Giải Toán 9 Tập 1 trang 46-49 - Chân trời sáng tạo

Bài 3. Tính chất của phép khai phương

1. Căn thức bậc hai của một bình phương

HĐ1. Hoàn thành bảng tính $\sqrt{a^2}$ và nhận xét về căn bậc hai số học của bình phương một số.

Lời giải:

$a$	$-3$	$3$	$11$	$-11$	$100$	$-1\,005$	$0$
$\sqrt{a^2}$	$3$	$3$	$11$	$11$	$100$	$1\,005$	$0$

Nhận xét: $\sqrt{a^2}$ luôn bằng giá trị tuyệt đối của $a$.

Tính chất: Với mọi số thực $a$, ta có $\sqrt{a^2} = |a|$. Tổng quát, với biểu thức $A$ bất kì: $\sqrt{A^2} = |A|$, nghĩa là $\sqrt{A^2} = A$ khi $A \ge 0$ và $\sqrt{A^2} = -A$ khi $A < 0$.

---

Ví dụ 1. Tính:

a) $\sqrt{16^2}$; b) $\left(-\sqrt{9}\right)^2 + \sqrt{(-9)^2}$.

Lời giải:

a) $\sqrt{16^2} = |16| = 16$.

b) $\left(-\sqrt{9}\right)^2 + \sqrt{(-9)^2} = 9 + |-9| = 9 + 9 = 18$.

---

Ví dụ 2. Rút gọn các biểu thức:

a) $\sqrt{(1 - \sqrt{2})^2}$; b) $\sqrt{(a - \sqrt{5})^2}$ với $a > 3$; c) $\sqrt{a^6}$ với $a < 0$.

Lời giải:

a) $\sqrt{(1 - \sqrt{2})^2} = |1 - \sqrt{2}| = \sqrt{2} - 1$ (vì $1 - \sqrt{2} < 0$).

b) $\sqrt{(a - \sqrt{5})^2} = |a - \sqrt{5}| = a - \sqrt{5}$ (vì $a > 3 > \sqrt{5}$ nên $a - \sqrt{5} > 0$).

c) $\sqrt{a^6} = \sqrt{(a^3)^2} = |a^3| = -a^3$ (vì $a < 0$ nên $a^3 < 0$).

---

Thực hành 1. Tính:

a) $\sqrt{(-0{,}4)^2}$; b) $-\sqrt{\left(-\dfrac{4}{9}\right)^2}$; c) $-2\sqrt{3^2} + \left(-\sqrt{6}\right)^2$.

Lời giải:

a) $\sqrt{(-0{,}4)^2} = |-0{,}4| = 0{,}4$.

b) $-\sqrt{\left(-\dfrac{4}{9}\right)^2} = -\left|-\dfrac{4}{9}\right| = -\dfrac{4}{9}$.

c) $-2\sqrt{3^2} + \left(-\sqrt{6}\right)^2 = -2 \cdot 3 + 6 = -6 + 6 = 0$.

---

Thực hành 2. Rút gọn các biểu thức:

a) $\sqrt{(2 - \sqrt{5})^2}$; b) $\sqrt{a^2} + \sqrt{(-3a)^2}$ với $a > 0$.

Lời giải:

a) $\sqrt{(2 - \sqrt{5})^2} = |2 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 2$ (vì $2 < \sqrt{5}$).

b) $\sqrt{a^2} + \sqrt{(-3a)^2} = |a| + |-3a| = a + 3a = 4a$ (vì $a > 0$).

---

2. Căn thức bậc hai của một tích

HĐ2. Thực hiện các phép tính $\sqrt{4 \cdot 9}$, $\sqrt{4} \cdot \sqrt{9}$, $\sqrt{16 \cdot 25}$, $\sqrt{16} \cdot \sqrt{25}$ và nhận xét.

Lời giải: $\sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6$ và $\sqrt{4} \cdot \sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6$; $\sqrt{16 \cdot 25} = \sqrt{400} = 20$ và $\sqrt{16} \cdot \sqrt{25} = 4 \cdot 5 = 20$. Nhận xét: căn bậc hai của tích hai số không âm bằng tích các căn bậc hai của chúng.

Tính chất: Với hai số thực $a$, $b$ không âm: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$. Tổng quát, với hai biểu thức $A$, $B$ không âm: $\sqrt{A \cdot B} = \sqrt{A} \cdot \sqrt{B}$.

