} = \dfrac{1}{3} (vì (13)3=127\left(\dfrac{1}{3}\right)^3 = \dfrac{1}{27}).

Thực hành 2. Tính giá trị của các biểu thức:

a) A=8 0003+0,1253A = \sqrt[3]{8\,000} + \sqrt[3]{0{,}125}; b) B=1233−(−11)33B = \sqrt[3]{12^3} - \sqrt[3]{(-11)^3}; c) C=(43)3+(−53)3C = \left(\sqrt[3]{4}\right)^3 + \left(\sqrt[3]{-5}\right)^3.

Lời giải:

a) A=2033+0,533=20+0,5=20,5A = \sqrt[3]{20^3} + \sqrt[3]{0{,}5^3} = 20 + 0{,}5 = 20{,}5.

b) B=12−(−11)=12+11=23B = 12 - (-11) = 12 + 11 = 23.

c) C=4+(−5)=−1C = 4 + (-5) = -1.

2. Tính căn bậc ba bằng máy tính cầm tay

Ví dụ 3. Sử dụng máy tính cầm tay, tìm (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba):

a) 153\sqrt[3]{15}; b) −12,373\sqrt[3]{-12{,}37}.

Lời giải:

a) Ấn phím SHIFT, phím căn bậc ba, 11, 55, ==; máy hiện 2,4662120742{,}466212074. Vậy 153≈2,466\sqrt[3]{15} \approx 2{,}466.

b) Ấn SHIFT, căn bậc ba, dấu trừ, 11, 22, dấu chấm, 33, 77, ==; máy hiện −2,312720943-2{,}312720943. Vậy −12,373≈−2,313\sqrt[3]{-12{,}37} \approx -2{,}313.

Thực hành 3. Sử dụng máy tính cầm tay, tìm căn bậc ba của các số sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba):

a) 2525; b) −100-100; c) 8,58{,}5; d) 15\dfrac{1}{5}.

Lời giải:

a) 253≈2,924\sqrt[3]{25} \approx 2{,}924.

b) −1003≈−4,642\sqrt[3]{-100} \approx -4{,}642.

c) 8,53≈2,041\sqrt[3]{8{,}5} \approx 2{,}041.

d) 153=0,23≈0,585\sqrt[3]{\dfrac{1}{5}} = \sqrt[3]{0{,}2} \approx 0{,}585.

Vận dụng. Một bể cá hình lập phương có sức chứa 1 0001\,000 dm³. Muốn tăng sức chứa của bể lên 1010 lần (giữ nguyên hình dạng lập phương) thì phải tăng chiều dài mỗi cạnh lên bao nhiêu lần?

Lời giải:

Cạnh bể cũ: 1 0003=10\sqrt[3]{1\,000} = 10 (dm). Bể mới có thể tích 10 00010\,000 dm³, cạnh mới là 10 0003=10103\sqrt[3]{10\,000} = 10\sqrt[3]{10} (dm).

Tỉ lệ tăng cạnh: 1010310=103≈2,154\dfrac{10\sqrt[3]{10}}{10} = \sqrt[3]{10} \approx 2{,}154.

Vậy phải tăng chiều dài mỗi cạnh lên 103≈2,15\sqrt[3]{10} \approx 2{,}15 lần.

3. Căn thức bậc ba

HĐ2. Ông An có một bể kính hình lập phương cạnh 55 dm (Hình 2). Ông muốn làm thêm một bể kính mới hình lập phương có thể tích gấp nn lần thể tích bể cũ.

a) Gọi aa (dm) là độ dài cạnh của bể mới. Thay "?" để có a3=?a^3 = ? hay a=?a = ?.

b) Tính giá trị của aa khi n=8n = 8 và khi n=4n = 4 (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Lời giải:

a) Thể tích bể cũ =53=125= 5^3 = 125 (dm³). Thể tích bể mới gấp nn lần: a3=125na^3 = 125n, hay a=125n3=5n3a = \sqrt[3]{125n} = 5\sqrt[3]{n} (dm).

b) Khi n=8n = 8: a=583=5⋅2=10a = 5\sqrt[3]{8} = 5 \cdot 2 = 10 (dm). Khi n=4n = 4: a=543≈5⋅1,587≈7,94a = 5\sqrt[3]{4} \approx 5 \cdot 1{,}587 \approx 7{,}94 (dm).

Định nghĩa: Với AA là một biểu thức đại số, ta gọi A3\sqrt[3]{A} là căn thức bậc ba của AA.

Ví dụ 4. Cho biểu thức P=3x−23P = \sqrt[3]{3x - 2}. Tính giá trị của PP khi x=3x = 3 và khi x=−2x = -2 (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).

Lời giải:

Với x=3x = 3: P=3⋅3−23=73≈1,913P = \sqrt[3]{3 \cdot 3 - 2} = \sqrt[3]{7} \approx 1{,}913.

Với x=−2x = -2: P=3⋅(−2)−23=−83=−2P = \sqrt[3]{3 \cdot (-2) - 2} = \sqrt[3]{-8} = -2.

Thực hành 4. Cho biểu thức Q=3x23Q = \sqrt[3]{3x^2}. Tính giá trị của QQ khi x=2x = 2 và khi x=−3x = -3 (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Lời giải:

Với x=2x = 2: Q=3⋅223=123≈2,29Q = \sqrt[3]{3 \cdot 2^2} = \sqrt[3]{12} \approx 2{,}29.

Với x=−3x = -3: Q=3⋅(−3)23=273=3Q = \sqrt[3]{3 \cdot (-3)^2} = \sqrt[3]{27} = 3.

(Chú ý: căn thức bậc ba xác định với mọi giá trị của biểu thức lấy căn, kể cả số âm.)