---

Ví dụ 3. Tính:

a) $\sqrt{25 \cdot 1{,}21}$; b) $\sqrt{360 \cdot 90}$.

Lời giải:

a) $\sqrt{25 \cdot 1{,}21} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{1{,}21} = 5 \cdot 1{,}1 = 5{,}5$.

b) $\sqrt{360 \cdot 90} = \sqrt{36 \cdot 9 \cdot 100} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{100} = 6 \cdot 3 \cdot 10 = 180$.

---

Ví dụ 4. Tính:

a) $\sqrt{20} \cdot \sqrt{5}$; b) $\sqrt{2{,}8} \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{10}$.

Lời giải:

a) $\sqrt{20} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{20 \cdot 5} = \sqrt{100} = 10$.

b) $\sqrt{2{,}8} \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{10} = \sqrt{2{,}8 \cdot 7 \cdot 10} = \sqrt{28 \cdot 7} = \sqrt{4 \cdot 7 \cdot 7} = \sqrt{2^2 \cdot 7^2} = \sqrt{14^2} = 14$.

---

Ví dụ 5. Rút gọn các biểu thức:

a) $\sqrt{3a} \cdot \sqrt{27a}$ với $a \ge 0$; b) $\sqrt{8a \cdot 5ab \cdot 10b^3}$.

Lời giải:

a) $\sqrt{3a} \cdot \sqrt{27a} = \sqrt{3a \cdot 27a} = \sqrt{81a^2} = \sqrt{81} \cdot \sqrt{a^2} = 9|a| = 9a$ (vì $a \ge 0$).

b) $\sqrt{8a \cdot 5ab \cdot 10b^3} = \sqrt{8 \cdot 5 \cdot 10 \cdot a^2 b^4} = \sqrt{400} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{(b^2)^2} = 20|a|b^2$.

---

HĐ3. Thay "?" bằng số thích hợp:

a) $\sqrt{50} = \sqrt{?} \cdot \sqrt{2} = ?\sqrt{2}$; b) $\sqrt{3 \cdot (-4)^2} = \sqrt{?} \cdot \sqrt{3} = ?\sqrt{3}$; c) $3\sqrt{2} = \sqrt{?} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{?}$; d) $-2\sqrt{5} = -\sqrt{?} \cdot \sqrt{5} = -\sqrt{?}$.

Lời giải:

a) $\sqrt{50} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.

b) $\sqrt{3 \cdot (-4)^2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.

c) $3\sqrt{2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{18}$.

d) $-2\sqrt{5} = -\sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = -\sqrt{20}$.

Phép biến đổi: Với số thực $a$ bất kì và $b$ không âm: $\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}$ (đưa thừa số ra ngoài dấu căn). Ngược lại (đưa thừa số vào trong dấu căn): nếu $a \ge 0$ thì $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}$; nếu $a < 0$ thì $a\sqrt{b} = -\sqrt{a^2 b}$.

---

Ví dụ 6. Rút gọn các biểu thức:

a) $\sqrt{75}$; b) $-\sqrt{18} \cdot \sqrt{24}$; c) $\sqrt{15a} \cdot \sqrt{3a}$ với $a > 0$.

Lời giải:

a) $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$.

b) $-\sqrt{18} \cdot \sqrt{24} = -\sqrt{18 \cdot 24} = -\sqrt{432} = -\sqrt{144 \cdot 3} = -12\sqrt{3}$.

c) $\sqrt{15a} \cdot \sqrt{3a} = \sqrt{15a \cdot 3a} = \sqrt{45a^2} = \sqrt{9a^2 \cdot 5} = 3a\sqrt{5}$ (vì $a > 0$).

---

Ví dụ 7. Đưa thừa số vào trong dấu căn bậc hai:

a) $4\sqrt{3}$; b) $-3\sqrt{6}$; c) $a\sqrt{\dfrac{2}{a}}$ với $a > 0$.

Lời giải:

a) $4\sqrt{3} = \sqrt{4^2 \cdot 3} = \sqrt{48}$.

b) $-3\sqrt{6} = -\sqrt{3^2 \cdot 6} = -\sqrt{54}$.

c) $a\sqrt{\dfrac{2}{a}} = \sqrt{a^2 \cdot \dfrac{2}{a}} = \sqrt{2a}$ (vì $a > 0$).

---

Thực hành 3. Tính:

a) $\sqrt{0{,}16 \cdot 64}$; b) $\sqrt{8{,}1 \cdot 10^3}$; c) $\sqrt{12 \cdot 250 \cdot 1{,}2}$; d) $\sqrt{28} \cdot \sqrt{7}$; e) $\sqrt{4{,}9} \cdot \sqrt{30} \cdot \sqrt{12}$.

Lời giải:

a) $\sqrt{0{,}16 \cdot 64} = \sqrt{0{,}16} \cdot \sqrt{64} = 0{,}4 \cdot 8 = 3{,}2$.

b) $\sqrt{8{,}1 \cdot 10^3} = \sqrt{8\,100} = \sqrt{81 \cdot 100} = 9 \cdot 10 = 90$.

c) $\sqrt{12 \cdot 250 \cdot 1{,}2} = \sqrt{3\,600} = 60$.

d) $\sqrt{28} \cdot \sqrt{7} = \sqrt{196} = 14$.

e) $\sqrt{4{,}9} \cdot \sqrt{30} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{4{,}9 \cdot 30 \cdot 12} = \sqrt{1\,764} = 42$.

---

Thực hành 4. Rút gọn các biểu thức:

a) $\sqrt{500}$; b) $\sqrt{5a} \cdot \sqrt{20a}$ với $a \ge 0$; c) $\sqrt{18(2 - a)^2}$ với $a > 2$.

Lời giải:

a) $\sqrt{500} = \sqrt{100 \cdot 5} = 10\sqrt{5}$.

b) $\sqrt{5a} \cdot \sqrt{20a} = \sqrt{100a^2} = 10a$ (vì $a \ge 0$).

c) $\sqrt{18(2 - a)^2} = \sqrt{18} \cdot |2 - a| = 3\sqrt{2} \cdot (a - 2)$ (vì $a > 2$ nên $|2 - a| = a - 2$). Vậy $= 3(a - 2)\sqrt{2}$.

---

Thực hành 5. Đưa thừa số vào trong dấu căn bậc hai:

a) $5\sqrt{2}$; b) $-10\sqrt{7}$; c) $2a\sqrt{\dfrac{3}{10a}}$ với $a > 0$.

Lời giải:

a) $5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}$.

b) $-10\sqrt{7} = -\sqrt{100 \cdot 7} = -\sqrt{700}$.

c) $2a\sqrt{\dfrac{3}{10a}} = \sqrt{4a^2 \cdot \dfrac{3}{10a}} = \sqrt{\dfrac{12a^2}{10a}} = \sqrt{\dfrac{6a}{5}}$ (vì $a > 0$).

---

Vận dụng 1. Tính diện tích hình chữ nhật và hình vuông cho trong hình mở đầu (trang 46), biết mỗi ô vuông nhỏ có cạnh là $1$. Diện tích hai hình có bằng nhau không?

Lời giải:

Hình chữ nhật vẽ nghiêng trên lưới ô vuông: hai cạnh là đường chéo của các ô, có độ dài $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$ và $\sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$. Diện tích $= \sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5} = 2 \cdot 5 = 10$.

Hình vuông vẽ nghiêng có cạnh $\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$. Diện tích $= \left(\sqrt{10}\right)^2 = 10$.

Vậy diện tích hai hình bằng nhau (đều bằng $10$).

---

3. Căn thức bậc hai của một thương

HĐ4. Thực hiện các phép tính $\sqrt{\dfrac{4}{9}}$, $\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}$, $\sqrt{\dfrac{16}{25}}$, $\dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}}$ và nhận xét.

Lời giải: $\sqrt{\dfrac{4}{9}} = \dfrac{2}{3}$ và $\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \dfrac{2}{3}$; $\sqrt{\dfrac{16}{25}} = \dfrac{4}{5}$ và $\dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \dfrac{4}{5}$. Nhận xét: căn bậc hai của thương hai số dương bằng thương các căn bậc hai.

Tính chất: Với $a \ge 0$ và $b > 0$: $\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$. Tổng quát, với $A \ge 0$, $B > 0$: $\sqrt{\dfrac{A}{B}} = \dfrac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$.

---

Ví dụ 8. Tính:

a) $\sqrt{\dfrac{49}{64}}$; b) $\sqrt{\dfrac{27}{75}}$.

Lời giải:

a) $\sqrt{\dfrac{49}{64}} = \dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{64}} = \dfrac{7}{8}$.

b) $\sqrt{\dfrac{27}{75}} = \sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5}$.